重心の性質｜中線を2:1に分ける証明・面積を6等分・重心の座標とベクトル（a＋b＋c）/3【中学受験〜大学受験】

中学受験高校受験大学受験

AG:GD=2:1,\quad G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)

D は辺 BC の中点。重心は中線を頂点の側から $2:1$ に分ける

この公式のポイント

中線を頂点の側から 2:1 に分ける
6つの三角形の面積はすべて等しい（全体の $\dfrac16$ ）
座標は3頂点の平均、 $\vec{OG}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$
証明は中点連結定理＋相似

ハルちゃん

重心が中線を 2:1 に分けるって、どっちが 2 なのか、いつも迷うよ。

合格先生

頂点の側が 2 だ。中点を結ぶと、重心をはさんで相似比 2:1 の三角形ができるからだぞ。

重心の性質（3つのポイント）

三角形の頂点と、向かい合う辺のまん中（中点）を結んだ線を中線といいます。3本の中線は1点で交わり、その点を重心（G）といいます。重心は、三角形の形に切った厚紙を指1本でささえたとき、つり合う点です。

重心の性質

① 中線を 2:1 に分ける（頂点の側が 2）

AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1

② 面積を 6 等分する：重心と頂点・中点を結んでできる6つの三角形の面積は、どれも全体の $\dfrac16$ 。また $\triangle GBC=\triangle GCA=\triangle GAB=\dfrac13\triangle ABC$

③ 座標とベクトル： $A(x_1,y_1)$ 、 $B(x_2,y_2)$ 、 $C(x_3,y_3)$ のとき

G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right),\qquad \vec{OG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}

3本の中線は重心 G で交わり、どの中線も G で 2:1 に分かれる

重心をふくむ「三角形の五心」全体のまとめは三角形の五心のページにあります。このページでは、重心の性質と計算にしぼってくわしく説明します。

証明（なぜ 2:1・6等分になるのか）

① 中線が 2:1 に分かれる理由

中線 AD と BE の交点を G とします。D は BC のまん中、E は CA のまん中なので、中点連結定理から

DE と AB は平行
DE の長さは AB の半分

DE∥AB なので、 $\triangle GAB$ と $\triangle GDE$ は角がそれぞれ等しく（錯角）、相似です（ちょうちょ形の相似）。相似比は $AB:DE=2:1$ なので、 $AG:GD=2:1$ 、 $BG:GE=2:1$ 。

DE は AB と平行で長さは半分。だから △GAB と △GDE は相似比 2:1

同じように、中線 AD と CF の交点も AD を $2:1$ に分けます。AD を $2:1$ に分ける点は1つしかないので、3本の中線は同じ1点で交わります。これが重心です。

② 面積が 6 等分になる理由

「底辺が等しく、高さが同じ三角形は、面積が等しい」を使います（面積比と辺の比）。

D は BC のまん中なので、③ $\triangle GBD$ と ④ $\triangle GDC$ は底辺が等しく高さが同じ → 面積が等しい。同じように ①＝②、⑤＝⑥。
$\triangle ABD$ と $\triangle ADC$ も面積が等しい（底辺 BD＝DC）。ここから ③、④ をひくと、①＋②＝⑤＋⑥。
同じように考えると ①＋②＝③＋④ も言えるので、①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥。

重心で分けた6つの三角形は、面積がすべて等しい

①の別の見方： $\triangle GBC$ と $\triangle ABC$ は底辺 BC が共通で、高さの比が $GD:AD=1:3$ なので、 $\triangle GBC=\dfrac13\triangle ABC$ です。

③ 座標・ベクトルの式

D は BC のまん中なので $\vec{OD}=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ 。G は AD を $2:1$ に内分する点なので（内分点の公式）

\vec{OG}=\frac{1\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{OD}}{2+1}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}

成分で書けば、座標は3つの頂点の座標の平均になります。

重心の座標は、3つの頂点の座標の平均

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（面積の6等分）

三角形 ABC の面積は 48 cm² です。D は辺 BC のまん中、G は重心です。三角形 GBD の面積は何 cm² ですか。

解き方

重心で分けた6つの三角形は面積が同じなので、 $48\div6=8$ （cm²）。

答え　 $8$ cm²

中学受験

例題2（2:1 に分ける）

三角形 ABC の重心を G、辺 BC のまん中を D とします。AD の長さが 15 cm のとき、AG と GD の長さをそれぞれ求めなさい。

解き方

AG:GD＝2:1 なので、15 cm を 2:1 に分けます。 $15\div3=5$ より、AG＝ $5\times2=10$ cm、GD＝ $5$ cm。

答え　AG＝10 cm、GD＝5 cm

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題3（平行四辺形の中の重心）

平行四辺形 ABCD で、辺 BC のまん中を M とし、AM と対角線 BD の交点を P とします。BP:PD を求めなさい。

解き方

対角線 AC と BD の交点を O とすると、O は AC のまん中。△ABC で AM と BO はどちらも中線なので、P は △ABC の重心です。よって $BP:PO=2:1$ 。BO＝OD なので、BP＝2、PO＝1 とすると OD＝3、PD＝ $1+3=4$ 。 $BP:PD=2:4=1:2$ 。

答え　 $BP:PD=1:2$

大学受験（数学A・数学Ⅱ・数学C）での使い方

大学受験

例題4（座標）

3点

A(2,1)

、

B(6,3)

、

C(4,8)

を頂点とする △ABC の重心 G の座標を求めなさい。

解き方

$x=\dfrac{2+6+4}{3}=4$ 、 $y=\dfrac{1+3+8}{3}=4$ 。

答え　 $G(4,\ 4)$

大学受験

例題5（重心から頂点を逆算）

△ABC で

A(1,5)

、

B(-3,2)

で、重心が

G(0,2)

のとき、頂点 C の座標を求めなさい。

解き方

$C(x,y)$ とすると $\dfrac{1-3+x}{3}=0$ 、 $\dfrac{5+2+y}{3}=2$ 。よって $x=2$ 、 $y=-1$ 。

答え　 $C(2,\ -1)$

よくある間違い

合格先生

重心の座標は3点の平均だ。2でわるのは中点だぞ。3でわるんだ。

2:1 の向きを逆にする：長いほう（2）は頂点の側。辺の側（中点の側）が 1。
重心と内心・外心をまぜる：重心は中線の交点。角の二等分線の交点（内心）や、辺の垂直二等分線の交点（外心）とは別の点です。
座標を2でわる：重心は3点の平均なので3でわる。2でわるのは2点の中点です。

練習問題

ハルちゃん

6つの三角形は、みんな同じ面積だよ！

中学受験三角形 ABC の面積が 60 cm²、G が重心のとき、三角形 GAB の面積は何 cm² ですか。
答えと解説を見る
△GAB は6つの小さな三角形の2つ分なので、 $60\div6\times2=20$ 。答え $20$ cm²
高校受験 △ABC の重心を G、辺 BC の中点を D とします。GD＝3 cm のとき、中線 AD の長さは？
答えと解説を見る
AG:GD＝2:1 なので AG＝6 cm、AD＝ $6+3=9$ cm。答え $9$ cm
大学受験 3点 $A(3,-1)$ 、 $B(-1,4)$ 、 $C(4,0)$ を頂点とする三角形の重心の座標は？
答えと解説を見る
$\left(\dfrac{3-1+4}{3},\ \dfrac{-1+4+0}{3}\right)=(2,\ 1)$

よくある質問

三角形の重心とは何ですか？

三角形の3本の中線（頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ線）が交わる点です。三角形の形の板をささえてつり合う点でもあります。

重心が中線を2:1に分けるのはなぜですか？

2辺の中点を結ぶ線が残りの辺と平行で長さが半分（中点連結定理）なので、重心をはさむ2つの三角形が相似比2:1になるからです。

重心で三角形の面積が6等分されるのはなぜですか？

底辺が等しく高さが同じ三角形どうしを組にして比べると、6つの三角形の面積がすべて等しいことが分かります。

重心の座標の求め方は？

3つの頂点の x 座標の平均、y 座標の平均が重心の座標です。ベクトルでは OG=(a+b+c)/3 です。