まなぶくん
「数列」って、数がならんでいれば何でも数列なんですか？
合格先生
そうだよ。順番に並んだ数なら、きまりがなくても数列なんだ。大事なのは「何番目に、どの数があるか」だよ。
この用語のポイント
- 数列は数を順に並べたもの。並ぶ順番が大事
- 番目の項を第 項 、最初の項を初項 という
- きまりはとなりどうしの差・比から見つける
やさしく言うと
数列は、数を1列に並べたものです。何番目か（番号）と、そこにある数（値）の2つがセットになっています。身のまわりにも数列はたくさんあります。
- 電車の乗客：1号車、2号車、3号車…に、それぞれ何人乗っているかを順に書き出すと、数列になります。
- カレンダーの日付：毎週月曜日の日付は 1, 8, 15, 22, 29 のように、7 ずつふえる数列です。
- おこづかいの貯金：はじめに 100 円あり、毎週 50 円ずつためると、100, 150, 200, 250, … という数列になります。
並んでいる1つ1つの数を項といい、最初の項を初項、 番目の項を第 項といいます。第 項は と書きます。
まとめると、数列は「番号のついた数の並び」です。きまりがあってもなくても、順に並んでいれば数列です。
数列の例
○ 数列
- 1, 3, 5, 7, …（奇数を小さい順）
- 2, 4, 8, 16, …（2倍ずつ）
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, …（前の2つをたす。フィボナッチ数列）
- 1, 4, 9, 16, 25（平方数を順に）
- 7, 7, 7, 7, …（同じ数が続いても数列）
- 3, 1, 4, 1, 5, 9（円周率の数字。きまりがなくても数列）
× 数列とまちがえやすいもの
- という集合（並び順を考えない）
- （数列の和。これは1つの数）
- 「」だけ（数列の中の1つの項を表す記号）
- 1, 2, 3 と 3, 2, 1 を「同じ数列」とすること（順番がちがえば別の数列）
- 関数 のグラフ全体（ が 1.5 などもとる）
数列は並ぶ順番が大事です。1, 2, 3 と 3, 2, 1 は別の数列です。
まなぶくん
番号を入れると数が出てくる。数列って、自動販売機みたいだね！
数列で使うことば
| ことば | 意味 | 1, 4, 7, 10, 13 の場合 |
|---|---|---|
| 項 | 並んでいる1つ1つの数 | 1 や 4 や 7 |
| 初項 | 最初の項 | |
| 第 項・一般項 | 番目の項 を の式で表したもの | |
| 末項 | 終わりのある数列の最後の項 | 13 |
| 項数 | 項の個数 | 5 |
| 有限数列・無限数列 | 終わりがある・どこまでも続く | 有限数列 |
一般項 がわかると、 を入れて のように、何番目の数でもすぐ求められます。
図で見る
数列は「番号の関数」
番号 を決めると値 が1つ決まるので、数列は自然数 の関数と見ることができます。ただし番号は1, 2, 3, …だけなので、グラフにするととびとびの点になります。
となりどうしをくらべて、きまりを見つける
数列のきまりを見つけるときは、まずとなりどうしの差を見ます。差がいつも同じなら等差数列、比（何倍か）がいつも同じなら等比数列です。差が変わるときは、その差を並べた階差数列を調べます。
ハルちゃん
1, 4, 9, 16 は差がバラバラだから、きまりがないの？
合格先生
差を並べると 3, 5, 7, 9 で、差の数列が 2 ずつふえているよね。これも立派なきまりなんだ。もちろん「 を2回かけた数（）」と見てもいいよ。
代表的な数列
- 等差数列：同じ数ずつ増える（例 1, 4, 7, 10）。ふえる数を公差といいます。
- 等比数列：同じ数ずつかける（例 2, 4, 8, 16）。かける数を公比といいます。
- 階差数列：となりどうしの差を並べた数列（1, 4, 9, 16 の階差は 3, 5, 7）
- 漸化式で決まる数列：前の項から次の項を作るきまりで決まる（例 フィボナッチ数列 ）
数列の項をたし合わせるときは、和の記号 （シグマ）を使います。
中学受験の「規則性」も数列
中学受験の算数でよく出る「規則性」の問題は、高校で習う数列と同じ考え方です。たとえばマッチ棒で正方形を横に並べると、使う本数は 4, 7, 10, … と 3 本ずつふえます。
「最初の1本 ＋ 1個ごとに3本」と、ふえ方のしくみを図から読み取ると、何個のときでもすぐ計算できます。これは、一般項を求めていることと同じです。
テスト・入試ではこう出る
数列は高校の数学Bで習います。中学受験の算数では「規則性」「数表」「n 番目の図形」の問題として、中学でも「n 番目の数を文字式で表す」問題として出てきます。大学入試では、等差数列・等比数列・階差数列・漸化式・Σの計算が中心です。
例題1（一般項）
数列 5, 8, 11, 14, … の一般項 と、第20項を求めなさい。
- となりどうしの差は 、 で、いつも 3（等差数列）。
- 第 項は、初項 5 に 3 を 回たした数：。
- を入れて 。
答え 一般項 、第20項 62
例題2（規則性）
マッチ棒で正方形を横に1列に並べます（上の図）。マッチ棒を 61 本使ったとき、正方形は何個できますか。
- 正方形 1 個、2 個、3 個 のときの本数は 4, 7, 10。3 本ずつふえる。
- 最初の 1 本に、正方形 1 個ごとに 3 本たすと考えて、 個では 本。
- 本数が 61 本なら 、、。
答え 20 個
まちがえやすい点
合格先生
は「3番目の値」！ 番号の3とまちがえないで。
- 番号と値をまぜる： は「3番目の値」です。1, 4, 7, … なら で、3ではありません。
- 初項を と書く：高校の数列は、ふつう から始めます。問題によっては から始めることもあるので、問題文を確かめます。
- たす回数を1回多くする：初項 5、公差 3 の第20項を とするのは×。初項から第20項までに差は 19 回なので、 です。
- きまりは1つに決まると思う：1, 2, 4 の次は、2倍ずつなら 8、差が1, 2, 3 と増えるなら 7 です。最初の数個だけでは、きまりは決まりません。問題文のきまりの説明を必ず読みます。
ことばの意味
「数列」は「数の列」という、そのままの意味の名前です。英語では sequence といい、「順番に続くもの・並び」という意味があります。 の小さな は添字（そえじ）とよばれ、何番目かを表す番号です。
ミニ問題
問題1 一般項が の数列について、初項から第4項までを書きましょう。
答えと解き方を見る
0, 3, 8, 15 です。 を順に入れて、、、、。初項が 0 になることもあります。
問題2 数列 2, 6, 18, 54, … の第6項を求めましょう。
答えと解き方を見る
486 です。となりどうしの比がいつも 3 なので、公比 3 の等比数列です。54 の次は （第5項）、その次が （第6項）。一般項は で、 と確かめられます。
問題3 数列 1, 2, 4, 7, 11, … の第10項を求めましょう。
答えと解き方を見る
46 です。
- となりどうしの差は 1, 2, 3, 4, … と 1 ずつふえる（階差数列）。
- 第10項は、初項 1 に差を9回たしたもの：。
- なので、。
「差が同じ」ではないので、等差数列の公式は使えません。
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
数列とは何ですか？
数を順に1列に並べたものです。並んだ1つ1つの数を項といい、最初の項を初項といいます。
aₙ は何を表しますか？
数列の n 番目の項（第n項）を表します。a₁ が初項、a₂ が2番目の項です。
一般項とは何ですか？
第n項 aₙ を n の式で表したものです。たとえば 1, 4, 7, 10, … の一般項は aₙ＝3n−2 です。
数列のきまりの見つけ方は？
まずとなりどうしの差を調べ、同じなら等差数列です。何倍かが同じなら等比数列です。差が変わるときは、差を並べた階差数列を調べます。
数列と集合はどうちがいますか？
数列は並ぶ順番を考えます。集合は順番を考えず、同じものを重ねて数えません。
数列は何年生で習いますか？
高校の数学Bで習います。考え方は、中学受験の算数の規則性の問題や、中学の文字式の問題でも使います。
出典・参考
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学B（数列）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
