ピックは何をした人？業績・生涯をわかりやすく｜ピックの定理・格子点と面積・シュワルツ・ピックの補題

ピックは何をした人？（業績をひとことで）

ゲオルク・ピック（1859〜1942年）は、オーストリアの数学者です（日本語版の百科事典では「ゲオルグ・アレクサンダー・ピック」とも書かれます）。方眼紙の格子点（こうしてん）を数えるだけで多角形の面積が出せるピックの定理（1899年）で、世界中の算数・数学の問題集に名前が出てくる人です。また、複素関数論ではシュワルツ・ピックの補題、ピックの補間問題などを研究しました。

ピックの定理は、中学受験の算数でも「点を数えて面積を求める」問題の便利な道具として知られています。方眼や点の図の面積問題で、辺の上の点を $b$ 個、内側の点を $i$ 個とすると、面積は $i+\dfrac{b}{2}-1$ で求められます（くわしくはピックの定理の公式と証明）。

ピックの生涯と年表

ウィーンで生まれ、数学の道へ

ピックは1859年8月10日、オーストリアの首都ウィーンで生まれました。ウィーン大学で学び、1880年4月16日、20歳の若さで博士号を受けています。指導したのは、数学者のレオ・ケーニヒスベルガーでした。

プラハのドイツ大学の教授に

博士号を得た1880年、ピックはプラハのドイツ大学で、物理学者エルンスト・マッハの助手になりました（マッハは、速さの単位「マッハ」で知られる人です）。1881年に大学で教える資格を得て、1888年に準教授、1892年には正教授になりました。1900〜01年には哲学部長もつとめています。

プラハで、ピックは大学の中心的な数学者になりました。研究の分野は幅広く、複素関数論・微分方程式・線形代数・幾何などの論文を書いています。1899年には、のちに有名になるピックの定理を『数論への幾何学的なこと（Geometrisches zur Zahlenlehre）』という論文の中で発表しました。

アインシュタインを呼びよせた人

1910年、プラハのドイツ大学は、若い物理学者アルベルト・アインシュタインを教授として迎える相談をしました。このとき、ピックは委員会の一員で、アインシュタインの採用をいちばん強く後押しした人だったと記録されています。アインシュタインは1911年から1912年にかけてプラハで理論物理学の教授をつとめ、ピックとは音楽という共通の趣味もあって、親しい友人になりました。ピックは、弦楽四重奏を演奏するのが好きだったと伝えられています。ピックがアインシュタインに、リッチとレヴィ＝チヴィタの「曲がった空間の計算法」（テンソル解析）を紹介したという話も伝わっていますが、資料では確かめきれていません。

退職、そして戦争の時代

1927年に大学を退職した（名誉教授）ピックは、故郷のウィーンへもどりました。しかし1938年、ナチス・ドイツがオーストリアを併合（へいごう）すると、ピックはプラハにもどります。ところが翌1939年にはナチス・ドイツがプラハをも占領し、ユダヤ人への迫害がはげしくなりました。ピックはチェコの科学芸術アカデミーからも追い出されてしまいます。

1942年7月13日、ピックはテレージエンシュタット（現在のチェコにあった、ナチスの強制収容所のひとつ）へ送られ、それから約2週間後の7月26日、82歳で亡くなりました。ピックだけでなく、同じ時代にたくさんの学者や子どもたちが、戦争の中で命をうばわれました。数学者がどんな時代を生きたのか、ピックの生涯は静かに教えてくれます。

忘れられていたピックの定理

ピックの定理は、発表からしばらくの間、あまり注目されませんでした。この定理が有名になったのは、ポーランドの数学者シュタインハウスが1969年の本『数学スナップショット』で紹介してからです。ピックの死から約27年、定理の発表からは70年がたっていました。その後、ピックの定理は日本の算数・数学の問題でもよく使われるようになりました。

ピックの主な業績をやさしく解説

ピックの名前がつく公式・定理・用語

• ピックの定理：格子多角形の面積 $S=i+\dfrac{b}{2}-1$。→ ピックの定理の公式・証明・入試問題
• シュワルツ・ピックの補題：単位円板から単位円板への正則関数は、双曲距離を広げない。
• ネヴァンリンナ・ピックの補間：円板上の点に決められた値をとる関数の存在条件。
• ピック行列：補間問題の条件を表す行列。行列の定義と計算の応用。
• 格子点：座標がすべて整数の点。→ 同じ考えがガウスの円の格子点問題や、ミンコフスキーの数の幾何学にもあります。

ピックの逸話と名言

70年たって有名になった定理

ピックの定理は、1899年に論文の中で発表されたあと、長いあいだほとんど注目されませんでした。1969年にポーランドのシュタインハウスが本で紹介してから、世界の数学教育にも広まりました。ピックが亡くなってから、すでに約27年たっていました。数学の発見には、発表したときにはまだ時代が追いついていないものがある、という例です。

アインシュタインの友人

ピックとアインシュタインは、プラハで音楽を通じても親しかったと記録されています。アインシュタインはバイオリン、ピックは四重奏の仲間として楽しんだと伝えられます。アインシュタインがのちに、プラハでの日々を思い出して友人の名を挙げた中にピックがいた、という話もありますが、くわしい言葉は確かめられていません。

ピックの言葉について

ピックについて、よく知られた名言は伝わっていません。そのかわり、「ピックの定理」が教えてくれる「数えることで、面積が分かる」という見方が、受験生へのいちばんの贈り物だといえます（これはこのページのまとめで、ピック本人の言葉ではありません）。

受験・勉強とピックのつながり

中学受験：点を数えて面積を求める

中学受験の算数では、方眼や「点が等間隔にならんだ図（点描）」の中の多角形の面積を求める問題がよく出ます。通常は、全体の長方形から余分な三角形を引く「囲んで引く」方法で解きます。ピックの定理を使うと、その手間が一気に減ります。

• 手順1：多角形の辺の上の点（頂点をふくむ）を数えて $b$ とする。
• 手順2：多角形の内側の点を数えて $i$ とする。
• 手順3：面積 $=i+b\div2-1$ を計算する。

点の間隔が1cmなら、そのまま平方センチメートルの面積になります。点の間隔が2cmのときは、面積を4倍にします。ただし、中学入試の解答では、ピックの定理をそのまま書くより、「囲んで引く」や「三角形に分ける」の手順を書いておくほうが、先生に伝わりやすい場合があります。定理は検算に使うと安心です。三角形・平行四辺形の面積の公式もあわせて確認しましょう。

例題　点が1cmおきにならんだ図で、3点 (0,0)、(4,1)、(1,3) を結んでできる三角形の面積を求めなさい。
辺の上の点は、(0,0)-(4,1) が $\gcd(4,1)=1$、(4,1)-(1,3) が $\gcd(3,2)=1$、(1,3)-(0,0) が $\gcd(1,3)=1$ なので、頂点の3個だけで $b=3$。内側の点は (1,1)、(2,1)、(3,1)、(1,2)、(2,2) の5個で $i=5$。面積は $5+3\div2-1=5.5$（平方センチメートル）です。確かめると、囲む長方形 $4\times3=12$ から、まわりの3つの直角三角形（面積は 2、3、1.5）を引いて $12-6.5=5.5$ となり、一致します。

高校受験：図形と整数の融合問題

高校受験でも、座標平面の三角形の面積と、格子点の個数を組みあわせた問題が出ます。たとえば、直線と軸で囲まれた三角形の内側にある格子点の数を、面積と辺の上の点の数から逆算する問題です。座標平面での三角形の面積の公式と合わせて使います。

大学受験：格子点の個数

大学入試では、「領域の内部にある格子点の個数を求めよ」という問題が、数列の意味と和の計算を使う形でよく出ます。この問題ではピックの定理そのものよりも、「x の値ごとに y の個数を数えて足す」方法が中心です。それでも、図形の面積と点の数の関係（領域の面積 ≒ 格子点の数）を知っておくと、見通しがよくなります。京都大学・東京大学などの整数と図形の融合問題は、京大理系数学の出題分析（整数問題の出方）も参考になります。

ピックの定理で失敗しやすいところ

• 頂点も辺の上の点に入れる：頂点は必ず $b$ に数えます。数え忘れが最も多いまちがいです。
• 最後の −1 を忘れない：$i+\dfrac{b}{2}$ で止めてしまう人が多くいます。
• 穴のある図形には使えない：内側に穴が $h$ 個あると、式は $i+\dfrac{b}{2}+h-1$ に変わります（$b$ には穴のまわりの点もふくめます）。
• 辺が交わる図形には使えない：星形のように辺が交差する図形は、いくつかに分けて使います。
• 頂点が格子点でない図形には使えない：点描の図でも、頂点が点からずれていれば別の方法で。

検算のしかたとしては、同じ図形を「囲んで引く」方法でも面積を求めて、答えが一致するかを見るのがおすすめです。2つの方法で同じ答えになれば、ほぼまちがいありません。

勉強法として：「数える」と「公式」を行き来する

ピックの定理は、「面積を計算する」という作業を「点を数える」という作業に置きかえました。算数・数学の勉強では、こうした見方の切りかえが大きな武器になります。ふつうの方法で解いたあと、別の方法でも確かめる習慣をつけると、検算と応用力が同時に身につきます。方眼の問題は、点の数え方さえ落ち着いてできれば、ほぼ確実に点がとれる問題です。数えるときは、数えた点にえんぴつで小さく印をつけると、数えもれや二重の数えまちがいが防げます。数学の勉強法は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も読んでください。

ピックがその後の数学にあたえた影響

• 離散幾何学・組合せ論：格子点を数える研究は、エルハルト多項式、格子多面体の理論に広がりました。
• 整数論との橋わたし：「図形の中の整数点を数える」考え方は、ガウスの業績と生涯の円の格子点問題、ミンコフスキーの数の幾何学へつながり、整数論と幾何学を結びつけます。
• 複素関数論：シュワルツ・ピックの補題は、リーマン面や双曲幾何、複素力学系の基本的な道具です。
• 応用数学・工学：ネヴァンリンナ・ピックの補間は、フィルター設計や制御理論（ロバスト制御）で使われます。
• パズル・ゲーム：ジオボード（釘を格子状に打った板に輪ゴムをかけて図形を作る教具）は、ピックの定理を体験するのにぴったりで、世界の算数の授業で使われています。
• 数学教育：ピックの定理は、小学生から大学生まで同じ式で学べる、ふしぎで美しい例として、世界中の数学教室で紹介されています。

ピックに挑戦！練習問題

ピックと関係する数学者

• ガウス（円の中の格子点）：ガウスの円問題は、円の中の格子点の数と面積の関係を調べる問題です。
• ミンコフスキー（数の幾何学）：格子点と凸な図形の関係を調べて、整数論に応用しました。
• オイラー（多面体定理）：「頂点−辺＋面」の数え方は、ピックの定理の証明にも通じます。
• コーシー（複素関数論）・ワイエルシュトラス（解析学）：ピックの複素関数論の土台を作りました。
• ヒルベルト（同時代の大数学者）：ピックと同じ時代に活躍したドイツ語圏の数学者です。

ピックの定理は、方眼紙とえんぴつがあれば、だれでも自分で確かめられます。いろいろな形の多角形をかいて、点を数え、面積を「囲んで引く」方法と見くらべてみましょう。「あれ、いつも合う」と気づいたとき、数学者が百年以上前に感じたおどろきを、同じように味わえます。

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