合成関数とは？意味・書き方 f∘g と求め方【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

合成関数とは？意味・書き方 f∘g と求め方【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

合成関数とは

2つの関数をつないで1つにした関数です。u=g(x)u=g(x) の値を y=f(u)y=f(u) に入れてできる y=f(g(x))y=f(g(x)) を、ff と gg の合成関数といい、(f∘g)(x)(f\circ g)(x) と書きます。先に gg、次に ff の順です。

読み方：ごうせいかんすう／英語：composite function／習う学年：数学Ⅲ（関数）。合成関数の微分も数学Ⅲ

うかるくん

うかるくん

f∘gf\circ g って、左から読んで「先に ff」ですよね？

合格先生

合格先生

逆なんだ。f(g(x))f(g(x)) と同じ意味だから、xx にいちばん近い gg が先。内側から計算すると覚えよう。

この用語のポイント

  • 合成関数 ＝ 2つの関数をつないだもの。(f∘g)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x))
  • 右に書いた gg が先。内側の式を外側の xx に代入
  • f∘gf\circ g と g∘fg\circ f はふつうちがう

やさしく言うと

合成関数は、2つの関数をつないで1つにしたものです。1つ目の関数で出てきた答えを、そのまま2つ目の関数に入れます。

  • 工場のベルトコンベア：1つ目の機械で板を切り、そのまま2つ目の機械で色をぬる。2台をまとめて「切ってぬる機械」と見たものが合成関数です。
  • お店の値段：まず 100 円引き、次に消費税 10％ をかける。「100 円引き」と「1.1 倍」の2つの関数をつないだものです。順番を逆にすると、値段が変わります。
  • 両がえ：円をドルにかえ、そのドルをユーロにかえる。2回の両がえをまとめると、「円からユーロへ」の1回の両がえと見られます。

g(x)=x+1g(x)=x+1（1をたす）と f(x)=x2f(x)=x^2（2乗する）をこの順につなぐと、f(g(x))=(x+1)2f(g(x))=(x+1)^2 になります。

2 g1をたす 3 f2乗する 9 2つの箱をまとめた箱 ＝ 合成関数 f(g(2)) ＝ f(3) ＝ 9 先に入るのは内側の g（右側に書くほう）
先に g、次に f。まとめると f(g(x))

まとめると、合成関数は「前の関数の出力を、次の関数の入力にする」ことでできる関数です。

書き方と求め方

書き方意味
(f∘g)(x)(f\circ g)(x)f(g(x))f(g(x)) と同じ。先に gg、次に ff
(g∘f)(x)(g\circ f)(x)g(f(x))g(f(x))。先に ff、次に gg

求めるときは、内側の式をそのまま外側の xx に代入します。

例：f(x)=x2f(x)=x^2、g(x)=x+1g(x)=x+1

(f∘g)(x)=f(x+1)=(x+1)2(f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1)^2
(g∘f)(x)=g(x2)=x2+1(g\circ f)(x)=g(x^2)=x^2+1

記号 ∘\circ は「まる」と読み、f∘gf\circ g は「エフ まる ジー」と読むことが多いです。

合成関数の例と、合成関数ではないもの

○ 合成関数

  • f(x)=x2f(x)=x^2、g(x)=x+1g(x)=x+1 の f(g(x))=(x+1)2f(g(x))=(x+1)^2
  • f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x、g(x)=2xg(x)=2x の f(g(x))=sin⁡2xf(g(x))=\sin 2x
  • f(x)=xf(x)=\sqrt x、g(x)=x2+1g(x)=x^2+1 の f(g(x))=x2+1f(g(x))=\sqrt{x^2+1}
  • f(x)=2xf(x)=2^x、g(x)=3xg(x)=3x の f(g(x))=23xf(g(x))=2^{3x}
  • 逆関数との合成：f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x))=x

× 合成関数ではないもの

  • f(x)g(x)=x2(x+1)f(x)g(x)=x^2(x+1)（これは積）
  • f(x)+g(x)=x2+x+1f(x)+g(x)=x^2+x+1（これは和）
  • f(x)g(x)=x2x+1\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{x^2}{x+1}（これは商）
  • f(x)f(x) と g(x)g(x) のグラフを重ねてかいたもの（ならべただけ）
  • f(1)+g(1)f(1)+g(1) のような値のたし算

合成関数かどうかは、片方の答えを、もう片方の入力に入れているかで決まります。2つの式をかけたり、たしたりするのは合成ではありません。

図で見る

数の集まりを3つならべると、合成関数のしくみがよく見えます。xx の集まりから、gg で uu の集まりへ、ff で yy の集まりへうつります。

xuy 011124239 g：1をたす f：2乗 x から y へ一気に ＝ 合成関数 f(g(x))＝(x＋1)²
x → u → y と2回うつすのを、x → y の1回と見たものが合成関数

途中の uu を飛ばして、xx から yy へ一気にうつす対応が合成関数 f(g(x))f(g(x)) です。0 は 1 をへて 1 へ、1 は 2 をへて 4 へ、2 は 3 をへて 9 へうつります。

逆に、むずかしそうな関数を「内側と外側」に分けて見ることもできます。

(2x＋1)3 内側（先）u ＝ 2x＋1 外側（あと）y ＝ u³ かっこの中が内側、かっこの外が外側
(2x＋1)³ は、内側 u＝2x＋1 と外側 y＝u³ の合成
うかるくん

うかるくん

わざわざ内側と外側に分けるのは、何の役に立つんですか？

合格先生

合格先生

数学Ⅲの合成関数の微分で大活やくするよ。(2x+1)3(2x+1)^3 を展開しなくても、「外側を微分して、内側の微分をかける」で 3(2x+1)2×23(2x+1)^2\times2 とすぐ求まるんだ。

順番を変えると別の関数

上の例で x=1x=1 を入れると、(f∘g)(1)=4(f\circ g)(1)=4、(g∘f)(1)=2(g\circ f)(1)=2 でちがいます。合成関数は、順番を変えると、ふつうは別の関数になります。

xyO 42 1 f(g(x)) ＝ (x＋1)² g(f(x)) ＝ x²＋1
f(g(x)) と g(f(x)) はちがうグラフになる

お店の値段のたとえでも同じです。1000 円の品物を「100 円引き → 1.1 倍」にすると 990 円、「1.1 倍 → 100 円引き」にすると 1000 円で、順番によって答えが変わります。

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

f∘gf\circ g は、f(g(x))f(g(x)) と書き直せば、どっちが先かすぐ分かるね！

指し棒で説明する合格先生

合格先生

合成の順番を変えると、ちがう関数になることが多いぞ。

テスト・入試ではこう出る

合成関数は数学Ⅲの「関数」で習います。テストや入試では、(f∘g)(x)(f\circ g)(x) を式で求める問題、f∘g=g∘ff\circ g=g\circ f となる条件を求める問題、合成した関数の定義域・値域を考える問題が出ます。いちばん大事なのは、そのあとの合成関数の微分（数学Ⅲ）で、ここでつまずくと微分・積分の計算全体が苦しくなります。

例題1（合成関数を求める）

f(x)=2x−1f(x)=2x-1、g(x)=x2+3g(x)=x^2+3 のとき、(f∘g)(x)(f\circ g)(x) と (g∘f)(x)(g\circ f)(x) を求めなさい。

  1. (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2+3)(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2+3)。ff の xx を x2+3x^2+3 におきかえて、2(x2+3)−1=2x2+52(x^2+3)-1=2x^2+5。
  2. (g∘f)(x)=g(f(x))=g(2x−1)(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x-1)。gg の xx を 2x−12x-1 におきかえて、(2x−1)2+3=4x2−4x+4(2x-1)^2+3=4x^2-4x+4。
  3. たしかめ：x=1x=1 で、f(g(1))=f(4)=7f(g(1))=f(4)=7、2+5=72+5=7。g(f(1))=g(1)=4g(f(1))=g(1)=4、4−4+4=44-4+4=4。

答え　(f∘g)(x)=2x2+5(f\circ g)(x)=2x^2+5、(g∘f)(x)=4x2−4x+4(g\circ f)(x)=4x^2-4x+4

例題2（内側を求める）

f(x)=x+2f(x)=x+2 とします。(f∘g)(x)=3x2(f\circ g)(x)=3x^2 となる関数 g(x)g(x) を求めなさい。

  1. f(g(x))=g(x)+2f(g(x))=g(x)+2 なので、g(x)+2=3x2g(x)+2=3x^2。
  2. g(x)=3x2−2g(x)=3x^2-2。
  3. たしかめ：f(3x2−2)=3x2−2+2=3x2f(3x^2-2)=3x^2-2+2=3x^2。

答え　g(x)=3x2−2g(x)=3x^2-2

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

f∘gf\circ g は右の gg が先！ f(g(x))f(g(x)) と書き直すとまちがえないよ。

  • 順番を逆にする：(f∘g)(x)(f\circ g)(x) は、右に書いた gg が先です。左から読むと逆に思えるので注意します。
  • f∘g=g∘ff\circ g=g\circ f だと思う：上の例のように、ふつうは成り立ちません。
  • 定義域を確かめない：f(x)=xf(x)=\sqrt x、g(x)=x−3g(x)=x-3 なら、f(g(x))=x−3f(g(x))=\sqrt{x-3} は x≧3x\geqq3 でしか考えられません。gg の値が ff の定義域に入るかを確かめます。
  • 積とまちがえる：(f∘g)(x)(f\circ g)(x) を f(x)×g(x)f(x)\times g(x) と計算するのは×。f(x)=x2f(x)=x^2、g(x)=x+1g(x)=x+1 なら、f(x)g(x)=x3+x2f(x)g(x)=x^3+x^2 ですが、(f∘g)(x)=(x+1)2(f\circ g)(x)=(x+1)^2 です。
  • 代入するときにかっこを忘れる：f(x)=x2f(x)=x^2 に g(x)=x+1g(x)=x+1 を入れるとき、x+12x+1^2 と書くのは×。(x+1)2(x+1)^2 のように、かっこごと代入します。

ことばの由来

「合成」は、2つ以上のものを合わせて1つにするという意味です。英語では composite function（コンポジット・ファンクション）といい、composite も「組み合わせてできた」という意味です。2つの関数を合成することを composition（コンポジション）ともいいます。

ミニ問題

問題1　f(x)=3xf(x)=3x、g(x)=x−2g(x)=x-2 のとき、(f∘g)(4)(f\circ g)(4) を求めましょう。

答えと解き方を見る

6 です。先に gg：g(4)=4−2=2g(4)=4-2=2。次に ff：f(2)=3×2=6f(2)=3\times2=6。(f∘g)(4)=f(g(4))(f\circ g)(4)=f(g(4)) なので、右の gg から計算します。

問題2　f(x)=x2f(x)=x^2、g(x)=2x+3g(x)=2x+3 のとき、(g∘f)(x)(g\circ f)(x) を求めましょう。

答えと解き方を見る

2x2+32x^2+3 です。(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x2)(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)。gg の式の xx を x2x^2 におきかえて 2x2+32x^2+3。(2x+3)2(2x+3)^2 は逆の順番 (f∘g)(x)(f\circ g)(x) です。

問題3　f(x)=1xf(x)=\dfrac1x のとき、(f∘f)(x)(f\circ f)(x) を求めましょう（x≠0x\ne0）。

答えと解き方を見る

xx です。f(f(x))=f ⁣(1x)=11x=xf(f(x))=f\!\left(\dfrac1x\right)=\dfrac{1}{\frac1x}=x。「逆数の逆数はもとの数」なので、2回つなぐともとにもどります。ff は自分自身の逆関数になっています。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

合成関数とは簡単にいうと何ですか？

2つの関数をつないで1つにした関数です。g で計算した結果を、そのまま f に入れます。

f∘g はどちらを先に計算しますか？

右に書いた g を先に計算します。(f∘g)(x) は f(g(x)) と同じ意味です。

f∘g と g∘f は同じですか？

ふつうはちがいます。f(x)＝x²、g(x)＝x＋1 なら、f(g(x))＝(x＋1)²、g(f(x))＝x²＋1 です。

f∘g の記号は何と読みますか？

「エフ まる ジー」と読むことが多いです。f(g(x)) と同じ意味です。

合成関数は何の役に立ちますか？

複雑な関数を、内側と外側の簡単な関数に分けて考えられます。数学Ⅲの合成関数の微分で特によく使います。

合成関数は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅲの「関数」で習います。合成関数の微分も数学Ⅲです。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅲ（極限：関数、微分法）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦