座標とは？x座標・y座標・象限をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$(3,\ 2)$ って、たてと横、どっちが先でしたっけ？

合格先生

横（$x$）が先、たて（$y$）が後だよ。「右へ3、上へ2」と読むんだ。アルファベットも $x$ が先だね。

やさしく言うと

座標は、点の場所を数の組で表したものです。「どこ？」という質問に、数で答えるしくみです。

• 映画館の席：「H 列 12 番」と言えば、席は 1 つに決まります。横の位置とたての位置、2 つの情報で場所が決まっています。
• 地図の緯度・経度：地球の上の場所は、「北緯○度、東経○度」の 2 つの数で表せます。これも座標の考え方です。
• 表計算ソフトのセル：「B3」は B 列の 3 行目。列と行の 2 つで、1 つのマスが決まります。

数学では、平面に 0 の点（原点 O）で直角に交わる 2 本の数直線をかきます。横を $x$ 軸、たてを $y$ 軸といいます。原点から右へ 3、上へ 2 進んだ点の座標は $(3,\ 2)$ です。前の 3 を $x$ 座標、後ろの 2 を $y$ 座標といいます。

つまり座標は、「横にいくつ、たてにいくつ」の 2 つの数で、平面の点を 1 つに決めるしくみです。

うかるくん

(x, y) は「横が先、たてが後」。順番を逆にしないように！

座標の読み方の例

座標は順番に意味がある数の組です。$(3,\ 2)$ と $(2,\ 3)$ は、数は同じでも別の点を表します。

図で見る

特に注意したいのが、軸の上にある点です。$x$ 軸の上では上下に動かないので $y$ 座標が 0、$y$ 軸の上では左右に動かないので $x$ 座標が 0 になります。

サクラちゃん

$x$ 軸の上の点なのに、0 になるのは $y$ のほうなんですか？ なんだかややこしいです。

合格先生

$x$ 軸の上を歩くときは、上にも下にも行かないよね。だから「上へいくつ」を表す $y$ 座標が 0 なんだ。軸の名前ではなく、動いていない向きを考えるとまちがえないよ。

グラフが $x$ 軸と交わる点（$x$ 切片）を求めるときに「$y=0$ を代入する」のも、同じ理由です。

象限（しょうげん）

$x$ 軸と $y$ 軸で、平面は 4 つの部分に分かれます。右上から反時計回りに第1象限〜第4象限といいます。点の符号を見れば、どの象限にあるかが分かります。

軸の上の点（$(4,\ 0)$ や $(0,\ -2)$ など）は、どの象限にも入りません。象限は、高校で習う三角関数でも「角がどの象限にあるか」で符号を考えるときに使います。

対称な点の座標

座標を使うと、図形の性質を計算で調べられます。よく使うのが対称な点です。

$x$ 軸について折り返すと、横の位置はそのままで、上と下が入れかわります。だから変わるのは $y$ 座標の符号です。原点について対称な点は、$x$ 軸と $y$ 軸の両方で折り返した点と同じです。

2点の距離と中点

座標がわかれば、2 つの点の距離や真ん中の点（中点）を計算で求められます。

• 距離：横の差とたての差で直角三角形を作り、三平方の定理を使います。$A(x_1,\ y_1)$、$B(x_2,\ y_2)$ なら $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ です。
• 中点：$x$ 座標どうし、$y$ 座標どうしを平均します。$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ です（中点）。

このように、図形を座標で表して計算で調べる方法は、高校の数学Ⅱ「図形と方程式」で本格的に学びます。空間では $x,\ y,\ z$ の 3 つの数で $(1,\ 2,\ 3)$ のように表します。

サクラちゃん

図形の問題も、座標をおけば計算で解けるのね！

テスト・入試ではこう出る

小学 4 年で「ものの位置の表し方」として、横と縦の 2 つの数で場所を表すことを学びます。座標ということばと負の数をふくむ座標平面は、中学 1 年の比例・反比例で習います。高校入試では、関数のグラフの交点の座標、座標平面上の三角形の面積がよく出ます。高校では数学Ⅱ（図形と方程式）で、距離・中点・直線や円の方程式を座標で扱います。

三角形の面積は、高校入試では「かこむ長方形から引く」方法や、「$y$ 軸で 2 つに分ける」方法がよく使われます。

まちがえやすい点

合格先生

$x$ 軸について対称なら、変わるのは $y$ 座標の符号だよ！

• $x$ と $y$ の順番を逆にする：$(3,\ 2)$ は「横に 3、たてに 2」です。必ず $x$ が先です。点をとったら、最後に原点から数え直して確かめましょう。
• 対称な点の符号：$x$ 軸について対称なら $y$ 座標の符号が変わります。「$x$ 軸だから $x$ が変わる」と思いがちなので注意。
• 軸の上の点を取りちがえる：$x$ 軸の上の点は（□, 0）、$y$ 軸の上の点は（0, □）の形です。逆にしてしまうまちがいが多いです。
• 負の座標の向き：$x$ 座標が負なら原点より左、$y$ 座標が負なら原点より下です。
• 距離を差のまま答える：$A(1,\ 1)$ と $B(5,\ 4)$ の距離を「横 4 ＋たて 3 ＝7」としないこと。ななめの距離は三平方の定理で 5 です。

ことばの由来・歴史

「座標」の座は「すわる場所・位置」、標は「目じるし」という意味の漢字です。点の位置を示す目じるし、という組み立てになっています。英語では coordinates といいます。

図形を数の組で表して計算で調べる考え方は、17 世紀のフランスのデカルトが 1637 年に出した本『方法序説』の付録「幾何学」で示しました。そのため、直角に交わる軸を使う座標は「デカルト座標」とも呼ばれます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 座標で三角形の面積
• 点と直線の距離の公式
• 空間ベクトルと座標
• 極座標と極方程式

あわせて覚えたい用語

• グラフ
• 中点
• 一次関数

よくある質問