反比例とは？意味と式・グラフをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

ハルちゃん

$x$ が増えたら $y$ がへるのは、ぜんぶ反比例じゃないんですか？

合格先生

おしい！ 反比例は、$x$ が2倍なら $y$ がちょうど半分になる関係なんだ。$x\times y$ がいつも同じ数になっているかで確かめよう。

やさしく言うと

反比例は、片方が2倍、3倍になると、もう片方が $\dfrac12$、$\dfrac13$ になる関係です。身近な例で見てみましょう。

• クッキーを分ける：24枚を同じ数ずつ分けます。2人なら1人12枚、3人なら8枚、4人なら6枚。「人数 × 1人分」はいつも24です。
• 同じ道のりを進む：60km の道を、時速 20km なら 3時間、時速 30km なら 2時間、時速 60km なら 1時間で進みます。「速さ × 時間」はいつも60です。
• 面積が決まった長方形：面積 12cm² の長方形では、横が 2cm ならたて 6cm、横が 4cm ならたて 3cm。「横 × たて」はいつも12です。

どの例も、2つの量をかけた答えが変わらないのがポイントです。いろいろな長方形の角を結ぶと、なめらかな曲線になります。

ハルちゃん

x と y をかけると、いつも同じ数になる！ それが反比例ね。

反比例の例

反比例かどうかは、$x\times y$ がいつも同じ数になるかで確かめます。この一定の数が比例定数で、式は $y=\dfrac{a}{x}$ と書けます。「増えるとへる」だけでは決められません。$y=10-x$ のように、たし算やひき算の関係でも「増えるとへる」は起こるからです。

図で見る

$y=\dfrac{12}{x}$ の $x$ と $y$ を表にすると、反比例の特ちょうがよく見えます。

上の段で $x$ が 2 から 4 へ 2倍になると、下の段の $y$ は 6 から 3 へ $\dfrac12$倍になります。$x$ が 4 から 12 へ 3倍になると、$y$ は 3 から 1 へ $\dfrac13$倍です。そして、どの列でも $x\times y=12$ です。

まなぶくん

どうして $x$ が2倍になると、$y$ はちょうど半分になるの？

合格先生

かけ算の答えを 12 のままにしたいからだよ。片方を2倍にしたら、もう片方を半分にしないと、かけ算の答えが変わってしまうんだ。

小学6年では、表から「2倍・3倍」と「$\dfrac12$倍・$\dfrac13$倍」の関係を読み取ることが中心です。中学1年では、これを $y=\dfrac{a}{x}$ という式とグラフで表します。

比例とのちがい

中学1年では、$x$ や $y$ が負の数のときもふくめてグラフをかきます。反比例のグラフは双曲線とよばれる、2つに分かれたなめらかな曲線です。

グラフは $x$ 軸にも $y$ 軸にも近づきますが、交わりません。$x=0$ にすると「0 でわる」ことになり、$y$ が決まらないからです。また、$y$ も 0 にはなりません（何に何をかけても 12 にするには、0 は使えません）。

まなぶくん

反比例のグラフは、軸にどんどん近づくけど、ぜったいにくっつかないんだ！

グラフのかき方と、比例定数の符号

反比例のグラフは、次の手順でかきます。

1. $x$ に 1、2、3、6 などを入れて、$y$ が整数になる点をさがす（$y=\dfrac6x$ なら $(1,\ 6)$、$(2,\ 3)$、$(3,\ 2)$、$(6,\ 1)$）。
2. $x$ が負の数の点もとる（$(-1,\ -6)$、$(-2,\ -3)$ など）。
3. 点をなめらかな曲線で結ぶ。折れ線にしない。軸にはくっつけない。

比例定数 $a$ が正なら、グラフは右上と左下にあります。$a$ が負なら、左上と右下にあります。$y=-\dfrac6x$ は、$x=2$ のとき $y=-3$ で、右下の点 $(2,\ -3)$ を通ります。

テスト・入試ではこう出る

小学6年では、表を完成させる問題や、「比例・反比例・どちらでもない」を選ぶ問題がよく出ます。中学受験では、速さと時間、歯車の回転数、仕事にかかる日数など、積が一定になる文章題が出ます。中学1年では、式を求める問題と、グラフをかく・読む問題が中心です。

まなぶくん

歯車も「歯の数×回転数」が同じだから反比例なんだ！

まちがえやすい点

合格先生

「増えるとへる」だけでは反比例とは言えない！ かけ算が一定かを確かめよう。

• 「増えるとへる」だけで反比例と決める：$y=10-x$ も $x$ が増えると $y$ はへりますが、反比例ではありません。$x=2$ で $y=8$、$x=4$ で $y=6$ なので、$x$ が2倍でも $y$ は半分になりません。かけ算が一定かを確かめます。
• グラフを直線でかく・軸にくっつける：反比例のグラフはなめらかな曲線で、$x$ 軸にも $y$ 軸にも交わりません（$x=0$ では $y$ が決まりません）。
• 比例定数の求め方を比例とまぜる：反比例では $a=x\times y$ です。$x=3$、$y=4$ なら $a=12$。$y\div x$ で求めるのは比例のときです。
• 負の数の符号をおとす：$x=4$、$y=-3$ なら $a=-12$ です。$a=12$ にすると、グラフの位置が左上・右下から右上・左下へ、まるごと変わってしまいます。
• グラフを片方だけかく：中学1年では $x$ が負の数の部分もかきます。$y=\dfrac6x$ なら、右上の曲線だけでなく左下の曲線も必要です。

ことばの由来

反には「反対」「逆」という意味があります。比例は「$x$ が2倍なら $y$ も2倍」でした。反比例は「$x$ が2倍なら $y$ は逆に $\dfrac12$倍」です。英語では inverse proportion（インバース プロポーション）といい、inverse も「逆の」という意味です。

グラフの名前の双曲線は「2つの曲線」という意味で、2つに分かれた形を表しています。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 比例・反比例の式
• 逆比（速さ・時間・面積と逆比）
• 分数関数・無理関数

あわせて覚えたい用語

• 比例定数
• グラフ
• 漸近線

よくある質問