数列の極限とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

数列の極限とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

数列の極限とは

数列 {an}\{a_n\} の番号 nn を限りなく大きくしたとき、ana_n が限りなく近づく値のことです。lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha と書き、「α\alpha に収束する」といいます。lim⁡n→∞1n=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n=0 です。

読み方：すうれつのきょくげん／英語：limit of a sequence／習う学年：数学Ⅲ（極限）

うかるくん

うかるくん

2n+1n+1\dfrac{2n+1}{n+1} で nn を ∞ にすると、∞∞\dfrac{\infty}{\infty} で 1 になりませんか？

合格先生

合格先生

∞∞\dfrac{\infty}{\infty} は不定形といって、そのままでは決まらないんだ。分母・分子を nn でわると 2+1n1+1n\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac1n} になって、極限は 2 だよ。

この用語のポイント

  • lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha：nn を大きくすると ana_n が α\alpha に限りなく近づく
  • ∞∞\dfrac\infty\infty は最高次でわる、∞−∞\infty-\infty は有理化・くくる
  • ゆれる数列ははさみうちの原理。不定形のまま答えない

やさしく言うと

数列の極限は、数列の番号 nn をどこまでも大きくしたとき、項 ana_n がどんな値に近づいていくかを表すものです。

  • ケーキを半分ずつ：1 本のロールケーキを、毎回「残りの半分」ずつ食べます。残りは 1, 12, 14, 18, …1,\ \dfrac12,\ \dfrac14,\ \dfrac18,\ \ldots と小さくなり、0 に限りなく近づきます。でも、ちょうど 0 になる回はありません。
  • 0.9, 0.99, 0.999, …：9 を 1 つずつふやしていくと、1 にいくらでも近づきます。この数列の極限は 1 です。0.999⋯=10.999\cdots=1 といえるのは、このためです。
  • ボールのバウンド：はずむたびに高さが前の半分になるボールなら、高さは 0 に近づきます。

まとめると、数列の極限は「ずっと先まで行ったとき、行き着く先の値」です。数列 {an}\{a_n\} が値 α\alpha に限りなく近づくとき、

lim⁡n→∞an=α\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha

と書き、「{an}\{a_n\} は α\alpha に収束する」といいます。α\alpha を極限値といいます。

毎回「残りの半分」を食べると、残りは？ 0 回後11 回後1/22 回後1/43 回後1/84 回後1/165 回後1/326 回後1/64 残り (1/2)ⁿ は 0 に限りなく近づく
残りは半分ずつへって 0 に近づく。極限は 0
指さして説明するうかるくん

うかるくん

極限は「ちょうどその値になる」ではなく「限りなく近づく」。ここがポイントだ！

収束する数列と、収束しない数列

○ 収束する

  • 1n\dfrac1n：1, 12, 13, …→01,\ \dfrac12,\ \dfrac13,\ \ldots\to0
  • (12)n→0\left(\dfrac12\right)^n\to0
  • 2n+1n+1→2\dfrac{2n+1}{n+1}\to2
  • 1−110n1-\dfrac1{10^n}：0.9, 0.99, …→10.9,\ 0.99,\ \ldots\to1
  • (−1)nn→0\dfrac{(-1)^n}{n}\to0（＋と−を行き来しても 0 に近づく）
  • 5, 5, 5, …→55,\ 5,\ 5,\ \ldots\to5（定数の数列も収束）

× 収束しない（発散する）

  • n2n^2：どこまでも大きくなる（正の無限大に発散）
  • −2n-2n：どこまでも小さくなる（負の無限大に発散）
  • (−1)n(-1)^n：−1, 1, −1, …-1,\ 1,\ -1,\ \ldots（振動して発散）
  • 2n2^n：2, 4, 8, …2,\ 4,\ 8,\ \ldots（正の無限大に発散）
  • (−2)n(-2)^n：−2, 4, −8, …-2,\ 4,\ -8,\ \ldots（振動して発散）

収束しない数列は発散するといいます。発散には、「正の無限大に発散」「負の無限大に発散」「振動（どれにもあてはまらない）」の 3 つがあります。くわしい分類と rnr^n の極限は収束と発散のページで説明しています。このページでは、極限の求め方を中心に説明します。

図で見る

数列 an=2n+1n+1a_n=\dfrac{2n+1}{n+1} の点を、n=1n=1 から 20 までかいてみます。

1.51.61.71.81.92.05101520 n 極限値 2 n≧10 では2±0.1 の帯の中 1.5 帯をどれだけ細くしても、いつか入りっぱなしになる
aₙ＝(2n＋1)/(n＋1) は 2 に近づく。いつか帯の中に入って出なくなる
サクラちゃん

サクラちゃん

「限りなく近づく」って、どれくらい近づけばいいんですか？ 1.99 くらいで十分ですか？

合格先生

合格先生

いい質問だね。「2 のまわりにどんなに細い帯を作っても、ある番号から先はずっと帯の中にいる」ことが、限りなく近づくという意味なんだ。この数列なら ∣an−2∣=1n+1|a_n-2|=\dfrac1{n+1} だから、帯のはばが 0.1 なら n≥10n\ge10、0.001 なら n≥1000n\ge1000 で入りっぱなしになるよ。

この「どんな細い帯でも、いつか入りっぱなしになる」という考え方は、大学の数学でε-N 論法（イプシロン・エヌ論法）という正確な言葉で表されます。高校では「限りなく近づく」という言い方で考えます。

極限の求め方

まず、次の基本を使います。

基本の極限理由
lim⁡n→∞1n=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n=0分母がどこまでも大きくなる
lim⁡n→∞1nk=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^k}=0（k>0k>0）同じく分母が限りなく大きくなる
∣r∣<1|r|<1 なら lim⁡n→∞rn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=00.5 を何回もかけると 0 に近づく

収束する数列どうしなら、和・差・積・商（分母の極限が 0 でないとき）の極限は、それぞれの極限の和・差・積・商になります。むずかしいのは、そのままでは決まらない不定形のときです。

形くふう例
∞∞\dfrac{\infty}{\infty}分母の最高次で分母・分子をわる2n+1n+1=2+1n1+1n→2\dfrac{2n+1}{n+1}=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac1n}\to2
∞−∞\infty-\infty（ルート）有理化するn+1−n=1n+1+n→0\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0
∞−∞\infty-\infty（多項式）最高次の項でくくるn2−n=n2(1−1n)→∞n^2-n=n^2\left(1-\dfrac1n\right)\to\infty
ゆれる数列はさみうちの原理−1n≤(−1)nn≤1n-\dfrac1n\le\dfrac{(-1)^n}n\le\dfrac1n
0.10.20.30.40.55101520 0n √(n²＋n) − n → 1/2 √(n＋1) − √n → 0 どちらも「∞ − ∞」の形。でも行き先がちがう
∞−∞ の形でも、0 に行くものも 1/2 に行くものもある

「∞ − ∞ だから 0」「∞∞\dfrac{\infty}{\infty} だから 1」とはいえません。どちらがどれだけ速く大きくなるかで、結果がかわるからです。だから式を変形して、不定形でない形に直してから極限をとります。

はさみうちの原理

すべての nn で bn≤an≤cnb_n\le a_n\le c_n が成り立ち、lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞cn=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha ならば、lim⁡n→∞an=α\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha です。これをはさみうちの原理といいます。上と下から同じ値にはさまれたら、間にあるものもその値に行くしかない、という考え方です。

-1-0.50.515101520 0n 1/n−1/n (−1)ⁿ/n 上下からはさまれて 0 へ
(−1)ⁿ/n は ±1/n にはさまれて 0 へ

(−1)nn\dfrac{(-1)^n}{n} は＋と−を行き来しますが、−1n≤(−1)nn≤1n-\dfrac1n\le\dfrac{(-1)^n}n\le\dfrac1n で、両はしが 0 に近づくので、極限は 0 です。sin⁡n\sin n や cos⁡n\cos n がふくまれる数列でも、−1≤sin⁡n≤1-1\le\sin n\le1 を使ってはさみうちにすることがよくあります。

数列の極限は、無限に続く数をたした無限級数（たとえば 12+14+18+⋯=1\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots=1）の考え方の土台にもなります。

テスト・入試ではこう出る

数列の極限は高校の数学Ⅲ（極限）で習います。テストや大学入試では、分数式の極限（最高次でわる）、ルートをふくむ極限（有理化）、rnr^n をふくむ極限（rr の値で場合分け）、はさみうちの原理、漸化式で決まる数列の極限、無限級数の和がよく出ます。

例題1（∞/∞ の形）

極限 lim⁡n→∞3n2−nn2+2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-n}{n^2+2} を求めなさい。

  1. 分母と分子の最高次は n2n^2。分母・分子を n2n^2 でわる：3n2−nn2+2=3−1n1+2n2\dfrac{3n^2-n}{n^2+2}=\dfrac{3-\frac1n}{1+\frac2{n^2}}
  2. n→∞n\to\infty のとき 1n→0\dfrac1n\to0、2n2→0\dfrac2{n^2}\to0。
  3. よって 3−01+0=3\dfrac{3-0}{1+0}=3。

答え　3（∞∞\dfrac{\infty}{\infty} のままでは答えにならない。わってから極限をとる）

例題2（∞−∞ の形）

極限 lim⁡n→∞(n2+n−n)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right) を求めなさい。

  1. このままでは ∞−∞\infty-\infty の形なので、分子の有理化をする：n2+n−n=(n2+n−n)(n2+n+n)n2+n+n=nn2+n+n\sqrt{n^2+n}-n=\dfrac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}
  2. 分母・分子を nn でわる（n>0n>0 なので n2+nn=1+1n\dfrac{\sqrt{n^2+n}}n=\sqrt{1+\frac1n}）：11+1n+1\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}
  3. n→∞n\to\infty で 11+1=12\dfrac1{\sqrt1+1}=\dfrac12。

答え　12\dfrac12（「∞−∞=0\infty-\infty=0」とはならない）

本で説明するサクラちゃん

サクラちゃん

不定形が出たら「わる」か「有理化」か「はさむ」。どの道具を使うか考えるのね！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

∞−∞\infty-\infty は 0 ではない！ 不定形は式を変形してから極限をとろう。

  • 不定形のまま答える：∞∞\dfrac{\infty}{\infty} や ∞−∞\infty-\infty は答えではありません。「∞−∞=0\infty-\infty=0」「∞∞=1\dfrac\infty\infty=1」とするのはまちがいです。式を変形してから極限をとります。
  • 「近づく」を「等しくなる」と思う：1n\dfrac1n はどの nn でも 0 ではありませんが、極限は 0 です。極限値は、数列の項の中に出てこなくてもかまいません。
  • (−1)n(-1)^n を収束すると思う：−1, 1, −1, 1, …-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots は、どちらの値にも近づかないので振動して発散します。「−1 と 1 の平均の 0 に収束」ではありません。
  • 分母の最高次以外でわる：n+1n2+3\dfrac{n+1}{n^2+3} を nn でわると 1+1nn+3n\dfrac{1+\frac1n}{n+\frac3n} となり、分母にまだ nn が残ります。分母の最高次 n2n^2 でわると、すっきり 0 とわかります。
  • ルートの中を nn でわるときのミス：n2+nn=n2+nn2=1+1n\dfrac{\sqrt{n^2+n}}{n}=\sqrt{\dfrac{n^2+n}{n^2}}=\sqrt{1+\dfrac1n} です。ルートの中は n2n^2 でわることになります。

ことばの由来

極限は「きわまるところ、行き着くかぎり」という意味の言葉です。英語では limit（リミット）で、「境界・限界」という意味です。記号 lim⁡\lim は limit の頭の 3 文字です。n→∞n\to\infty の ∞\infty は「無限大」で、「どこまでも大きくする」ことを表す記号です（∞\infty という数があるわけではありません）。

ミニ問題

問題1　極限 lim⁡n→∞5n+22n−1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{5n+2}{2n-1} を求めましょう。

答えと解き方を見る

52\dfrac52 です。分母・分子を nn でわると 5+2n2−1n\dfrac{5+\frac2n}{2-\frac1n}。n→∞n\to\infty で 2n→0\dfrac2n\to0、1n→0\dfrac1n\to0 なので、52\dfrac{5}{2} に収束します。分母と分子の最高次の係数の比になっています。

問題2　極限 lim⁡n→∞n+1n2+3\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2+3} を求めましょう。

答えと解き方を見る

0 です。分母の最高次 n2n^2 で分母・分子をわると 1n+1n21+3n2→01=0\dfrac{\frac1n+\frac1{n^2}}{1+\frac3{n^2}}\to\dfrac{0}{1}=0。分母のほうが次数が高い（速く大きくなる）ので 0 に近づきます。

問題3　極限 lim⁡n→∞3n+1+2n3n−2n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}+2^n}{3^n-2^n} を求めましょう。

答えと解き方を見る

3 です。

  1. いちばん速く大きくなる 3n3^n で、分母・分子をわる。
  2. 3n+1+2n3n−2n=3+(23)n1−(23)n\dfrac{3^{n+1}+2^n}{3^n-2^n}=\dfrac{3+\left(\frac23\right)^n}{1-\left(\frac23\right)^n}
  3. ∣23∣<1\left|\dfrac23\right|<1 なので (23)n→0\left(\dfrac23\right)^n\to0。極限は 3+01−0=3\dfrac{3+0}{1-0}=3。

指数の数列でも、「いちばん強いものでわる」考え方は同じです。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

数列の極限とは何ですか？

数列の番号nを限りなく大きくしたとき、項aₙが限りなく近づいていく値のことです。lim aₙ＝α と書きます。

不定形とは何ですか？

∞/∞ や ∞−∞ のように、そのままでは極限が決まらない形のことです。式を変形してから極限を求めます。

∞/∞ の形の極限はどう求めますか？

分母の最高次の式で分母と分子をわります。1/n などが0に近づくことを使って極限を求めます。

はさみうちの原理とは何ですか？

数列を上下から同じ値に収束する2つの数列ではさめれば、間の数列もその値に収束する、という原理です。

極限値は数列の項として出てきますか？

出てこなくてもかまいません。1/n の極限は0ですが、どの項も0ではありません。

数列の極限は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅲ（極限）で習います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅲ（極限）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦