中点とは？意味と中点の座標・中点連結定理をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

中点とは？意味と中点の座標・中点連結定理をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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中点とは

線分を2等分する点、つまり線分のまん中の点です。A(x1, y1)A(x_1,\ y_1)、B(x2, y2)B(x_2,\ y_2) の中点の座標は (x1+x22, y1+y22)\left(\dfrac{x_1+x_2}2,\ \dfrac{y_1+y_2}2\right) で、両はしの座標の平均になります。

読み方：ちゅうてん／英語：midpoint／習う学年：中学1年（作図）。中点連結定理は中学3年、中点の座標は数学Ⅱ

うかるくん

うかるくん

中点の座標って、引き算して2でわるんでしたっけ？

合格先生

合格先生

そこが落とし穴！ 中点はたして2でわるんだ。2 と 8 の中点は (2+8)÷2=5(2+8)\div2=5。両はしの平均だと考えればまちがえないよ。

この用語のポイント

  • 中点 ＝ 線分を2等分する点（AM＝MB）
  • 中点の座標 ＝ 両はしの座標をたして2でわる（平均）
  • 中点連結定理：2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さは半分

やさしく言うと

中点は、線分をちょうど2等分する点、つまり線分のまん中の点です。線分 AB の中点を M とすると、AM と MB の長さが等しくなります。

  • 待ち合わせ：2人の家を結ぶまっすぐな道で、どちらも同じきょりだけ歩いて会える場所が中点です。
  • ひもを半分に折る：ひもの両はしをそろえて折ると、折り目がひもの中点です。
  • シーソーの支点：同じ重さの2人がつり合うのは、支点が板のまん中にあるときです。

数直線では、A が 2、B が 8 なら、中点 M は (2+8)÷2=5(2+8)\div2=5 です。両はしの数の平均が中点になります。

012345678910 33 A B M M ＝（2 ＋ 8）÷ 2 ＝ 5（たして2でわる） または 2 ＋（8 − 2）÷ 2 ＝ 5
2 と 8 の中点は 5。両はしの数をたして 2 でわる
指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

中点は「平均」と同じ。たして2でわれば出てくるのね！

例と、例ではないもの

○ 中点

  • 線分 AB 上にあって AM＝MB となる点 M
  • 数直線の −4-4 と 66 の中点は 11（−4+62\dfrac{-4+6}2）
  • (0, 0)(0,\ 0) と (4, 6)(4,\ 6) の中点は (2, 3)(2,\ 3)
  • 平行四辺形の対角線の交点（両方の対角線の中点）
  • 円の直径の中点（円の中心）
  • 線分を 1:11:1 に内分する点

× 中点ではないもの

  • A からも B からも同じきょりだが、線分 AB の上にない点（垂直二等分線上の点）
  • AM＝5cm、MB＝4cm となる点（等しくない）
  • (2, 3)(2,\ 3) と (8, 5)(8,\ 5) の中点を (3, 1)(3,\ 1) とする（差を2でわっている）
  • 三角形の重心（中線を 2:12:1 に分ける点で、中点ではない）
  • 曲がった線（弧）のまん中を「中点」とよぶこと（中点は線分で考える）

A と B から同じきょりにある点は、線分 AB の垂直二等分線の上にたくさんあります。そのうち、線分 AB の上にある1点だけが中点です。中点を作図するときは、この垂直二等分線をかいて、AB との交点を求めます。

図で見る：座標の中点

座標平面で、A(1, 1)A(1,\ 1) と B(7, 5)B(7,\ 5) の中点を考えます。xx 座標と yy 座標をべつべつに平均すればよいのです。

xyO 147 135 A(1, 1)B(7, 5)M(4, 3) x 座標(1＋7)÷2＝4 y 座標(1＋5)÷2＝3 中点の座標は、x も y も 両はしの平均
A(1, 1) と B(7, 5) の中点は M(4, 3)

一般に、A(x1, y1)A(x_1,\ y_1) と B(x2, y2)B(x_2,\ y_2) の中点の座標は、次の式で求められます。

(x1+x22, y1+y22)\left(\frac{x_1+x_2}2,\ \frac{y_1+y_2}2\right)
うかるくん

うかるくん

xx と yy をべつべつに計算していいのは、なぜですか？

合格先生

合格先生

A から B へ「右へ6、上へ4」進むとすると、まん中までは「右へ3、上へ2」。横の動きと縦の動きは、それぞれ半分ずつになるからだよ。

中点連結定理

中学3年では、三角形の2辺の中点を結ぶと、とても便利な性質があることを学びます。これを中点連結定理といいます。

A B C M N 5cm 10cm MN ∥ BC、MN ＝ BC ÷ 2
2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さは半分

三角形 ABC の辺 AB、AC の中点をそれぞれ M、N とすると、MN ∥ BC、MN ＝ 12\dfrac12BC です。三角形 AMN と三角形 ABC が、相似比 1:21:2 の相似になっていることから証明できます。この定理を使うと、「四角形の4辺の中点を結ぶと平行四辺形になる」ことなども示せます。

中点が出てくる場面

場面中点の使い方
平行四辺形2本の対角線は、おたがいの中点で交わる
円直径の中点が円の中心
二等辺三角形頂角の二等分線は、底辺の中点を通る
重心頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ線（中線）3本が交わる点
ベクトルOM→=a⃗+b⃗2\overrightarrow{OM}=\dfrac{\vec a+\vec b}2（数学C）

平行四辺形の性質を使うと、3つの頂点から4つめの頂点を求められます。2本の対角線の中点が同じ点になることを使います。

O A(1, 1)B(5, 2)C(6, 5)D(?, ?) AC の中点 (3.5, 3) BD の中点も 同じ (3.5, 3) → D ＝ (2, 4)
対角線 AC と BD の中点が一致することから、D を求める

AC の中点は (1+62, 1+52)=(3.5, 3)\left(\dfrac{1+6}2,\ \dfrac{1+5}2\right)=(3.5,\ 3) です。D を (p, q)(p,\ q) とすると、BD の中点 (5+p2, 2+q2)\left(\dfrac{5+p}2,\ \dfrac{2+q}2\right) も (3.5, 3)(3.5,\ 3) なので、p=2p=2、q=4q=4 です。

テスト・入試ではこう出る

中学1年では、中点を求めるための垂直二等分線の作図が出ます。中学3年では、中点連結定理を使って長さや面積を求める問題や、証明の問題がよく出ます。高校入試の関数の問題でも、2点の中点の座標を使う問題（三角形の面積を2等分する直線など）がよく見られます。高校の数学Ⅱ（図形と方程式）では、中点は内分点の特別な場合（1:11:1）としてあつかいます。

例題1（中点の座標）

2点 A(−2, 5)A(-2,\ 5)、B(6, −1)B(6,\ -1) を結ぶ線分 AB の中点の座標を求めなさい。

  1. xx 座標：−2+62=42=2\dfrac{-2+6}2=\dfrac42=2
  2. yy 座標：5+(−1)2=42=2\dfrac{5+(-1)}2=\dfrac42=2

答え　(2, 2)(2,\ 2)

例題2（中学3年：中点連結定理）

三角形 ABC で、辺 AB、AC の中点をそれぞれ M、N とします。BC＝10cm のとき、MN の長さを求めなさい。また、三角形 AMN の面積は三角形 ABC の何倍ですか。

  1. M、N はそれぞれ AB、AC の中点なので、中点連結定理より MN ∥\parallel BC、MN=12BCMN=\dfrac12BC。
  2. MN=10÷2=5MN=10\div2=5（cm）。
  3. 三角形 AMN と三角形 ABC は相似で、相似比は 1:21:2。面積比は 12:22=1:41^2:2^2=1:4。

答え　MN＝5cm、面積は 14\dfrac14

ひらめいたうかるくん

うかるくん

中点が2つ出てきたら、中点連結定理のサインなんだ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

中点は和÷2。差÷2 は「A からどれだけ進むか」で、中点そのものではない！

  • 差を2でわる：(2, 3)(2,\ 3) と (8, 5)(8,\ 5) の中点を (8−22, 5−32)=(3, 1)\left(\dfrac{8-2}2,\ \dfrac{5-3}2\right)=(3,\ 1) とするまちがいです。差の半分は「A からの進み具合」です。中点は和を2でわって (5, 4)(5,\ 4) です。
  • 端点を求めるとき、M − A とする：中点 M と端点 A から B を求めるとき、B は「A から M までの2倍進んだ点」です。B=2M−AB=2M-A と覚えましょう。Q2 なら (2×5−3, 2×4−7)=(7, 1)(2\times5-3,\ 2\times4-7)=(7,\ 1) です。
  • 中点連結定理を、中点でない点に使う：この定理は、2つの点がどちらも辺の中点のときだけ使えます。片方が中点でないと、平行にも半分にもなりません。
  • 重心と中点を取りちがえる：重心は、中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線分）を 2:12:1 に分ける点です。中線の中点ではありません。

ことばの由来

中点は、そのまま「中（まんなか）の点」という意味です。英語でも midpoint（ミッドポイント）といい、mid は「まんなか」を表します。

ミニ問題

問題1　2点 (−3, 4)(-3,\ 4)、(5, −2)(5,\ -2) を結ぶ線分の中点の座標を求めましょう。

答えと解き方を見る

(1, 1)(1,\ 1) です。xx 座標は −3+52=1\dfrac{-3+5}2=1、yy 座標は 4+(−2)2=1\dfrac{4+(-2)}2=1。マイナスの数も、そのままたして2でわります。

問題2　線分 AB の中点が M(5, 4)M(5,\ 4) で、A(3, 7)A(3,\ 7) のとき、点 B の座標を求めましょう。

答えと解き方を見る

B(7, 1)B(7,\ 1) です。B を (x, y)(x,\ y) とすると、3+x2=5\dfrac{3+x}2=5、7+y2=4\dfrac{7+y}2=4。これを解いて x=7x=7、y=1y=1。A から M へ「右へ2、下へ3」進んだので、M からさらに同じだけ進んだ点が B、と考えても求められます。

問題3　三角形 ABC で、AB＝8cm、BC＝12cm、CA＝10cm です。3つの辺の中点を結んでできる三角形のまわりの長さを求めましょう。

答えと解き方を見る

15cm です。中点連結定理より、中点どうしを結んだ線分は、向かい合う辺の半分の長さです。だから3辺は 8÷2=48\div2=4、12÷2=612\div2=6、10÷2=510\div2=5 で、まわりは 4+6+5=154+6+5=15（cm）。もとの三角形のまわり 30cm のちょうど半分です。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

中点とは簡単にいうと何ですか？

線分のまん中の点です。線分ABの中点Mでは、AMとMBの長さが等しくなります。

中点の座標の求め方は？

両はしの点のx座標どうし、y座標どうしをそれぞれたして2でわります。(1, 1)と(7, 5)の中点は(4, 3)です。

中点連結定理とは何ですか？

三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分になるという定理です。中学3年で習います。

中点と端点から、もう一方の端点を求めるには？

求める端点は、端点Aから中点Mまでの2倍進んだ点です。座標では B＝2M−A で求められます。

中点はどうやって作図しますか？

線分の垂直二等分線をかき、線分との交点を求めます。その交点が中点です。

中点は何年生で習いますか？

中学1年の作図で使い、中学3年で中点連結定理を習います。中点の座標の公式は高校の数学Ⅱであつかいます。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（基本的な作図）、第3学年 B 図形（相似、中点連結定理）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅱ（図形と方程式）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦