行列とは？行と列・積の計算をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

サクラちゃん

行列って、高校で習うんですか？ 教科書でほとんど見かけません。

合格先生

いまの高校では、数学Cの「数学的な表現の工夫」で少し出てくるだけなんだ。本格的には大学の線形代数で学ぶよ。ただ、行は横、列は縦と、積は行×列の2つは今のうちに覚えておくといい。

やさしく言うと

行列は、数を長方形（四角）に並べて、ひとまとめにしたものです。

• お店の売上表：「店ごと（横）」「商品ごと（縦）」の個数を表にすると、それがそのまま行列です。表のまま計算できるようにしたのが行列だと考えられます。
• 時間割：曜日を横、時間目を縦にならべた時間割も、数のかわりに教科が入った「表」です。行列は、この表の中身が数になったものです。
• 画像：スマートフォンの写真は、小さな点（画素）の明るさを、たて・横にならべた数の集まりとして記録されています。これも大きな行列と見られます。

横の並びを「行」、縦の並びを「列」といいます。2行3列なら「$2\times3$ 行列」です。$i$ 行目と $j$ 列目が交わるところの数を $(i, j)$ 成分といいます。

サクラちゃん

漢字の「行」には横の線、「列」の右側には縦の線。こう覚えると行と列をまちがえないよ！

まとめると、行列は「数の表を、1つのものとしてあつかう」ための道具です。

たし算と積

同じ形の行列どうしのたし算は、同じ場所の成分どうしをたします。積は少しちがい、左の行列の「行」と右の行列の「列」を、順にかけてたします。

$$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+2\cdot0\\3\cdot0+4\cdot1&3\cdot1+4\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$$

このため、行列の積ではふつう $AB\ne BA$ です。また、積 $AB$ が計算できるのは、$A$ の列の数と $B$ の行の数が同じときだけです。答えは「$A$ の行の数 × $B$ の列の数」の形になります。

図で見る

積が「行 × 列」というふしぎな形をしているのは、表どうしの計算を自然に表せるからです。売上の例で見てみましょう。

「A店の代金 ＝ りんごの個数×りんごの値段 ＋ みかんの個数×みかんの値段」は、ちょうど「A店の行」と「値段の列」を順にかけてたす計算です。行列の積は、この計算をまとめて書くための約束なのです。

行列には、点や図形を動かすはたらきもあります。点 $(x,\ y)$ を縦に並べて行列をかけると、別の点にうつります。

サクラちゃん

行列をかけると、どうして回転になるんですか？

合格先生

$\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}$ だよね。点 $(2,\ 1)$ は $(-1,\ 2)$ に移る。$x$ と $y$ を入れかえて片方の符号を変えると、ちょうど $90^\circ$ 回した位置になるんだ。コンピューターグラフィックスでも、この計算で画像を回しているよ。

高校・大学での扱い

行列は、昔は高校の数学Cで「行列とその応用」として、逆行列や1次変換まで学んでいました。2012年度に高校に入学した人からの課程でこの内容はなくなりました。いまの課程（2022年度入学生から）では、数学Cの「数学的な表現の工夫」の中で、表し方の一つとして行列が出てきます。ただし、共通テストの出題範囲には入っていません。

本格的に学ぶのは大学の線形代数です。逆行列・行列式・固有値などを学び、大学院入試や編入試験でもよく出ます。古い大学入試の過去問に行列の問題があるのは、このためです。

積が計算できる・できない

見分け方は、左の行列の「列の数」と、右の行列の「行の数」が同じかどうかだけです。$(2\times\underline{3})\times(\underline{3}\times2)$ のように、内側の2つの数がそろっていれば計算できます。

テスト・入試ではこう出る

いまの大学入試（共通テスト）では行列は出題されません。行列が本格的に出てくるのは、大学の線形代数の試験、大学の編入試験、大学院入試です。そこでは、積の計算、逆行列、行列式、連立1次方程式、固有値と対角化がよく問われます。まずは、積と逆行列の計算を正確にできるようにしておきましょう。

まちがえやすい点

合格先生

行列の積は成分どうしのかけ算ではなく「行 × 列」！ 順番を入れかえると答えも変わるよ。

• $AB=BA$ だと思う：行列の積は、ふつうは順番を入れかえると答えが変わります。
• 積を成分どうしのかけ算にする：$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}$ とするのはまちがい。積は「行 × 列」です。
• 行と列を逆にする：$2\times3$ 行列は「2行（横の並びが2本）、3列（縦の並びが3本）」です。
• 「$AB=O$ なら $A=O$ か $B=O$」と思う：数ならそうですが、行列では成り立ちません。たとえば $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=O$ ですが、どちらも零行列ではありません。
• どんな正方行列にも逆行列があると思う：$2\times2$ 行列では、$ad-bc=0$ のとき逆行列はありません。

ことばの由来・歴史

「行列」は、数を行と列にならべたものという意味の日本語です。英語の matrix（マトリックス）は、19世紀のイギリスの数学者シルベスターが名づけ、同じイギリスのケイリーが行列の計算の規則をまとめました。数を表の形にならべて連立方程式を解く方法そのものは、もっと古くから使われていました。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 逆行列（掃き出し法・余因子行列）
• 行列式の計算と性質
• 行列の対角化と A^n
• 固有値と固有ベクトル
• 連立1次方程式と階数（ランク）

あわせて覚えたい用語

• ベクトル
• 内積

よくある質問