集合の要素の個数 n(A∪B)＝n(A)＋n(B)−n(A∩B)｜重なりを引く理由・3つの集合の包除原理・ベン図の例題【中学受験〜大学受験】

うかるくん

$n(A)+n(B)$ から、なぜ $n(A\cap B)$ を引くの？

合格先生

足すと重なりを2回数えるからだ。1回分を引けば、どれもちょうど1回ずつになるぞ。

集合の要素の個数の公式（包除原理）

証明：重なりを2回数えているから引く

$n(A)+n(B)$ と足すと、両方に入っている要素（$A\cap B$）を2回数えています。1回分を引けば、どの要素もちょうど1回ずつ数えたことになります。

3つの場合も同じ考え方です。3つ全部に入っている要素は、$n(A)+n(B)+n(C)$ で3回足され、2つずつの重なり3つで3回引かれて0回になってしまうので、最後に1回足しもどします。このように「足しすぎたら引き、引きすぎたら足す」のが包除原理です。

中学受験（算数）での使い方

中学受験では集合算（ベン図や表で数える問題）として出ます。

大学受験（数学A）での使い方

よくある間違い

合格先生

3つのとき、最後の $+n(A\cap B\cap C)$ を足しもどし忘れる。ここで点を落とすな。

• 重なりを引き忘れる：$n(A)+n(B)$ は重なりを2回数えている。
• 3つの場合に最後の足しもどしを忘れる：$+n(A\cap B\cap C)$。
• 「どちらでもない」を全体から引き忘れる：補集合は全体から引く。

練習問題

サクラちゃん

ベン図をかいて、内側から数を書きこもう。

1. 中学受験 50人のうち、算数が好き30人、国語が好き25人、どちらも好きでない5人。両方好きなのは？
   答えと解説を見る

   どちらか好き45人。$30+25-45=10$。答え 10人
2. 中学受験 1から60までで、4でも6でも割り切れない数は何個？
   答えと解説を見る

   4の倍数15、6の倍数10、12の倍数5。どちらか20。$60-20=40$。答え 40個
3. 大学受験 1から100までで、3でも5でも割り切れない数は何個？
   答えと解説を見る

   3の倍数33、5の倍数20、15の倍数6。$100-(33+20-6)=53$。答え 53個

関連する公式

• 確率の基本・余事象（補集合）
• 順列・組合せの公式
• 最大公約数・最小公倍数（倍数の重なり）
• 整数の性質

この公式が出てくる合格大作戦の記事

• 数学でよく使う記号・アルファベットの意味一覧
  ∪（和集合）・∩（共通部分）の記号

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）