素数定理とは？わかりやすく｜x以下の素数は約x÷log x個・ガウスの予想と1896年の証明

素数定理とは？（ひとことで）

素数定理とは、「$x$ 以下の素数の個数は、およそ $\dfrac{x}{\log x}$ 個である」という定理です。素数が「どのくらいの割合で出てくるか」を教えてくれる法則で、1896年に、フランスのアダマールの業績と生涯とベルギーのド・ラ・ヴァレー・プーサンが、それぞれ別々に証明しました。

この予想は、さらに100年さかのぼる1790年代に、ガウスの業績と生涯とルジャンドルの業績と生涯が、素数の表をながめて立てました。ガウスは15〜16歳だった1792〜93年ごろから考えていたと、のちに語っています。「素数はでたらめに並んでいるのに、その数だけを数えると、きれいな式にしたがう」――これが素数定理のおもしろさです。

ここでの $\log x$ は、ネイピア数 $e$ を底とする自然対数（高校の数学Ⅲで習います）です。たとえば $x=1000$ なら、$\log 1000\approx 6.9$ ですから、1000以下の素数は $1000\div6.9\approx145$ 個と見積もれます。実際は168個ですから、だいたい合っています。指数法則と対数の公式や対数とはが出発点です。

素数定理の意味をやさしく解説

素数の個数を数える関数 $\pi(x)$

数学では、「$x$ 以下の素数の個数」を $\pi(x)$ と書きます。円周率の $\pi$ とは関係ありません（素数＝prime の頭文字にあたるギリシャ文字として使われています）。たとえば 10以下の素数は 2、3、5、7 の4個なので $\pi(10)=4$、100以下は25個で $\pi(100)=25$、1000以下は168個で $\pi(1000)=168$ です。素数は無限にあるか（ユークリッドの証明）で見たとおり、素数は無限にあるので、$\pi(x)$ は $x$ とともにどこまでも増えていきます。問題は、どのくらいの速さで増えるかです。

見積もりの式 $x \div \log x$

下の表は、実際の素数の個数と、$x\div\log x$ をくらべたものです。右はしの「比」は、実際の個数 ÷ 見積もりです。

表を見ると、10までは比が1より小さいのに、100では1.15、1000では1.16と、見積もりより実際のほうがやや多いことが分かります。ところが $x$ が大きくなるにつれて、比は1.16、1.13、1.10、1.08、…と下がっていき、10億では1.054になります。素数定理は、この比が、$x$ を限りなく大きくすると1に近づくと言っているのです。数式では、

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\log x}=1$$

と書きます。「$\pi(x)$ と $x/\log x$ は、$x$ が大きいところで、ほとんど同じ大きさ」という意味です（このことを「漸近的に等しい」といい、$\pi(x)\sim x/\log x$ と書きます）。極限とはの考え方が使われています。

「何個に1個が素数か」と読みかえる

素数定理は、「$x$ のあたりの整数のうち、素数は約 $\log x$ 個に1個」と言いかえられます。1000のあたりでは約6.9個に1個、100万のあたりでは約13.8個に1個です。桁がふえるごとに、素数はまばらになりますが、ゆっくりです。$\log x$ は、$x$ が1000倍になっても、約6.9しか増えません。

もっと正確な見積もり：対数積分 $\mathrm{Li}(x)$

$x\div\log x$ は覚えやすい式ですが、実はそれほど正確ではありません。もっとよい見積もりが、対数積分とよばれる$\mathrm{Li}(x)=\displaystyle\int_2^x\frac{dt}{\log t}$ です（積分の公式で習う定積分です）。ガウスは、この形を最初に考えたと伝えられます。下のグラフでは、$\mathrm{Li}(x)$ のほうが階段にずっと近いことが分かります。

たとえば $x=10^9$（10億）では、実際の個数は50,847,534個。$x/\log x$ は約48,254,942個で、約260万個ずれます。いっぽう $\mathrm{Li}(x)$ とのずれは、たった1,701個です（数学の公式と用語の一覧でも、対数を学ぶ入口が見つかります）。

ふだんの感覚で言うと

素数定理は、「くじ引き」にたとえられます。$x$ のあたりの数それぞれが、「確率 $1/\log x$ で当たり（素数）」のくじだと考えるのです。1つ1つの結果は予測できませんが、たくさんひくと、当たりの総数はほぼ決まります。実際の素数は、さいころのような偶然ではなく、きちんとした規則で決まっています。それでも、全体は「くじ引き」と同じ形になる――これが、リーマン予想までつながる、素数の「ふしぎな秩序」です。

素数定理の歴史と年表

1790年代：ガウスとルジャンドルの予想

ガウスは、素数の表をながめて、「$x$ 付近で素数が現れる割合は $1/\log x$ に近い」ことに気づいたと、のちの1849年にエンケに宛てた手紙で語っています。気づいたのは1792年か93年、ガウスが15〜16歳のころです。ただし、ガウスはこれを論文として発表せず、証明も示しませんでした。

いっぽうルジャンドルは、1798年の著書『数の理論についての試論』で、$\pi(x)$ が $x/(A\log x+B)$ の形で近似されるという推測を述べ、1808年の改訂版では $\dfrac{x}{\log x-1.08366}$ という具体的な式を書きました。この「$-1.08366$」は、ルジャンドルが表から求めた数で、のちに（$x$ が無限に大きいところでは）正確には「$-1$」であるべきことが分かりました。ふたりとも、証明はできなかったが、予想は的中していたのです。

1848〜50年：チェビシェフが道をひらく

ロシアの数学者チェビシェフは、1848年と1850年の論文で、大きな一歩を踏み出しました。「もし比 $\pi(x)/(x/\log x)$ の極限があるなら、それは1に等しい」ことを示し、さらに比が約0.92から1.11のあいだに入ることを証明しました。極限があるとまでは示せませんでしたが、素数の個数が $x/\log x$ の「定数倍」ではさめることが分かったのです。同時に、「$n$ と $2n$ のあいだには、$n>3$ ならかならず素数がある」というベルトランの仮説を証明しました（1850年）。

1859年：リーマンの論文

1859年、リーマンの業績と生涯は、数論についての唯一の論文『与えられた数より小さい素数の個数について』を書きました。ここでリーマンは、ゼータ関数$\zeta(s)$ を複素数 $s$ まで広げ、その「零点」の位置が、素数の分布の細かい波打ちを決めていることを示しました。証明は完全ではなかったものの、この考え方が、素数定理の証明の決め手になります。リーマンが論文の中で述べた予想が、リーマン予想です。

1896年：ついに証明

1896年、アダマールとド・ラ・ヴァレー・プーサンは、それぞれ独立に、「ゼータ関数 $\zeta(s)$ は、実部が1の直線の上に零点をもたない」ことを証明し、そこから素数定理を導きました。予想から約100年後のことです。チェビシェフがはさみうちまでできていた比を、1にしぼりこんだのです。ふたりは同じ年に証明を発表しました。ド・ラ・ヴァレー・プーサンは1899年に、誤差についても、よりくわしい結果を出しました。

1949年：「初等的」な証明

アダマールたちの証明は、複素数の関数を使う、少し高度なものでした。「素数を数える問題なのだから、複素数を使わなくても証明できるはずだ」と考える数学者も多く、実際、1949年にエルデシュの業績と生涯とセルバーグが、複素数を使わない「初等的な証明」を発表しました。ただし、「初等的」とは「簡単」という意味ではなく、証明はむしろたいへん込み入っています。この発見をめぐって、ふたりのあいだで先取権（だれが先に見つけたか）についての論争があったと伝えられます。セルバーグは、この仕事などで1950年にフィールズ賞を受けました。

1980年には、ニューマンが、複素関数の基本定理（コーシーの積分定理）だけを使う、短い証明を発表しました。教科書では、いまはこの証明が使われることが多いです。

素数定理はいつ・だれが解いた？

素数定理は、1896年に、アダマールとド・ラ・ヴァレー・プーサンが、別々に証明しました。解決ずみの問題です。ここでは、証明の「ざっくりした考え方」と、その後の進展を紹介します。

証明の考え方（ざっくり）

1. 素数をゼータ関数にむすびつける：オイラーが見つけた式 $\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}$ は、足し算（左）と素数の積（右）を結びます。左の足し算は、素因数分解の一意性があるから、右の積と等しくなります。
2. 素数の個数をゼータ関数で表す：リーマンやフォン・マンゴルトは、素数の個数に近い量が、ゼータ関数の「零点」と関係した式で書けることを示しました。
3. 実部が1の線に零点がないことを示す：アダマールとプーサンは、この点を証明しました。零点がもしそこにあったら、式にじゃまな波が入りこみ、$x/\log x$ 以外の大きさになってしまうからです。
4. 素数定理がしたがう：ほかの部分はおさえられるので、結局、個数は $x/\log x$ にもっとも近くなります。

つまり、「素数の分布を知るには、ゼータ関数の零点の位置を知ればよい」ということです。零点の位置をもっと正確に分かれば、誤差もさらに正確に分かります。

誤差についての今

素数定理は「ほぼ $\mathrm{Li}(x)$」と言っているだけで、誤差の大きさについては、さらに細かい問題があります。ド・ラ・ヴァレー・プーサンの結果（1899年）では、誤差は $x$ より少し小さい程度と分かっていますが、リーマン予想が正しければ、誤差はおおよそ $\sqrt{x}\log x$ 程度におさえられると分かっています（フォン・コッホ、1901年）。つまり、リーマン予想は「素数定理の誤差をいちばんせまく押さえられるか」という問いと同じ意味をもっています。この意味で、素数定理は終点ではなく、リーマン予想への入口でもあります。

おもしろい事実：Li(x) は、いつも π(x) より大きい？

$x$ が小さいうちは、$\mathrm{Li}(x)$ は $\pi(x)$ より、いつも少し大きくなります。実際に調べられた範囲（$10^{18}$ ぐらいまで）では、ずっとそうです。そのため、「Li(x) は、いつも π(x) より大きい」と思われていました。ところが1914年、リトルウッドが、この大小が、無限に何度も入れかわることを証明しました。最初に逆転する場所は、$10^{316}$ のあたりだろうと推測されていて、いまも見つかっていません。「どんなに大きな数まで確かめても、証明にはならない」好例です。ゴールドバッハ予想でも同じことが言えます。

素数定理はなぜ難しかったのか

1. 素数の並びは、でたらめに見える

素数を小さい順に並べても、規則的な式は見つかりません。2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、…。差は 1、2、2、4、2、4、2、4、6、2、6、…。この不規則さの中から、「個数だけは規則的」という法則を見つけ、証明するのは、とても難しいことでした。数え上げの方法だけでは、チェビシェフのように「ある範囲にはさむ」ところまでしか行けませんでした。

2. 実数だけでは足りなかった

チェビシェフまでは、実数の世界の道具で素数を調べていました。ところが、素数定理を証明するには、複素数（虚数・複素数）の世界でゼータ関数を調べる必要がありました。「整数の問題を解くために、複素数の関数を使う」という発想は、リーマンが1859年に示すまで、だれも思いつかなかったことです。そのため、リーマンの論文から証明まで、さらに37年かかりました。

3. 「零点がない」ことを示すのが難しい

決め手となる「実部が1の直線上に零点がない」を示すのは、アダマールの業績ほどの数学者にとっても大仕事でした。ここで使われた技は、三角関数の不等式を使って「もし零点があれば、矛盾が出る」と示すものでした（プーサンとアダマールの証明の中心です）。

4. 「初等的」な証明がなかなか見つからなかった

複素数を使わない証明は、1949年までなかったので、その間、「複素数を使わなければ、素数定理は証明できないのでは」とすら言われました。ハーディが、そのような初等的な証明が見つかれば、数論の基本的な理論をもう一度作り直す必要が出るだろう、と述べたことが知られています（といわれます）。エルデシュとセルバーグが証明を見つけたとき、数学者たちは大きく驚きました。

よくある誤解：素数定理は「素数の公式」？

「素数定理があれば、$n$ 番目の素数が分かる」と思う人がいますが、それはまちがいです。素数定理が教えてくれるのは、個数のおおよその大きさだけで、「何番目の素数がいくつか」や「ある数が素数か」は教えてくれません。ただし、素数定理から、「$n$ 番目の素数はおよそ $n\log n$」という見積もりは出てきます（$n=1000$ なら約6908。実際は7919です）。

受験・勉強と素数定理のつながり

中学受験：素数は「だんだんまばらになる」

中学受験で習う素数の表を見ると、1〜10に4個、11〜20に4個、21〜30に2個、…と、少しずつ減っていきます。100までに25個（4分の1）、1000までに168個（約6分の1）、1万までに1229個（約8分の1）です。これは、素数定理の「約 $\log x$ 個に1個」という性質のひとつの現れです。素因数分解と約数の個数と合わせて、100までの素数25個はぜひ覚えましょう。

高校・大学受験：対数と極限の練習になる

素数定理そのものは入試には出ませんが、その中に出てくる道具は、入試のど真ん中です。

• 対数：$\log x$ の値を見積もる（$\log_{10}2\approx0.3010$、$\log_{10}3\approx0.4771$ など）。常用対数とけた数・最高位の数は国公立大2次の頻出問題です。自然対数と常用対数の関係 $\log x=\log_{10}x\div\log_{10}e\approx2.3026\log_{10}x$ を覚えておくと、素数定理の見積もりが速くなります。
• 極限：$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\log x}=1$ のように、比の極限を考える。数列の極限・無限等比級数や収束と発散の考え方です。
• 積分：$\mathrm{Li}(x)$ は定積分。定積分と面積で、曲線の下の面積として考えられます。
• 数列の和と積分の大小：積分による不等式の評価（和と積分の大小）は、素数定理の証明の下ごしらえにも使われる技術です。

「素数の個数を見積もる」ような問題に出会ったら、まず小さい $x$ で表を作ることです。そして、近似式と実際の値をくらべる。これは、数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）の「実験する」習慣そのものです。

数学オリンピックと大学以降

数学オリンピックでは、素数定理そのものは使えませんが、チェビシェフの結果（$n$ から $2n$ のあいだに素数がある）や、素数の個数の簡単な評価が使われることがあります。大学では、解析的整数論の授業で、この定理を学びます（数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）も参考にどうぞ）。

素数定理が数学・社会にあたえた影響

• 解析的整数論の誕生：整数の問題を、複素関数で調べるという新しい分野が、素数定理を中心にひらけました。ディリクレの業績と生涯の算術級数定理から、リーマン、アダマール、プーサンへと続く道です。
• リーマン予想の動機：素数定理の証明に使われたゼータ関数の零点の話は、そのままリーマン予想につながります。リーマン予想は、素数定理の誤差を最小にする問題でもあります。
• 暗号（RSA暗号）：インターネットの暗号は、大きな素数を2つ見つけてかけ合わせることに頼っています。素数定理があるから、たとえば2の1024乗ぐらいの数のなかから素数を探すと、$\log(2^{1024})\approx710$ なので、約710個に1個（奇数だけ調べれば約355個に1個）の割合で見つかる、と見積もれます。「探せばすぐ見つかる」と分かるおかげで、安全な暗号を毎回つくれるのです。
• 確率的な見方：素数を「確率 $1/\log x$ で出てくる数」と見る考え方（クラメールのモデル）は、双子素数やゴールドバッハ予想の予測にも使われます。双子素数予想やゴールドバッハ予想で、予想される個数を見積もるのに使えます。
• コンピューターの検算：$\pi(x)$ の正確な値は、10の20乗をはるかに超える大きさまで計算されています。素数定理の見積もりと比べることで、プログラムが正しいかの検査もできます。

ガウスの時代には、素数の表を手で作っていました。いまはパソコンで何十億もの素数を一瞬で調べられます。それでも「なぜ $x/\log x$ なのか」を理解するには、オイラーの業績と生涯の積の式からリーマンの複素関数まで、200年以上の数学が必要でした。

素数定理に挑戦！練習問題

素数定理と関係する数学者・難問

• ガウスの素数研究：10代で素数定理を予想し、$\mathrm{Li}(x)$ に気づいたと伝えられます。
• ルジャンドルの業績：1798年に素数の個数の近似式を推測しました。
• リーマンの業績：ゼータ関数の零点と素数の関係を示し、証明の道をひらきました。
• アダマールの業績：1896年、ド・ラ・ヴァレー・プーサンとともに素数定理を証明しました。
• エルデシュの業績：1949年、セルバーグと別々に初等的な証明を見つけました。
• 素数は無限にあるか・リーマン予想・ゴールドバッハ予想・双子素数予想：素数の分布をめぐる、並び立つ難問です。

ほかの解かれた難問・決着した問題

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  ほかの公理から平行線の公理を証明できるか。証明できず、成り立たない幾何学（非ユークリッド幾何学）もあると分かった
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