セルバーグは何をした人？業績・生涯・名言｜セルバーグの篩・素数定理の初等的証明・跡公式をわかりやすく

セルバーグは何をした人？業績・生涯・名言｜セルバーグの篩・素数定理の初等的証明・跡公式をわかりやすく

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セルバーグAtle Selberg

ひとことで言うと

セルバーグの篩・素数定理の初等的な証明・跡公式で知られるノルウェー生まれの数学者。1950年にフィールズ賞を受けた。

名前アトル・セルバーグ（Atle Selberg）
生没年1917年6月14日〜2007年8月6日（90歳）
国ノルウェー（ランゲスン生まれ）、のちアメリカ（プリンストンで没）
分野数論・解析的整数論・保型形式
主な業績セルバーグの篩（1947年）、ゼータ関数のゼロ点が臨界線上に正の割合（1942年）、素数定理の初等的な証明（1948〜49年）、跡公式、セルバーグ・ゼータ関数
名前がつくものセルバーグの篩・セルバーグの対称公式・セルバーグの跡公式・セルバーグ・ゼータ関数・セルバーグ積分・ランキン・セルバーグ法・セルバーグ予想・セルバーグ類
受賞フィールズ賞（1950年）、ウルフ賞（1986年）、名誉アーベル賞（2002年）
よばれ方20世紀を代表する数論の大家、プリンストン高等研究所の数学者

このページのポイント

  • 数を「ふるう」ことで素数を調べるセルバーグの篩を考え、解析的整数論の基本の道具にした
  • 1948〜49年に、複素数を使わない素数定理の初等的な証明を見つけ、1950年にフィールズ賞を受けた
  • のちに跡公式とセルバーグ・ゼータ関数を生み出し、数論と幾何学をむすんだ

セルバーグは何をした人？（業績をひとことで）

アトル・セルバーグ（1917〜2007年）は、ノルウェー生まれの数学者です。のちにアメリカへ渡り、プリンストン高等研究所で長く研究しました。専門は数論（整数や素数の性質を調べる分野）です。素数の性質を調べる「ふるい」の方法（セルバーグの篩）、リーマンのゼータ関数のゼロ点が、ある直線の上に正の割合であることの証明（1942年）、そして素数定理の初等的な証明（1948〜49年）で知られます。

素数定理の初等的な証明は、エルデシュの業績と生涯との先取権の行きちがいでも有名です。この仕事などで、セルバーグは1950年にフィールズ賞（数学の最高の賞のひとつ）を受けました。さらに、のちにセルバーグの跡公式（トレース公式）とセルバーグ・ゼータ関数を生み出し、現代の数学に大きな影響をあたえました。1986年にはウルフ賞も受けています。

受験生にとってのセルバーグは、素数（中学受験から大学入試まで）と、素数を数える篩（エラトステネスの篩の親戚）の裏側にいる人です。

うかるくん

うかるくん

篩って、素数を見つけるときにも使いますよね。セルバーグの篩は、それと同じものですか？

合格先生

合格先生

親戚だね。エラトステネスの篩は、素数をぜんぶ見つけるための作業だ。セルバーグの篩は、「素数が、だいたいどのくらいあるか」を、上から見積もるための方法なんだ。同じ「ふるい」でも、使い方がぜんぜん違うんだよ。

セルバーグの生涯と年表

ノルウェーの数学一家に生まれる

セルバーグは1917年6月14日、ノルウェー南部の港町ランゲスンで生まれました。9人きょうだいの末っ子で、父オーレは数学の先生でした。兄のヘンリクとシグムンドも数学者になり、双子の兄のアルネも大学の教授になりました。なかでもシグムンドは、弟にチェビシェフ（素数の個数を研究したロシアの数学者）の仕事を読むようすすめた、と伝えられます。

少年のころのセルバーグは、父の数学の本を読んで、独学で勉強しました。17歳ごろにインドの天才ラマヌジャンの業績と生涯の論文集を読み、強い影響を受けたとされます。1936年、19歳になる年に、最初の論文「ある整数の恒等式について」をドイツ語で発表しました。1935年にオスロ大学に入り、1939年の春に修士の学位を得ています。

戦争のなかで、ひとり研究を続ける

1939年の秋に第二次世界大戦が始まり、ドイツの数学者ヘッケのもとへ行く計画は、中止になりました。1940年4月にドイツ軍がノルウェーに侵攻すると、セルバーグは砲兵の部隊で戦い、のちに捕虜になった、と伝えられます。その後は占領下のノルウェーで、ほかの国の数学者との連絡もほとんどないまま、ひとりでリーマンのゼータ関数のゼロ点を研究しました。1943年10月22日に、このゼロ点についての論文で、博士の学位を得ています。

しかし、学位の審査が終わった直後に、ドイツ軍に逮捕されました。オスロを離れることを条件に釈放され、戦争が終わるまで、高校時代を過ごしたジョービクで、ひとりで研究を続けたと伝えられます。1942年の大きな成果が世界に知られたのは、戦後のことでした。

アメリカへ。プリンストン高等研究所

1947年にアメリカへ渡り、プリンストン高等研究所で研究しました。1948年から1949年にかけてはシラキュース大学の準教授をつとめ、1949年に高等研究所へ戻りました。1951年には教授になり、1987年に70歳で退職するまで、研究所の中心的な数学者として働きました。長いあいだノルウェーの国籍のままでしたが、1990年代にアメリカの市民権を得たとされます。

フィールズ賞、ウルフ賞、そして晩年

1950年にフィールズ賞、1986年にウルフ賞（数学部門）を受けました。2002年（アーベルの生誕200年）には、名誉アーベル賞も贈られています。2007年8月6日、アメリカのニュージャージー州プリンストンの自宅で、90歳で亡くなりました。

年できごと
1917年6月14日、ノルウェーのランゲスンで生まれる（9人きょうだいの末っ子）
1936年最初の論文を発表。この前後にラマヌジャンの論文集を読む
1939年オスロ大学で修士の学位。第二次世界大戦が始まる
1942年ゼータ関数のゼロ点が、臨界線の上に正の割合である、という結果を得る
1943年10月22日、ゼータ関数のゼロ点についての論文で博士の学位
1947年セルバーグの篩の論文。アメリカへ渡り、プリンストン高等研究所へ
1948年3月、新しい公式（のちのセルバーグの対称公式）を示す。シラキュース大学へ
1949年素数定理の初等的な証明を発表。プリンストン高等研究所へ戻る
1950年フィールズ賞を受ける
1951年プリンストン高等研究所の教授になる
1956年このころ、跡公式（トレース公式）を発表する
1986年ウルフ賞（数学部門）を受ける
1987年高等研究所を退職する
2007年8月6日、プリンストンで亡くなる（90歳）

セルバーグの主な業績をやさしく解説

業績1　セルバーグの篩（ふるい）

素数の性質を調べるとき、「ふるい」の考え方がよく使われます。もっとも古いのは、古代ギリシャのエラトステネスの業績と生涯の「エラトステネスの篩」です。2の倍数、3の倍数、5の倍数……と、順番に消していくと、最後に素数だけが残ります。

エラトステネスのふるい123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748492の倍数3の倍数5の倍数7の倍数残った数が素数（49までに15個）
2・3・5・7の倍数を順に消すと、緑の素数だけが残る（49まで）

ただし、この方法で数えると、大きな数では、消す作業がとても大変になります。そこで、「消した数の個数を、うまく見積もる」ことで、素数の個数を調べる方法が考えられました。たとえば、1から30までで、2・3・5の倍数をすべて消すと、残るのは 1、7、11、13、17、19、23、29 の8個です。残る数の個数は、その範囲にある5より大きい素数（7〜29の7個）の個数より、多くなります。このように、「残る数の個数」を押さえれば、素数の個数を上から押さえられるのです。

ふるいで残る数を数える1234567891011121314151617181920212223242526272829302・3・5の倍数をふるい落とすふるいに残った数は 8個1 と、素数 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29残った数の個数は、5より大きい素数の個数以上（上から押さえられる）「どれだけ残るか」をうまく見積もるのが篩の方法
1〜30から2・3・5の倍数を消すと、8個が残る

この考えを大きく進めたのが、20世紀初めのブルン（ノルウェーの数学者）です。ブルンは、双子素数（差が2の素数のペア）の逆数の和が有限の値に収まることを、ふるいの方法で示しました。そして1947年、セルバーグが、ブルンの方法をより強く、整った形にしました。

セルバーグのアイデアは、こうです。ふるいで残る数を数えるとき、ふつうは「消す・消さない」を、足したり引いたりして数えます（集合の要素の個数で習う、ベン図の考え方です）。セルバーグは、その足し引きの代わりに、数にうまく「重み」をつけて、2乗の形の式をつくりました。2乗は、いつでも0以上です。この性質を使うと、「残る数の個数」を、上から押さえられます。そして、重みの選び方を工夫して、押さえる値をいちばん小さくします。

この方法は、セルバーグの篩とよばれ、いまでも解析的整数論の基本の道具のひとつです。「等差数列の中の素数の個数」を上から押さえるブルン・ティッチマーシュの定理などに使われています。さらに、陳景潤の業績と生涯がゴールドバッハ予想に迫った「1+2」の定理（ゴールドバッハ予想とは？）や、張益唐の業績と生涯らによる双子素数の研究も、この篩の方法の発展の上に立っています。

業績2　ゼータ関数のゼロ点が、臨界線の上に正の割合（1942年）

リーマンの業績と生涯は、ゼータ関数 ζ(s)\zeta(s) という関数を考え、そのゼロ点（ζ(s)=0\zeta(s)=0 となる ss）が、素数の出方を決める、と考えました。そして、「複素数平面で、実部が 12\dfrac12 の直線（臨界線）の上に、ゼロ点がすべてある」と予想しました。これがリーマン予想です。いまも未解決の、数学の大問題です。

ハーディの業績と生涯は、1914年に、「臨界線の上に、ゼロ点が無限にある」ことを示しました。ただ、無限にあるといっても、ゼロ点の全体からみて「どのくらいの割合か」は分かりませんでした。1942年、セルバーグが、「臨界線の上に、ゼロ点が正の割合（ある決まった正の値以上）である」ことを証明しました。「少なくとも一定の割合はある」と分かった、はじめての結果です。

その後、割合の下限は、少しずつ引き上げられてきました。レヴィンソンが1974年に3分の1以上、コンリーが1989年に40％以上と示しています。けれども、リーマン予想が主張する「すべて」には、まだ届いていません。

臨界線上のゼロ点の割合1942年　セルバーグ正の割合（小さな値）1974年　レヴィンソン3分の1以上1989年　コンリー40％以上リーマン予想100％（すべて）直線 Re s＝1/2 の上にあると分かったゼロ点の割合
セルバーグ以降、臨界線上のゼロ点の割合の下限は少しずつ上がってきた

この証明のとき、セルバーグはモリファイア（なめらかにする道具）という工夫を使いました。ゼータ関数の値に、うまく選んだ関数をかけて、ゼロ点の様子を見やすくする方法です。これは今も、ゼータ関数の研究で使われる考え方です。戦争中、ほかの国の数学者と連絡をとれないなかで、ひとりで得た成果だと伝えられます。

業績3　素数定理の初等的な証明（1948〜49年）

素数定理とは、「xx 以下の素数の個数 π(x)\pi(x) が、xln⁡x\dfrac{x}{\ln x} に近づく」という定理です。1896年にアダマールの業績と生涯とド・ラ・ヴァレ・プーサンが、ゼータ関数と複素数の関数をつかって証明しました。「素数という整数の話を、複素数なしで証明できるはずだ」という考えもありましたが、長いあいだ、見つかりませんでした。

1948年3月、セルバーグは、初等的な（複素数の関数を使わない）方法で、新しい漸近式を示しました。のちにセルバーグの対称公式とよばれる式です。ここで、ϑ(x)\vartheta(x) は、xx 以下のすべての素数 pp について、ln⁡p\ln p を足し合わせたものです。

ϑ(x)ln⁡x+∑p≦xln⁡p  ϑ ⁣(xp)=2xln⁡x+O(x)\vartheta(x)\ln x+\displaystyle\sum_{p\leqq x}\ln p\;\vartheta\!\left(\dfrac{x}{p}\right)=2x\ln x+O(x)

1948年の7月ごろまでに、セルバーグとエルデシュは、どちらもこの公式から出発して、初等的な素数定理の証明に到達しました。「初等的」とは「やさしい」という意味ではありません。複素数の関数を使わない、という意味です。実際には、この証明は、複素数を使う証明よりも込み入っています。

初等的な証明が生まれた流れ1948年3月セルバーグが新しい公式を示す1948年7月ごろまでに二人がそれぞれ初等的な証明に1948〜49年論文を発表。先取権で行きちがい1950年セルバーグがフィールズ賞
1948年のセルバーグの公式から、二人の初等的な証明、そして1950年のフィールズ賞へ

この発見をめぐって、二人のあいだで先取権（だれが先か）の行きちがいが生まれたことが、よく知られています。MacTutor（数学史のサイト）などは、次のように伝えています。二人は1948年7月ごろまでに、同じ公式から出発して、それぞれ証明に到達しました。エルデシュはこの仕事を共同のものと考えたのに対し、セルバーグは自分の道すじで証明をまとめ、1949年にそれぞれ論文を発表しました。MacTutorは、エルデシュが共同論文を多く書く人で、セルバーグはほとんど書かない人だったことが、行きちがいの背景にあると見ています。細かな事情は、のちの人の語りによってちがい、歴史家の整理（ゴールドフェルドの論文など）でも、時間がたつうちに話がゆがんで伝わったと指摘されています。ここでは、どちらが正しいかを決めず、「行きちがいがあった」という事実だけを書いておきます。

なお、エルデシュは、1951年にアメリカ数学会のコール賞（数論部門）を受けています。

業績4　セルバーグの跡公式とセルバーグ・ゼータ関数

1950年代、セルバーグは、数論にスペクトル論（図形が出す「音」を調べる考え方）を持ちこみ、跡公式（トレース公式）を発表しました。これは、セルバーグの代表的な業績といわれています。

たとえば、ドラムの膜の形がちがうと、出る音の高さがちがいます。「音の高さ」の集まりを調べれば、膜の形について何かが分かります。同じように、曲がった面（リーマン面）には、その面に特有の「音の高さ」（ラプラシアンの固有値）があります。セルバーグの跡公式は、この音の高さの集まりと、面の上の閉じた測地線（面の上の最短の周回路）の長さの集まりを、1本の式で結びつけます。

跡公式がむすぶもの数論の側図形の側素数の並び方閉じた測地線（曲面の上の最短周回路）ゼータ関数のゼロ点ラプラシアンの固有値（音の高さ）セルバーグの跡公式は、この2つの側を1本の式でむすぶ素数とゼロ点の関係に、よく似ている
素数↔閉じた測地線、ゼロ点↔固有値という対応。跡公式はこれを結ぶ式

この式は、数論で、素数とゼータ関数のゼロ点を結びつける式と、とてもよく似た形をしています。そこでセルバーグは、閉じた測地線の長さを使って、セルバーグ・ゼータ関数を定義しました。この関数には、リーマン予想に対応する「予想」が、証明できます。つまり、本物のゼータ関数では分からないことが、このゼータ関数では分かるのです。MacTutorは、このことを、跡公式の大きな成果として紹介しています。

業績5　セルバーグ積分と、そのほかの仕事

セルバーグには、ほかにも、名前のついた仕事がたくさんあります。

  • セルバーグ積分：1944年の論文にある、多くの変数の積分の公式。のちに、確率論や物理の分野でも使われるようになりました。
  • ランキン・セルバーグ法：2つの保型形式（対称性の強い関数）から、新しいL関数をつくる方法。ランキンと、セルバーグが別々に見つけたとされます。
  • セルバーグ予想（固有値予想）：ある曲面の「いちばん低い音」の高さの下限についての予想。いまも研究が続いています。
  • セルバーグ類：ゼータ関数のなかま（L関数）を、公理でまとめて研究するための枠組みで、1990年前後に提案されました。

セルバーグの名前がつく公式・定理・用語

  • セルバーグの篩：ふるいに残る数の個数を、重みをつけた2乗の式で、上から押さえる方法（1947年）。
  • セルバーグの対称公式：ϑ(x)ln⁡x+∑p≦xln⁡p  ϑ(x/p)=2xln⁡x+O(x)\vartheta(x)\ln x+\sum_{p\leqq x}\ln p\;\vartheta(x/p)=2x\ln x+O(x)。素数定理の初等的な証明の出発点（1948年）。
  • セルバーグの跡公式（トレース公式）：面の上の閉じた測地線の長さと、ラプラシアンの固有値を結びつける公式。
  • セルバーグ・ゼータ関数：閉じた測地線の長さからつくるゼータ関数。リーマン予想に似た性質が証明されている。
  • セルバーグ積分：多変数の積分の公式（1944年）。
  • ランキン・セルバーグ法：保型形式のL関数をつくる方法。
  • セルバーグ予想：曲面の最小の固有値についての予想。
  • セルバーグ類：L関数を公理でまとめた枠組み。

素数の基本は、素因数分解と約数の個数、素数の意味、素因数分解の意味で確かめられます。ふるいの考え方に近い集合の数え方は、集合の要素の個数の求め方にあります。

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

「セルバーグ」は、入試では素数とふるいで数える方法の裏にいる人。1から順に消していくエラトステネスの篩と、「いくつ残るか」を数える集合の考え方をしっかり覚えておこう。

セルバーグの逸話と名言

ラマヌジャンの本が、人生を決めた

MacTutorによると、セルバーグは17歳ごろ、ラマヌジャンの論文集を読み、数論に強く心を引かれました。ラマヌジャンの人柄にも「ふしぎな雰囲気」を感じた、と語ったとされます。ラマヌジャンは、ほとんど独学で、次々と不思議な公式を見つけたインドの数学者です。自分もまた、独学で数学を学んだセルバーグにとって、特別な存在だったのでしょう。

ひとりで見つけたゼロ点の結果

セルバーグは、占領下のノルウェーで、ゼータ関数のゼロ点の結果をひとりで得ました。戦時中は、外国の雑誌がほとんど入ってきません。ほかの数学者の仕事を知らないまま、自分で考えた、と伝えられます。この結果は、戦争が終わってから世界に知られました。

共同で書くのが苦手？

エルデシュは、世界中の数学者と共同研究をして、1,500本以上の論文を書いた人です。反対にセルバーグは、共同論文をほとんど書かない人でした。この二人の性格のちがいが、先取権をめぐる行きちがいの背景にあったのでは、といわれることもありますが、本当のところは分かりません。

植物と貝がら

MacTutorによると、セルバーグは少年のころ、植物を集めて、大きな標本をつくっていました。のちには、貝がらを集めたそうです。数学以外にも、自然の観察が好きだったようです。

自分の仕事について

セルバーグは、自分の仕事について、基本の考えはいつもかなり単純で、やさしい言葉で説明できるものだった、と控えめに語った、と伝えられます。難しい成果が、じつは単純な考え方から生まれている、というのも、数学のおもしろいところです。

基本的な考えは、いつもかなり単純で、やさしい言葉で説明できるものだった。

アトル・セルバーグ（1990年の発言の趣旨）（MacTutorの伝記（ヒース＝ブラウンが紹介した発言）。英語を訳した要約で、言い回しはちがいます）
サクラちゃん

サクラちゃん

ひとりぼっちで研究していたなんて、さびしくなかったのかな。

合格先生

合格先生

どう感じていたかは、本人にしか分からないね。ただ、事実として、情報が少ないなかで、自分で考え抜いたから、独自の結果が出た、といえるかもしれない。受験勉強でも、自分の頭でとことん考える時間は大事だよ。

受験・勉強とセルバーグのつながり

中学受験・高校受験：素数とふるい

中学受験では、「1から100までの素数を、すべて書く」問題が出ます。このとき、エラトステネスの篩を使えば、機械的に素数を見つけられます。素因数分解や、最大公約数・最小公倍数の問題でも、素数が活躍します。唯一の偶数の素数「2」の話、2027は素数？双子素数と西暦の入試問題もどうぞ。

高校数学・大学入試：集合の要素の個数

「1から100までの整数で、2でも3でも割り切れない数はいくつか」という問題は、集合の要素の個数の問題です。これは、セルバーグの篩の、いちばん素朴な形ともいえます。集合の要素の個数の公式 n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B) を、きちんと使えるようにしておきましょう。

大学入試・大学：不等式と極限

セルバーグの篩は、「上から押さえる」考え方でした。入試でも、不等式の使い方を使って、値を上下から挟んで求める問題がよく出ます。素数定理は、極限の意味の言葉で書かれる定理です。

勉強法として：ひとりで考え抜く時間

セルバーグは、ひとりで考え抜いて、大きな結果を得ました。受験勉強でも、解説を見る前に、自分でしばらく考えることが、力になります。数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も参考にしてください。

セルバーグがその後の数学にあたえた影響

  • 篩の方法：セルバーグの篩は、解析的整数論の基本の道具になりました。陳景潤の業績のゴールドバッハ予想への挑戦や、張益唐の業績らの双子素数の研究へつながります（双子素数予想とは？）。
  • ゼータ関数の研究：臨界線の上のゼロ点の割合を示す研究は、レヴィンソンやコンリーへ引きつがれ、ゼロ点の研究の標準的な方法になりました（リーマン予想とは？）。
  • 初等的な方法の再評価：複素数を使わない素数定理の証明は、「初等的な方法で、どこまで言えるか」という問いを広げました（素数定理とは？）。
  • 跡公式と保型形式：セルバーグの跡公式は、保型形式の理論の基本の道具です。ラングランズの業績と生涯のプログラムでは、この公式が辞書づくりの道具として使われました。
  • 幾何と数論の結びつき：曲面の「音」と数論を結ぶ考え方は、のちの量子カオスなど、物理とのつながりにも広がりました。

セルバーグの跡公式の背景には、ヴェイユの業績と生涯の考え方（有限体上の曲線のゼータ関数）とのつながりもあります。同じ高等研究所で、ヴェイユと同じ時期に研究した、と伝えられます。

セルバーグに挑戦！練習問題

やさしい

  1. エラトステネスの篩を使って、50以下の素数をすべて書き、その個数を答えなさい。
    答えと解説を見る2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47 の 15個。50≈7.07\sqrt{50}\approx7.07 なので、2・3・5・7の倍数を消せば十分です。
  2. 素数定理の近似 xln⁡x\dfrac{x}{\ln x} を使って、1000以下の素数の個数を見積もりなさい（ln⁡1000≈6.91\ln1000\approx6.91）。実際は168個です。
    答えと解説を見る1000÷6.91≈1000\div6.91\approx 約144.7。実際の168個より、少し小さめです。xx が大きいほど、実際の個数との比は1に近づきます。

ふつう

  1. 1から30までの整数のうち、2でも3でも5でも割り切れない数の個数を、集合の要素の個数の公式で求めなさい。
    答えと解説を見る2の倍数は15個、3の倍数は10個、5の倍数は6個。2と3の倍数（6の倍数）は5個、2と5の倍数（10の倍数）は3個、3と5の倍数（15の倍数）は2個、すべての倍数（30の倍数）は1個。よって 倍数の個数は 15+10+6−5−3−2+1=2215+10+6-5-3-2+1=22。残りは 30−22=30-22= 8個（1、7、11、13、17、19、23、29）。
  2. 200以下の素数をエラトステネスの篩で見つけるとき、倍数を消すのに必要な素数をすべて答えなさい。
    答えと解説を見る合成数は、200≈14.1\sqrt{200}\approx14.1 以下の素数で必ず割り切れます。よって 2、3、5、7、11、13 の6個の倍数を消せば十分です。

むずかしい

  1. 1から100までの整数のうち、2でも3でも5でも7でも割り切れない数は何個か。
    答えと解説を見る倍数の個数：2は50、3は33、5は20、7は14（合計117）。2つの積：6は16、10は10、14は7、15は6、21は4、35は2（合計45）。3つの積：30は3、42は2、70は1、105は0（合計6）。4つの積：210は0。よって 倍数は 117−45+6−0=78117-45+6-0=78 個。残りは 100−78=100-78= 22個です（1と、11以上100以下の素数21個）。
  2. 1から210までの整数のうち、2でも3でも5でも7でも割り切れない数は何個か。割合の考え方で求めなさい。
    答えと解説を見る2で割り切れない割合は 12\dfrac12、3で割り切れない割合は 23\dfrac23、5は 45\dfrac45、7は 67\dfrac67。210=2×3×5×7210=2\times3\times5\times7 なので、ちょうどこの割合で残ります。210×12×23×45×67=210\times\dfrac12\times\dfrac23\times\dfrac45\times\dfrac67= 48個。

セルバーグと関係する数学者

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20世紀の数学者

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

よくある質問

セルバーグは何をした人ですか？

アトル・セルバーグは、ノルウェー生まれの数学者です。素数を調べる「セルバーグの篩」、素数定理の初等的な証明、ゼータ関数のゼロ点の研究、跡公式などで知られ、1950年にフィールズ賞を受けました。

セルバーグの篩とは何ですか？

数の集まりから、小さな素数の倍数を取りのぞいたとき、何個残るかを上から見積もる方法です。1947年にセルバーグが考え、素数や双子素数の研究に使われる基本の道具になりました。

素数定理の初等的な証明とは何ですか？

複素数の関数を使わずに、素数定理を証明することです。1948年にセルバーグが新しい公式を示し、セルバーグとエルデシュがそれぞれ初等的な証明を得ました。「初等的」は、やさしいという意味ではありません。

セルバーグとエルデシュの間に何があったのですか？

素数定理の初等的な証明をめぐって、先取権の行きちがいがあったことが知られています。二人はそれぞれ1948年に証明に到達し、1949年にそれぞれ論文を発表しました。エルデシュは共同の仕事と考え、セルバーグは別の見方をとりました。くわしい事情は、のちの語りによってちがいます。

セルバーグは何の賞を受けましたか？

1950年にフィールズ賞、1986年にウルフ賞（数学部門）を受けました。2002年には、アーベル賞の創設にあたり、名誉アーベル賞も贈られています。

セルバーグの跡公式とは何ですか？

曲がった面の上の閉じた測地線（最短の周回路）の長さと、ラプラシアンの固有値（音の高さ）を、1本の式で結びつける公式です。素数とゼータ関数のゼロ点を結ぶ式とよく似た形をしています。

セルバーグは何歳で亡くなりましたか？どこの国の人ですか？

セルバーグは1917年にノルウェーのランゲスンで生まれ、2007年8月6日にアメリカのプリンストンで90歳で亡くなりました。長くプリンストン高等研究所で研究しました。

セルバーグとほかの数学者との関係は？

素数定理の初等的な証明ではエルデシュと、ゼータ関数の研究ではリーマンやハーディと結びつきます。セルバーグの跡公式は、ラングランズの大きな計画の道具にもなりました。

セルバーグは中学受験・高校受験・大学受験に関係がありますか？

素数は中学受験から大学入試まで出題されます。エラトステネスの篩や、集合の要素の個数を求める問題は、セルバーグの篩の考え方につながっています。

セルバーグ・ゼータ関数とは何ですか？

閉じた測地線の長さからつくるゼータ関数です。リーマンのゼータ関数と似た形をもち、リーマン予想に対応する性質が証明されています。

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出典・参考

  • MacTutor History of Mathematics「Atle Selberg」（セント・アンドルーズ大学）
  • A. Selberg, “An elementary proof of the prime-number theorem”, Annals of Mathematics 50（1949年）
  • A. Selberg, “On the zeros of Riemann’s zeta-function”, Skr. Norske Vid. Akad. Oslo（1942年）

最終更新：2026年11月3日／作成：大学受験合格大作戦