内分・外分とは？意味と内分点・外分点の公式をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

内分・外分とは？意味と内分点・外分点の公式をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

内分・外分とは

線分 AB の上の点 P で AP：PB＝m:nm:n となるとき、P は AB を m:nm:n に内分するといいます。線分 AB をのばした先の点 Q で AQ：QB＝m:nm:n となるとき、Q は AB を m:nm:n に外分するといいます。

読み方：ないぶん・がいぶん／英語：internal division / external division／習う学年：数学A（図形の性質）、数学Ⅱ（図形と方程式）

サクラちゃん

サクラちゃん

外分って、線分の外にあるのに、どうして「分ける」っていうんですか？

合格先生

合格先生

A と B からのきょりの比が m:nm:n になる点だからだよ。線分を切るわけじゃなく、A からと B からのきょりの比で位置を決めているんだ。

この用語のポイント

  • 内分＝線分の上で m:nm:n、外分＝線分の外で m:nm:n
  • 内分点 na+mbm+n\dfrac{na+mb}{m+n}。外分点は nn を −n-n にかえる
  • 外分点は m>nm>n なら B の外、m<nm<n なら A の外

やさしく言うと

内分は、線分の上の点で、決まった比に分けることです。外分は、線分をのばした先の点で、決まった比に分けることです。どちらも「A からのきょり：B からのきょり」が m:nm:n になる点を考えます。

  • 駅と学校のあいだのコンビニ（内分）：駅から学校まで 1km の道のとちゅうに、駅から 600m、学校から 400m のところにコンビニがあります。コンビニは道を 600:400=3:2600:400=3:2 に内分しています。
  • 学校をこえた先の公園（外分）：駅から学校をこえて、駅から 3km、学校から 2km のところに公園があります。公園は道の外にありますが、きょりの比は 3:23:2 です。これが外分です。
  • 中点は特別な内分：まん中の点は、1:11:1 に内分する点です。

まとめると、内分は「あいだで分ける」、外分は「外がわで分ける」です。どちらの点でも、比は「A から：B から」の順に読みます。

3：2 に内分（線分の上）AP＝64ABP 3：2 に外分（B の外がわ）AQ＝30QB＝20ABQ 2：3 に外分（A の外がわ）AR＝20RB＝30ABR
3：2 の内分点は線分の上、外分点は線分の外にできる
指さして説明するうかるくん

うかるくん

外分は線分の外。比の大きいほうの点の、さらに外がわにできるんだ！

例と、まちがいの例

○ 正しい

  • A(0)、B(10) を 3:23:2 に内分する点は 6（AP＝6、PB＝4）
  • A(0)、B(10) を 3:23:2 に外分する点は 30（AQ＝30、QB＝20）
  • A(0)、B(10) を 2:32:3 に外分する点は −20-20（A の外がわ）
  • 中点は 1:11:1 に内分する点
  • 重心は、中線を頂点から 2:12:1 に内分する点
  • 角の二等分線と対辺の交点は、対辺を隣の2辺の比に内分する

× まちがい

  • 3:23:2 に内分する点を 4 とする（A からの長さが 4 で、比が逆）
  • 外分点を線分 AB の上にとる（外分点はいつも線分の外）
  • 1:11:1 に外分する点を考える（そんな点はない）
  • 3:23:2 の外分点を A の外がわにとる（m>nm>n なら B の外がわ）
  • 内分の比を「全体：部分」で読む（「A から：B から」で読む）

図で見る：座標の内分点

座標平面でも、考え方は同じです。A(1, 1)A(1,\ 1) と B(7, 4)B(7,\ 4) を 2:12:1 に内分する点 P は、横の長さも、縦の長さも 2:12:1 に分ける点です。

O 42 21 A(1, 1) B(7, 4) P(5, 3) 横 4：2、縦 2：1 → どちらも 2：1 x ＝ (1×1＋2×7)÷3 ＝ 5、y ＝ (1×1＋2×4)÷3 ＝ 3
A(1, 1) と B(7, 4) を 2：1 に内分する点は P(5, 3)
サクラちゃん

サクラちゃん

ななめの線分なのに、横と縦をべつべつに 2:12:1 にしていいんですか？

合格先生

合格先生

図の青い三角形と赤い三角形は、形が同じ（相似）で、大きさの比が 2:12:1 だからだよ。斜めの長さが 2:12:1 なら、横も縦も 2:12:1 になるんだ。

内分点・外分点の公式

数直線上の2点 A(a)(a)、B(b)(b) について、次の式が成り立ちます。座標平面では、xx 座標と yy 座標に同じ式を使います。

式点のある場所
m:nm:n に内分na+mbm+n\dfrac{na+mb}{m+n}線分 AB の上
m:nm:n に外分−na+mbm−n\dfrac{-na+mb}{m-n}（m≠nm\ne n）m>nm>n なら B の外、m<nm<n なら A の外
中点（1:11:1 に内分）a+b2\dfrac{a+b}2線分 AB のまん中

内分の式は、比の数字を「はなれた側」の点にかけることに注意します。P は A に近いほど A の重みが大きくなるので、A には PB 側の nn をかけます。

A（a） B（b） P m n n × a m × b P ＝ n a ＋ m b　を　m ＋ n でわる 比の数字は、はなれた側の点にかける
m は B に、n は A に、たすきにかけてかける

外分の式は、内分の式の nn を −n-n におきかえたものです。m:nm:n に外分することを「m:(−n)m:(-n) に内分する」と考えると、1つの式で覚えられます。m=nm=n だと分母が 0 になるので、1:11:1 に外分する点はありません。

図形の中の内分・外分

内分・外分は、三角形の性質にも出てきます。代表的なのが角の二等分線と辺の比です（数学A）。

A B C D 6 3 BD＝4 DC＝2 AB：AC ＝ 6：3 ＝ 2：1 → D は BC を 2：1 に内分
∠A の二等分線は、BC を AB：AC に内分する

三角形 ABC で、∠A\angle A の二等分線が BC と交わる点を D とすると、BD：DC＝AB：AC です。外角の二等分線なら、BC の延長と交わる点が BC を AB：AC に外分します（AB と AC が等しくないとき）。重心が中線を 2:12:1 に内分することや、ベクトルの OP→=na⃗+mb⃗m+n\overrightarrow{OP}=\dfrac{n\vec a+m\vec b}{m+n}（数学C）も、同じ内分の考え方です。

テスト・入試ではこう出る

内分・外分は、高校の数学Aの図形の性質（角の二等分線と比、メネラウスの定理など）と、数学Ⅱの図形と方程式（内分点・外分点の座標、重心の座標）で習います。数学Cの位置ベクトルでも、内分点の式をくり返し使います。共通テストや大学入試では、座標やベクトルの問題のとちゅうの1ステップとして出てくることが多く、式を正しく使えるかが大切です。

例題1（数学Ⅱ：内分点と外分点）

2点 A(−2, 3)A(-2,\ 3)、B(4, −3)B(4,\ -3) を結ぶ線分 AB を 1:21:2 に内分する点と、1:21:2 に外分する点の座標を求めなさい。

  1. 内分点：x=2×(−2)+1×41+2=0x=\dfrac{2\times(-2)+1\times4}{1+2}=0、y=2×3+1×(−3)1+2=1y=\dfrac{2\times3+1\times(-3)}{1+2}=1 → (0, 1)(0,\ 1)
  2. 外分点：nn を −n-n にして、x=−2×(−2)+1×41−2=8−1=−8x=\dfrac{-2\times(-2)+1\times4}{1-2}=\dfrac{8}{-1}=-8、y=−2×3+1×(−3)1−2=−9−1=9y=\dfrac{-2\times3+1\times(-3)}{1-2}=\dfrac{-9}{-1}=9 → (−8, 9)(-8,\ 9)
  3. 1:21:2 で m<nm<n なので、外分点は A の外がわ。A(−2, 3)(-2,\ 3) より左上にあって合っている。

答え　内分点 (0, 1)(0,\ 1)、外分点 (−8, 9)(-8,\ 9)

例題2（重心の座標）

3点 A(1, 2)A(1,\ 2)、B(5, 0)B(5,\ 0)、C(3, 7)C(3,\ 7) を頂点とする三角形の重心の座標を、内分点の考え方で求めなさい。

  1. BC の中点を M とすると、M(5+32, 0+72)=(4, 3.5)M\left(\dfrac{5+3}2,\ \dfrac{0+7}2\right)=(4,\ 3.5)。
  2. 重心 G は、中線 AM を 2:12:1 に内分する点：x=1×1+2×43=3x=\dfrac{1\times1+2\times4}{3}=3、y=1×2+2×3.53=3y=\dfrac{1\times2+2\times3.5}{3}=3。
  3. まとめると、重心は3つの頂点の座標の平均 (1+5+33, 2+0+73)=(3, 3)\left(\dfrac{1+5+3}3,\ \dfrac{2+0+7}3\right)=(3,\ 3) になる。

答え　(3, 3)(3,\ 3)

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

外分は n にマイナスをつけるだけ。内分の式が言えれば、両方使えるのね！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

内分点は na+mbm+n\dfrac{na+mb}{m+n}。比の数字ははなれた側の点にかける！

  • mm と nn をかける相手を逆にする：m:nm:n に内分する点を ma+nbm+n\dfrac{ma+nb}{m+n} とするまちがいです。正しくは na+mbm+n\dfrac{na+mb}{m+n}。A(0)、B(10) を 3:23:2 なら 6 で、4 ではありません。迷ったら「A に近いか」で確かめましょう。
  • 外分の符号をまちがえる：外分は −na+mbm−n\dfrac{-na+mb}{m-n} です。分母の m−nm-n が負になることもあります（1:21:2 なら −1-1）。計算のあと、点が A と B のどちらの外にあるかで確かめます。
  • 外分点の場所を取りちがえる：m>nm>n なら B の外、m<nm<n なら A の外です。「比の大きいほうから遠い」と考えると覚えやすいです。
  • 1:11:1 の外分を考える：AQ＝QB となる点は、線分の外にはありません（中点だけ）。m=nm=n の外分は考えません。
  • 比の順番を読みちがえる：「AB を m:nm:n に分ける」は「AP：PB＝m:nm:n」です。「BA を m:nm:n に分ける」と書いてあれば、B からの比になります。

ことばの由来

内分は「線分の内がわで分ける」、外分は「線分の外がわで分ける」という意味です。英語でも internal division（内の分割）、external division（外の分割）といいます。

ミニ問題

問題1　数直線上の2点 A(2)、B(14) を結ぶ線分を 1:31:3 に内分する点の座標を求めましょう。

答えと解き方を見る

5 です。3×2+1×141+3=204=5\dfrac{3\times2+1\times14}{1+3}=\dfrac{20}4=5。たしかめ：A から 3、B まで 9 で、3:9=1:33:9=1:3 です。

問題2　同じ2点 A(2)、B(14) を結ぶ線分を 3:13:1 に外分する点の座標を求めましょう。

答えと解き方を見る

20 です。外分は nn を −n-n にかえて −1×2+3×143−1=402=20\dfrac{-1\times2+3\times14}{3-1}=\dfrac{40}2=20。たしかめ：A から 18、B から 6 で、18:6=3:118:6=3:1。m>nm>n なので、B の外がわにできています。

問題3　2点 A(1, 5)A(1,\ 5)、B(7, −1)B(7,\ -1) を結ぶ線分 AB を 2:12:1 に内分する点の座標を求めましょう。

答えと解き方を見る

(5, 1)(5,\ 1) です。x=1×1+2×73=5x=\dfrac{1\times1+2\times7}{3}=5、y=1×5+2×(−1)3=1y=\dfrac{1\times5+2\times(-1)}{3}=1。xx と yy をべつべつに同じ式で計算します。

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よくある質問

内分とは簡単にいうと何ですか？

線分の上の点で、線分を決まった比に分けることです。AP:PB＝3:2 なら、PはABを3:2に内分しています。

外分とは何ですか？

線分をのばした先の点で、Aからのきょりと Bからのきょりの比が m:n になることです。外分点は線分の外にあります。

内分点の公式は？

数直線上のA(a)、B(b)をm:nに内分する点は (na＋mb)÷(m＋n) です。座標平面ではx座標とy座標に同じ式を使います。

外分点の公式は？

(−na＋mb)÷(m−n) です。内分の式のnを−nにおきかえたものです。m＝nのときは外分点はありません。

外分点はAとBのどちらの外にできますか？

m＞n ならBの外がわ、m＜n ならAの外がわにできます。比の大きいほうの点から遠い位置です。

内分・外分は何年生で習いますか？

高校の数学A（図形の性質）と数学Ⅱ（図形と方程式）で習います。数学Cのベクトルでもよく使います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（図形の性質）、数学Ⅱ（図形と方程式）、数学C（ベクトル）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦