収束と発散とは？意味と見分け方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

収束と発散とは？意味と見分け方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

収束と発散とは

数列 {an}\{a_n\} が一定の値に限りなく近づくことを収束、収束しないことを発散といいます。発散には、正の無限大に発散・負の無限大に発散・振動の3つがあります。

読み方：しゅうそく・はっさん／英語：convergence and divergence／習う学年：数学Ⅲ（数列の極限・無限級数）

うかるくん

うかるくん

(−1)n(-1)^n は 11 と −1-1 の間からはみ出さないから、収束ですよね？

合格先生

合格先生

おしい！ 収束は1つの値に近づくこと。11 と −1-1 を行ったり来たりするのは振動で、発散の仲間なんだ。

この用語のポイント

  • 収束 ＝ 一定の値に近づく。発散 ＝ 収束しない
  • 発散は ∞\infty・−∞-\infty・振動 の3つ
  • rnr^n が収束するのは −1<r≤1-1<r\le1。無限等比級数は ∣r∣<1|r|<1

やさしく言うと

数をどこまでも並べていくとき、ある1つの値に落ち着いていくことを収束、落ち着かないことを発散といいます。たとえで考えてみましょう。

  • 熱いお茶が冷める：入れたてのお茶は、時間がたつと部屋の温度に近づいていきます。温度が1つの値に落ち着くので「収束」のイメージです。
  • 雪だるまを転がす：転がすたびにどんどん大きくなり、どこまでも大きくなるのは「正の無限大に発散」のイメージです。
  • ふりこ（ブランコ）：止まらずに右・左と行ったり来たりをくり返すのは「振動」のイメージです。1つの場所に落ち着かないので、これも発散の仲間です。
収束1 ∞ に発散 振動（発散） 1＋(−0.6)ⁿ → 1 n² → ∞ (−1)ⁿ：−1, 1, −1, …
左は収束。中と右は発散（中は ∞ へ、右は振動）

まとめると、1つの値に近づけば収束、そうでなければすべて発散です。落ち着かない仕方には、「どこまでも大きく（小さく）なる」と「ゆれ続ける（振動）」があります。

収束・発散の分け方

分類意味書き方・例
収束一定の値 α\alpha に限りなく近づくlim⁡n→∞1n=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n=0
正の無限大に発散限りなく大きくなるlim⁡n→∞n2=∞\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2=\infty
負の無限大に発散限りなく小さくなる（負で絶対値が大きく）lim⁡n→∞(−n)=−∞\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty
振動上のどれでもない(−1)n(-1)^n

高校の教科書では、収束しないものをまとめて発散とよび、振動も発散の一種です。本によっては「発散」と「振動」を分けて書くこともあるので、このページでは「振動も発散にふくめる」意味で使います。

収束する例・発散する例

○ 収束する

  • 1n→0\dfrac1n\to0
  • (12)n→0\left(\dfrac12\right)^n\to0
  • 1+1n→11+\dfrac1n\to1
  • 2n+1n→2\dfrac{2n+1}{n}\to2
  • 無限等比級数 12+14+18+⋯=1\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots=1
  • 1n=11^n=1（ずっと同じ値でも収束）

× 発散する

  • 2n→∞2^n\to\infty（正の無限大に発散）
  • −n2→−∞-n^2\to-\infty（負の無限大に発散）
  • (−1)n(-1)^n（振動）
  • (−2)n(-2)^n（振動しながら大きくなる）
  • 1+12+13+⋯1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots（調和級数。∞\infty に発散）
  • sin⁡nπ2\sin\dfrac{n\pi}{2}（1, 0, −1, 0 をくり返す振動）
ひらめいたうかるくん

うかるくん

1n1^n みたいにずっと同じ値でも、ちゃんと「1 に収束」なんだね！

等比数列 rⁿ の収束・発散

入試でいちばんよく使うのが、等比数列 rnr^n の極限です。rr の値で4つに分かれます。

数列 rⁿ（n→∞）はどうなる？ 0 に収束−1＜r＜1 ∞ に発散r＞1 振動（発散）r≦−1 −2−1012 r＝1 → 1 に収束 収束するのは −1＜r≦1 のとき
rⁿ が収束するのは −1＜r≦1 のとき

r=12r=\dfrac12 なら 12, 14, 18, ⋯\dfrac12,\ \dfrac14,\ \dfrac18,\ \cdots と 0 に近づき、r=2r=2 なら 2, 4, 8, ⋯2,\ 4,\ 8,\ \cdots と大きくなります。r=−12r=-\dfrac12 は符号が入れかわりますが、絶対値が小さくなるので 0 に収束します。

机で勉強するうかるくん

うかるくん

r の大きさが1より小さいと、r の n 乗は0に近づくんだ。

図で見る：無限級数の収束・発散

数列の項を限りなくたしたもの（無限級数）にも、収束と発散があります。正方形を半分ずつぬっていくと、12+14+18+⋯\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots が 1 に収束することがわかります。

1/21/41/81/16 面積 1 の正方形 半分 → その半分 → … とぬっていくと、 ぬり残しは限りなく 0 1/2＋1/4＋1/8＋… ＝ 1（収束）
半分ずつぬると、ぬり残しは限りなく 0。和は 1

一方、1+12+13+14+⋯1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\cdots（調和級数）は、項が 0 に近づくのに、和は限りなく大きくなります。最初の何項かをたした部分和をグラフにすると、ちがいが見えます。

12314812 項の数 n 1＋1/2＋1/3＋…（発散） 1/2＋1/4＋…（1 に収束） どちらも項は 0 に近づくのに、和の結果はちがう
青は 1 で頭打ち、赤はゆっくりでも上がり続ける
うかるくん

うかるくん

赤のグラフ、12項で 3 くらいだし、どこかで止まりそうに見えますけど…

合格先生

合格先生

13+14\dfrac13+\dfrac14 は 12\dfrac12 より大きい。15\dfrac15 から 18\dfrac18 の4つの和も 12\dfrac12 より大きい。こうして「12\dfrac12 より大きいかたまり」がいくらでも作れるから、和はどこまでも大きくなるんだ。

テスト・入試ではこう出る

収束と発散は、高校の数学Ⅲ「極限」で習います。大学入試では、分数の形の数列の極限、rnr^n をふくむ極限（rr の値で場合分け）、無限等比級数の和と収束条件、関数の極限などがよく出ます。収束するかどうかを先に判定してから値を求めるのが基本です。

例題1（分数の形の極限）

lim⁡n→∞2n2+1n2+3n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+1}{n^2+3n} を求めなさい。

  1. 分母の最も大きい項 n2n^2 で、分子と分母を割る：2n2+1n2+3n=2+1n21+3n\dfrac{2n^2+1}{n^2+3n}=\dfrac{2+\dfrac{1}{n^2}}{1+\dfrac{3}{n}}
  2. n→∞n\to\infty のとき、1n2→0\dfrac{1}{n^2}\to0、3n→0\dfrac{3}{n}\to0。
  3. よって 2+01+0=2\dfrac{2+0}{1+0}=2。

答え　2 に収束する

例題2（無限等比級数）

無限等比級数 3+32+34+⋯3+\dfrac32+\dfrac34+\cdots の収束・発散を調べ、収束するときは和を求めなさい。

  1. 初項 3、公比 12\dfrac12 の無限等比級数である。
  2. ∣12∣<1\left|\dfrac12\right|<1 なので収束する。
  3. 和は 初項1−公比=31−12=6\dfrac{\text{初項}}{1-\text{公比}}=\dfrac{3}{1-\dfrac12}=6。

答え　収束し、和は 6

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

項が0に近づいても、和は発散することがある！ 1+12+13+⋯1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots がその例だよ。

  • 「項が0に近づけば、和も収束する」と思う：1n→0\dfrac1n\to0 ですが、1+12+13+⋯1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots は限りなく大きくなります（発散）。項が0に近づくのは、和が収束するための必要条件にすぎません。逆に、項が0に近づかなければ、和は必ず発散します。
  • 振動を収束と思う：(−1)n(-1)^n は 11 と −1-1 の間に収まっていますが、1つの値に近づかないので発散です。
  • 「∞ に収束」と書く：限りなく大きくなるときは「正の無限大に発散」です。∞\infty は値ではないので「収束」とはいいません。
  • r=1r=1 や初項0を忘れる：rnr^n は r=1r=1 のとき 1 に収束します（−1<r<1-1<r<1 だけではない）。無限等比級数は、∣r∣<1|r|<1 のほかに初項が 0 のときも収束します（和は 0）。
  • ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} を 1 とする：2n2+1n2+3n\dfrac{2n^2+1}{n^2+3n} は分子も分母も大きくなりますが、極限は 2 です。最も大きい項で割ってから考えます。

ことばの意味

「収束」は「一つに収まり、束ねられる」、「発散」は「外へ散らばる」という意味のことばです。英語では収束を convergence（一点に集まる）、発散を divergence（分かれて広がる）といいます。日常でも「事態が収束する」のように、落ち着くことを表すのに使われます。

ミニ問題

問題1　次の数列は、収束・正の無限大に発散・振動のどれですか。（ア）1n\dfrac{1}{n}　（イ）(−2)n(-2)^n　（ウ）3−1n3-\dfrac{1}{n}

答えと解き方を見る

（ア）0 に収束、（イ）振動（発散）、（ウ）3 に収束です。（イ）は −2, 4, −8, 16, ⋯-2,\ 4,\ -8,\ 16,\ \cdots と、プラスとマイナスを行き来しながら絶対値が大きくなります。正の無限大にも負の無限大にも決まらないので、振動です。

問題2　数列 {(x−1)n}\{(x-1)^n\} が収束するような xx の値の範囲を求めましょう。

答えと解き方を見る

0<x≤20<x\le2 です。公比にあたる r=x−1r=x-1 が −1<r≤1-1<r\le1 なら rnr^n は収束します。−1<x−1≤1-1<x-1\le1 の各辺に 1 をたして 0<x≤20<x\le2。x=2x=2（r=1r=1）のときは 1 に収束するので、等号を入れ忘れないようにします。

問題3　0.999⋯0.999\cdots（9 がどこまでも続く）は、1 と等しいことを、無限等比級数を使って説明しましょう。

答えと解き方を見る

0.999⋯=0.9+0.09+0.009+⋯0.999\cdots=0.9+0.09+0.009+\cdots は、初項 0.90.9、公比 0.10.1 の無限等比級数です。

  1. 公比 0.10.1 は −1<0.1<1-1<0.1<1 をみたすので、収束する。
  2. 和は 0.91−0.1=0.90.9=1\dfrac{0.9}{1-0.1}=\dfrac{0.9}{0.9}=1。

よって 0.999⋯=10.999\cdots=1 です。「限りなく 1 に近いが 1 ではない」と考えがちですが、和は極限の値なので、ちょうど 1 です。

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

収束と発散のちがいは？

収束は数列が一定の値に限りなく近づくこと、発散は収束しないことです。

振動は発散ですか？

高校の教科書では、振動は発散の一種です。1と−1をくり返す (−1)ⁿ のように、1つの値に近づかないものを振動といいます。

rⁿ が収束する条件は？

−1＜r≦1 のときです。−1＜r＜1 なら0に、r＝1 なら1に収束します。

無限等比級数が収束する条件は？

公比 r が −1＜r＜1 をみたすとき（または初項が0のとき）です。和は 初項÷(1−公比) になります。

項が0に近づけば、無限級数は収束しますか？

収束するとは限りません。1＋1/2＋1/3＋… は、項が0に近づきますが発散します。

0.999… は1と等しいですか？

等しいです。0.9＋0.09＋0.009＋… は初項0.9、公比0.1の無限等比級数で、和は 0.9÷(1−0.1)＝1 です。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅲ（極限：数列の極限、無限級数）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦