座標で三角形の面積 S＝½|x₁y₂−x₂y₁| の公式｜長方形から引く証明・平行移動・靴ひも公式と例題【高校受験〜大学受験数学Ⅱ】

高校受験大学受験

S=\frac12\,|x_1y_2-x_2y_1|

$O(0,\ 0)$ 、 $A(x_1,\ y_1)$ 、 $B(x_2,\ y_2)$ のとき。原点がなければ平行移動してから

この公式のポイント

原点と2点なら $S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|$
たすきがけして引き、絶対値をとる
原点がないときは1つの頂点を原点へ平行移動
多角形は靴ひも公式、面積0なら一直線上

うかるくん

3つの頂点の座標から、どうやって面積を出すの？

合格先生

1つの頂点を原点に平行移動するんだ。あとは $\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|$ で一発だぞ。

座標で三角形の面積を求める公式

1つの頂点が原点のとき

$O(0,\ 0)$ 、 $A(x_1,\ y_1)$ 、 $B(x_2,\ y_2)$ のとき

S=\frac12\,|x_1y_2-x_2y_1|

原点がないときは、1つの頂点が原点に来るように全体を平行移動してから使う。 $A(a_1,\ a_2)$ 、 $B(b_1,\ b_2)$ 、 $C(c_1,\ c_2)$ なら

S=\frac12\,\bigl|(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)\bigr|

O、A(5, 1)、B(2, 4)：長方形 20 から灰色の3つを引いて 9。公式でも ½|5·4−2·1|＝9

覚え方は「たすきがけ」。 $\begin{matrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{matrix}$ と2行に並べ、ななめにかけて引きます（ $x_1y_2-x_2y_1$ ）。最後に絶対値をとって $\dfrac12$ 倍です。

証明

証明①：長方形から引く（中学生向け）

図1のように $A$ が右下、 $B$ が左上にある場合（ $0\le y_1\le y_2$ 、 $0\le x_2\le x_1$ ）で考えます。まわりの長方形の面積は $x_1y_2$ 。ここから3つの直角三角形

\frac12x_1y_1,\qquad \frac12(x_1-x_2)(y_2-y_1),\qquad \frac12x_2y_2

を引くと

S=x_1y_2-\frac12x_1y_1-\frac12(x_1y_2-x_1y_1-x_2y_2+x_2y_1)-\frac12x_2y_2=\frac12(x_1y_2-x_2y_1)

図1の数字では $20-(2.5+4.5+4)=9$ 、公式でも $\dfrac12(5\cdot4-2\cdot1)=9$ です。ほかの位置関係でも同じ式になり、向きによって符号が変わるだけなので、絶対値をつけてまとめます。

証明②：ベクトルの面積公式から（大学受験向け）

$\vec a=(x_1,\ y_1)$ 、 $\vec b=(x_2,\ y_2)$ とすると、ベクトルと三角形の面積の公式 $S=\dfrac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}$ が使えます。

(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)-(x_1x_2+y_1y_2)^2=x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2-2x_1x_2y_1y_2=(x_1y_2-x_2y_1)^2

なので $S=\dfrac12\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2}=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|$ です。

原点がないとき：平行移動

図形を平行移動しても面積は変わりません。A を原点に動かすと、B、C は $(b_1-a_1,\ b_2-a_2)$ 、 $(c_1-a_1,\ c_2-a_2)$ に移るので、上の公式がそのまま使えます。

A(1, 1)、B(6, 2)、C(3, 5) を、A が原点に来るように動かすと図1と同じ三角形になる

高校受験（中学数学）での使い方

関数のグラフと三角形の面積の問題で、検算や近道に使えます。答案では、長方形から引く方法や、 $y$ 軸で2つに分ける方法で説明できるようにしておきましょう。

高校受験

例題1（原点をふくむ三角形）

O(0,\ 0)

、

A(6,\ 2)

、

B(2,\ 5)

を頂点とする △OAB の面積を求めなさい。

解き方

$S=\dfrac12|6\cdot5-2\cdot2|=\dfrac12\cdot26=13$ 。（長方形 $6\times5=30$ から $6+6+5=17$ を引いても $13$ 。）

答え　 $13$

高校受験

例題2（放物線と直線）

放物線

y=x^2

上の2点

A(-1,\ 1)

、

B(2,\ 4)

と原点 O でできる △OAB の面積を求めなさい。

解き方

$S=\dfrac12|(-1)\cdot4-2\cdot1|=\dfrac12\cdot6=3$ 。
（確認：直線 AB は $y=x+2$ で、 $y$ 軸との交点 $(0,\ 2)$ で2つに分けると $\dfrac12\cdot2\cdot1+\dfrac12\cdot2\cdot2=3$ 。）

答え　 $3$

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

大学受験

例題3（原点をふくまない三角形）

A(-2,\ 1)

、

B(3,\ -1)

、

C(1,\ 4)

を頂点とする △ABC の面積を求めなさい。

解き方

A を原点に移すと $B\to(5,\ -2)$ 、 $C\to(3,\ 3)$ 。 $S=\dfrac12|5\cdot3-3\cdot(-2)|=\dfrac12\cdot21=\dfrac{21}{2}$ 。

答え　 $\dfrac{21}{2}$

大学受験

例題4（多角形：靴ひも公式）

A(0,\ 0)

、

B(4,\ 0)

、

C(5,\ 3)

、

D(1,\ 4)

を頂点とする四角形 ABCD の面積を求めなさい。

解き方

対角線 AC で2つに分ける。△ABC $=\dfrac12|4\cdot3-5\cdot0|=6$ 、△ACD $=\dfrac12|5\cdot4-1\cdot3|=\dfrac{17}{2}$ 。合計 $6+\dfrac{17}{2}=\dfrac{29}{2}$ 。

答え　 $\dfrac{29}{2}$ （ $=14.5$ ）

例題4：対角線 AC で 6 と 8.5 の三角形に分けると、四角形は 14.5

例題4のように頂点を順にまわる多角形では、となりどうしの $x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i$ をすべて足して $\dfrac12$ 倍し、絶対値をとっても求まります（靴ひも公式・座標の面積公式）。

S=\frac12\,\bigl|(0\cdot0-4\cdot0)+(4\cdot3-5\cdot0)+(5\cdot4-1\cdot3)+(1\cdot0-0\cdot4)\bigr|=\frac12\cdot29

これは原点と各辺でできる三角形の（符号つきの）面積を足し合わせたものなので、頂点を順番どおりにまわることが大切です。また、3点が一直線上にあれば面積は $0$ なので、 $x_1y_2-x_2y_1=0$ （平行移動したあと）が3点が一直線上にある条件にもなります。

よくある間違い

合格先生

$x_1y_2-x_2y_1$ は点の並ぶ向きで負になる。面積にするときは絶対値を忘れるな。

絶対値を忘れる： $x_1y_2-x_2y_1$ は点の並ぶ向きによって負になる。面積は必ず絶対値をとる。
原点がないのにそのまま使う：3点の座標をそのまま入れてはいけない。1つの頂点を原点に平行移動してから使う。
多角形で頂点の順番がばらばら：靴ひも公式は、まわりを1周する順に並べたときだけ正しい。

練習問題

うかるくん

たすきがけして引いて、半分にするんだね！

高校受験 $O(0,\ 0)$ 、 $A(4,\ 1)$ 、 $B(1,\ 3)$ を頂点とする △OAB の面積は？
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$\dfrac12|4\cdot3-1\cdot1|=\dfrac{11}{2}$
大学受験 $A(1,\ 2)$ 、 $B(5,\ 3)$ 、 $C(2,\ 6)$ を頂点とする △ABC の面積は？
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A を原点に移すと $(4,\ 1)$ 、 $(1,\ 4)$ 。 $\dfrac12|4\cdot4-1\cdot1|=\dfrac{15}{2}$
大学受験 3点 $(1,\ 2)$ 、 $(3,\ k)$ 、 $(5,\ 10)$ が一直線上にあるような $k$ の値は？
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$(1,\ 2)$ を原点に移すと $(2,\ k-2)$ 、 $(4,\ 8)$ 。面積 $0$ より $2\cdot8-4(k-2)=0$ 、 $k=6$

よくある質問

座標から三角形の面積を求める公式は？

原点 O と A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) なら S=½|x₁y₂−x₂y₁| です。たすきがけでかけて引き、絶対値をとって半分にします。

原点が頂点にないときはどうしますか？

1つの頂点が原点に来るように、3点を同じだけ平行移動します。面積は変わらないので、そのあと公式を使えます。

なぜ ½|x₁y₂−x₂y₁| になるのですか？

三角形を囲む長方形の面積 x₁y₂ から、まわりの3つの直角三角形を引くと ½(x₁y₂−x₂y₁) になります。ベクトルの面積公式からも導けます。

四角形の面積も座標で求められますか？

対角線で2つの三角形に分けるか、頂点を順にまわって x_i y_(i+1) − x_(i+1) y_i を足す靴ひも公式で求められます。

座標で三角形の面積 S＝½|x₁y₂−x₂y₁| の公式｜長方形から引く証明・平行移動・靴ひも公式と例題【高校受験〜大学受験数学Ⅱ】

座標で三角形の面積を求める公式