漸近線とは？意味と求め方をグラフでわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

漸近線って、グラフと絶対に交わらない線のことですよね？

合格先生

そう覚えている人が多いけど、実は交わってもいいんだ。大事なのは、遠くへ行くほど近づくこと。途中で交わる例もあるよ。

やさしく言うと

グラフがどこまでも伸びていくとき、ある直線にどんどん近づいていくことがあります。その直線が漸近線です。「漸」は「だんだん、しだいに」という意味で、「だんだん近づく線」という名前です。

• 半分ずつ進む：壁まで 1m のところから、「残りの半分だけ進む」をくり返すと、残りは 0.5m、0.25m、0.125m…とどんどん小さくなります。でも、ぴったり 0 にはなりません。壁が漸近線のような役目をしています。
• 冷めていくお茶：熱いお茶を部屋に置いておくと、温度は部屋の温度にどんどん近づいていきます。時間と温度のグラフをかくと、「部屋の温度」の水平な線に近づいていく形になります。
• 1 人分のケーキ：1 個のケーキを $x$ 人で分けると、1 人分は $\dfrac1x$ 個。人数がふえるほど 0 に近づきますが、0 にはなりません。

まとめると、漸近線は曲線が遠くへ行くほど、限りなく近づいていく直線です。

漸近線がある例・ない例

漸近線が出てくるのは、分母に $x$ がある関数、指数関数・対数関数、双曲線が中心です。どこまでも伸びていかない曲線（円など）や、ぐんぐん曲がり続ける曲線（放物線など）には漸近線はありません。

図で見る

反比例 $y=\dfrac1x$ で、曲線と $x$ 軸のすき間を見てみましょう。

$x$ が 2 倍になるたびに、すき間 $\dfrac1x$ は半分になります。$x=1000$ なら 0.001 です。このように、曲線と直線のすき間が限りなく 0 に近づくとき、その直線を漸近線といいます。同じように $x$ を 0 に近づけると曲線は上へどこまでも伸び、$y$ 軸に近づくので、$y$ 軸も漸近線です。

うかるくん

すき間が 0 に近づくなら、いつかはくっつくんじゃないですか？

合格先生

$\dfrac1x$ は、どんなに大きい $x$ でも 0 にはならないね。「いくらでも小さくできるけど、ちょうど 0 にはならない」というのが「限りなく近づく」の意味なんだ。これが極限の考え方だよ。

漸近線の3つの種類

ななめの漸近線は、$y=x+\dfrac1x$ のように「直線の式＋0 に近づく部分」に分けると見つけやすくなります。$\dfrac1x$ が 0 に近づくので、残った $y=x$ が漸近線です。

$x\to\infty$ と $x\to-\infty$ では、近づく直線がちがうこともあります。たとえば $y=\sqrt{x^2+1}$ は、$x\to\infty$ では $y=x$ に、$x\to-\infty$ では $y=-x$ に近づきます。両方向を別々に調べましょう。

うかるくん

漸近線は、縦・横・ななめの3種類があるんだね。

漸近線と曲線は交わってもよい

「漸近線は曲線と交わらない線」と思われがちですが、それは正しくありません。漸近線の条件は「遠くで限りなく近づく」ことだけで、途中のようすは問いません。

$y=\dfrac{x}{x^2+1}$ は、$x\to\pm\infty$ で $y\to0$ なので $y=0$（$x$ 軸）が漸近線です。でも $x=0$ のとき $y=0$ なので、原点で漸近線と交わっています。分数関数 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ の場合は、たまたま漸近線と交わらないだけです。

合格先生

漸近線は「遠くで近づく線」。交わるかどうかは関係ないぞ！

テスト・入試ではこう出る

漸近線は、数学Ⅱの指数関数・対数関数のグラフで初めて出てきます（$y=2^x$ の $x$ 軸など）。中心になるのは数学Ⅲの分数関数と、微分を使ったグラフの概形の問題です。数学Cでは双曲線の漸近線を学びます。グラフをかく問題では、漸近線を点線でかきこむことが求められます。

分数関数は、まず分子を分母で割って「式＋あまり／分母」の形にするのがコツです。あまりの部分が 0 に近づくので、残った式がよこ・ななめの漸近線になります。

まちがえやすい点

合格先生

「漸近線は交わらない線」は×！ 遠くで限りなく近づく線だよ。

• 「漸近線とは交わらない」と思う：漸近線は「遠くで近づく」線で、途中で曲線と交わってもかまいません。たとえば $y=\dfrac{x}{x^2+1}$ は漸近線 $y=0$ と原点で交わります。
• 1 種類だけ調べて終える：たて・よこ・ななめを全部調べます。分母が 0 になる所は、たての漸近線の候補です。
• 分母が 0 になる所を全部たての漸近線にする：$y=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ は約分すると $y=x+1$（$x\ne1$）で、$x=1$ は漸近線ではありません（グラフに穴があくだけ）。
• 片方の向きしか調べない：$y=2^x$ の漸近線 $y=0$ は $x\to-\infty$ のときだけです。$y=\sqrt{x^2+1}$ のように、$x\to\infty$ と $x\to-\infty$ で漸近線がちがう関数もあります。
• ななめの漸近線で $b$ を求めない：$a=\displaystyle\lim\frac{f(x)}{x}$ だけで終わらず、$b=\displaystyle\lim\{f(x)-ax\}$ も計算します。$b$ が有限の値にならなければ、ななめの漸近線はありません。

ことばの由来

「漸」は「しだいに、だんだん」、「近」は「近づく」という意味の漢字です。「漸化式」の「漸」と同じ字です。英語では asymptote（アシンプトート）といい、ギリシャ語の「いっしょに落ちない（交わらない）」という意味のことばから来ているとされます。もとの意味は「交わらない線」ですが、今の数学の定義では、交わることも許されています。

ミニ問題

関連する公式・用語

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• 2次曲線（放物線・楕円・双曲線）
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よくある質問