ハーディは何をした人？業績・名言をわかりやすく｜ラマヌジャンの発見・ハーディ・ワインベルクの法則

ハーディは何をした人？（業績をひとことで）

ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ（1877〜1947年）は、イギリスの数学者です。インドの無名の青年ラマヌジャンの才能を見いだし、ケンブリッジ大学へ招いた人として世界的に知られています。自分も解析的整数論の大数学者で、友人リトルウッドと35年にわたって共同研究を続け、円周法などの強力な方法をつくりました。生物の授業でも出てくるハーディ・ワインベルクの法則（1908年）や、数学の美しさを語った名著『ある数学者の生涯と弁明』（1940年）も、ハーディの仕事です。

受験生にとってのハーディは、まず「生物のハーディ・ワインベルクの法則」の名前でしょう。大学入試の生物（集団遺伝）で、遺伝子の割合を求める問題に出てきます。数学では、二項定理（a＋b）²の展開が、この法則の計算の中心です。そして、ラマヌジャンと一緒に語られるタクシー数1729の逸話は、数学好きなら一度は聞いたことのある話です。

うかるくん

ハーディって、生物の教科書に出てくるあのハーディ・ワインベルクですか！？数学者だったんですね。

合格先生

そうなんだ。ハーディ本人は「純粋な数学」がいちばん好きで、遺伝の法則は数学者から見ればごく簡単なことだった。でも、そのおかげで名前が生物学で残ったんだ。

ハーディの生涯と年表

先生の家に生まれた、数字好きの少年

ハーディは1877年2月7日、イギリス南東部のサリー州クランリーで生まれました。両親はどちらも教育にたずさわる人で、家には知的な空気がありました。幼いころから数字が大好きで、教会に行ったときは、賛美歌の番号を分解して、素因数分解を楽しんだ、と伝えられています。成績もすばらしく、1889年に奨学金を得て、名門のウィンチェスター校へ進みました。

ケンブリッジ大学へ

1896年、ハーディはケンブリッジ大学のトリニティ・カレッジに入ります。当時のケンブリッジの数学の試験（トライポス）は、問題を速く正確に解く技術を競う、競争的な試験でした。ハーディはこのやり方に疑問を持ったとされ、のちには、この試験を改革する運動にも加わりました。1900年には、トリニティ・カレッジのフェロー（研究員）に選ばれます。

厳密な解析学の教科書

1908年、ハーディは『純粋数学講義』（A Course of Pure Mathematics）を出版しました。微積分を、厳密な論理で教える教科書で、イギリスの大学数学の水準を大きく引き上げたといわれます。1910年には、イギリスの王立協会の会員（フェロー）に選ばれました。また、1938年には共著の『数論入門』を出版し、整数論の教科書として世界じゅうで読まれています。

リトルウッドとの共同研究

1911年ごろから、ハーディは同じケンブリッジの数学者リトルウッドと共同研究を始めました。2人の協力は、約35年も続きました。冗談のような話として、2人は「お互いに会わなくても、手紙だけで共同研究する」「手紙の返事は不要」などのルールを決めていたと伝えられています。2人の共同研究は、素数とは何かの分布、ウェアリングの問題、リーマンのゼータ関数など、数論の最も深い分野におよびます。

ラマヌジャンとの出会い（1913年）

1913年1月、ハーディのもとに、インドから1通の手紙が届きます。差出人は、マドラスの港で事務員をしていた無名の青年ラマヌジャンでした。手紙には、証明のない約120の公式が書かれていました。ハーディは最初、詐欺か冗談かと疑ったと伝えられます。しかし、式をよく見ると、いくつかは既知の定理で、いくつかは自分でも証明できない、見たこともない公式でした。ハーディはリトルウッドとともにその式を検討し、「この人は第一級の数学者だ」と確信します。そしてケンブリッジへ招き、1914年にラマヌジャンはイギリスに着きました。

オックスフォードへ、そしてケンブリッジへ戻る

1919年、ハーディはオックスフォード大学の幾何学のサヴィル教授に就任し、そこで多くの業績をあげました。1931年にはケンブリッジ大学のサドレイア教授として戻ります。1940年には、数学者としての人生を振り返る『ある数学者の生涯と弁明』を出版しました。1947年12月1日、ケンブリッジで70歳で亡くなりました。亡くなる少し前に、王立協会のコプリー・メダルが贈られています。

ハーディの主な業績をやさしく解説

ハーディの名前がつく公式・定理・用語

• ハーディ・ワインベルクの法則：集団の遺伝子の割合は、世代がかわっても変わらないという法則。生物の大学入試で頻出。$AA:Aa:aa=p^2:2pq:q^2$。→ 二項定理（a＋b）²の展開と例題
• ハーディ・ラマヌジャン数：1729。2つの立方数の和で2通りに書ける最小の数。
• ハーディ・ラマヌジャンの分割公式：整数の分割数 $p(n)$ のおよその大きさを表す式。
• ハーディ・リトルウッド予想：素数の組の分布についての予想。双子素数がどのくらいあるかを式で表します。
• ハーディの不等式：数列や関数の平均についての不等式で、解析学で習います。→ コーシー・シュワルツの不等式などの仲間です。
• ハーディ空間：複素解析と関数解析に出てくる関数の空間。
• 円周法（ハーディ・リトルウッド法）：整数を和に分ける問題を、複素数の積分で調べる方法。

合格先生

生物のハーディ・ワインベルクの法則は、$(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$ を使うだけなんだ。数学の公式が、遺伝のしくみを説明していると思うと面白いよ。

ハーディの逸話と名言

『ある数学者の生涯と弁明』と、数学の美しさ

1940年の『ある数学者の生涯と弁明』は、数学者としての人生を振り返りつつ、「なぜ数学をするのか」を、美しい文章で書いた本です。数学を、絵や詩と同じような美を作る活動と考えました。有名な一節に、次のような意味の文があります。

美しさは第一の試験だ。醜い数学には、この世界に永続する場所はない。

この本には、「自分は数学で、何か『役に立つ』ことをしたことは一度もない」という趣旨の言葉もあります。ところが皮肉にも、ハーディが「役に立たない」と誇った整数論は、のちに暗号の技術などで、社会を支える道具になりました。また、1908年の遺伝の法則は、まさに「役に立った」仕事でした。

数学者の「採点表」

ハーディは、数学者の才能を100点満点で採点した、という逸話が伝えられています。ハーディ自身が25点、リトルウッドが30点、ヒルベルトが80点、ラマヌジャンが100点だったとされます。冗談まじりの話で、実際の記録ではありません。それでも、ハーディがラマヌジャンの才能をどれほど高く評価していたかが分かります。

神さまとの「ゲーム」

ハーディは、神の存在を信じない人でした。それでも、神さまを相手に「ゲーム」をしていたという逸話があります。たとえば、デンマークの数学者ボーアとの旅行で、荒れた海を船で渡るとき、ハーディは「リーマン予想を証明した」という絵はがきをボーアに送ったとされます。「神さまは、ハーディがリーマン予想の証明という名誉をえるのを許さないはずだから、この船は沈まない」という理屈だった、と伝えられています。冗談の好きな人だったようです。

クリケットを愛した数学者

ハーディは、クリケットのたいへんなファンでした。クリケットの試合の結果を、新聞でくわしく追いかけていたといわれます。数学の美しさについても、スポーツのたとえで語ることがありました。数学者の一日の仕事は「午前中の4時間だけ」と考える人で、午後はクリケットを楽しんだとも伝えられています。

サクラちゃん

手紙1通で、人生が変わっちゃうなんて、すごいですね。

合格先生

ハーディが手紙をちゃんと読んだからだよ。肩書きがなくても、中身で判断した。受験でも、見た目や偏見ではなく、中身を見て判断することが大切なんだ。

受験・勉強とハーディのつながり

中学受験：数の不思議と規則性

中学受験の算数では、立方数や平方数のたし算、規則性の問題がよく出ます。1729のような「2通りに表せる数」の話は、算数の自由研究にも向いています。インド式かけ算のやり方一覧のような、ラマヌジャンの出身地インドの計算の工夫を調べるのも楽しい勉強です。

大学受験：生物のハーディ・ワインベルクと、数学の整数問題

大学入試の生物では、遺伝子頻度を求める問題が出ます。たとえば、「ある遺伝病（劣性）の人が1万人に1人いるとき、保因者の割合は？」という問題は、$q^2=0.0001$ より $q=0.01$、保因者は $2pq\approx0.0198$（約2%）と求められます。数学の整数問題では、素因数分解と整数の性質が基本です。2027のような西暦の数の問題は、2027は素数？双子素数と西暦の入試問題でくわしく解説しています。

大学・大学院入試：解析学・整数論

大学の解析学では、ハーディの不等式や、スターリングの公式のような漸近式が出てきます。整数論では、素数の分布、リーマンのゼータ関数、円周法などが、大学院で学ぶ内容です。

勉強法として：「証明」と「ひらめき」の両方を

ハーディとラマヌジャンの協力は、ひらめき（直観）と、証明（論理）の両方が大切だと教えてくれます。ひらめいた式は、必ず証明して確かめる。逆に、証明のあとで、結果の意味を図や例で理解する。この両方をくり返すことが、数学の上達の近道です。数学の勉強の進め方は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も参考にしてください。

ハーディがその後の数学にあたえた影響

• 解析的整数論：円周法やタウバー型定理は、のちの数論研究の標準的な道具になりました。アダマール（素数定理）らが示した素数定理の流れを受けつぎ、素数の分布の研究を進めました。
• ラマヌジャンの遺産：ラマヌジャンのノートの公式は、ハーディの励ましがなければ世に出なかったかもしれません。ラマヌジャンの公式は、今では物理学や情報理論にも使われています。
• イギリス数学の改革：『純粋数学講義』は、イギリスの大学の微分積分の教育を、ヨーロッパ大陸の厳密な水準に引き上げました。
• 集団遺伝学：ハーディ・ワインベルクの法則は、進化や遺伝を数学で扱う集団遺伝学の出発点の1つになりました。
• 数学の美学：『ある数学者の生涯と弁明』は、数学者や数学ファンに愛読され、「数学の美とは何か」を考える古典になりました。

1913年にハーディが1通の手紙を真剣に読まなければ、ラマヌジャンの名前は、世界に知られなかったかもしれません。ハーディの最大の業績が「ラマヌジャンを見つけたこと」だと本人が語ったのは、ただの謙遜ではないのかもしれません。

ハーディに挑戦！練習問題

ハーディと関係する数学者

• ラマヌジャン（ハーディが見いだした天才）：1913年の手紙から始まった共同研究者です。
• リーマン（ゼータ関数とリーマン予想）：ハーディは、ゼータ関数の零点が臨界線上に無限個あることを証明しました。
• アダマール（素数定理の証明者）：ハーディらは、素数の分布の研究をさらに進めました。
• ヒルベルト（ウェアリングの問題）：ウェアリング問題を1909年に解決し、ハーディ・リトルウッドがそれを発展させました。
• オイラー（分割数の祖）：整数の分割を最初に深く研究した数学者です。
• チューリング（ゼータ関数の計算）：ケンブリッジで学び、リーマンのゼータ関数の零点の計算にも取りくみました。

数学の公式を1つずつ学ぶなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、用語の意味は数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）も役立ちます。

20世紀の数学者

• ヒルベルトの業績と生涯
  1900年に「ヒルベルトの23の問題」を発表。ヒルベルト空間
• ミンコフスキー（1864〜1909）
  数の幾何学・相対性理論の時空（ミンコフスキー空間）
• アダマール（1865〜1963）
  素数定理を証明（ド・ラ・ヴァレー・プーサンと同じ1896年）
• ラッセル（1872〜1970）
  集合論の「ラッセルのパラドックス」・『プリンキピア・マテマティカ』
• 高木貞治の業績と生涯
  類体論を完成させた。日本の近代数学の父
• ルベーグ（1875〜1941）
  ルベーグ積分（測度論）
• ネーターの業績と生涯
  抽象代数学の母。対称性と保存則のネーターの定理
• ワイル（1885〜1955）
  リーマン面・群論と量子力学
• 掛谷宗一（1886〜1947）
  長さ1の針を回す最小の面積を問う「掛谷問題」
• ラマヌジャンの業績と生涯
  ほぼ独学で数千の公式を残した天才。タクシー数1729
• バナッハ（1892〜1945）
  関数解析（バナッハ空間）・バナッハ＝タルスキーのパラドックス
• 岡潔の業績と生涯
  多変数複素関数論の難問を一人で解いた。随筆『春宵十話』

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有名な数学者一覧（年代順・国別・分野別）で、ほかの数学者も見られます。数学者たちが挑んだ問題は数学の難問・未解決問題の一覧にまとめています。

読みもの（合格大作戦の数学の記事）

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  ∞・Σ・∫ などの記号と読み方

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