中線定理とは？意味と証明をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

やさしく言うと

中線定理は、三角形の「まん中を通る線」の長さを、3 つの辺の長さだけで求められる定理です。三角形 $ABC$ で、辺 $BC$ のまん中の点（中点）を $M$ とします。頂点 $A$ と $M$ を結ぶ線 $AM$ を中線といいます。このとき、

$$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$$

が成り立ちます。いくつかの見方で考えてみましょう。

• 三角定規のような二等辺三角形なら、三平方の定理そのもの：二等辺三角形では中線がちょうど真下に下りて、直角ができます。左右の直角三角形で三平方の定理を使い、2 つをたすと中線定理になります。
• 形がくずれても、式はくずれない：頂点 $A$ を左右にずらすと、$AB$ と $AC$ の片方が長く、片方が短くなります。でも 2 乗の和はうまくつり合っていて、$AM$ と $BM$ だけで決まります。
• 平行四辺形の対角線：中線を 2 倍にのばすと平行四辺形ができます。中線定理は「平行四辺形の対角線の 2 乗の和は、4 辺の 2 乗の和に等しい」という性質の、半分の形です。

まとめると、中線定理は「2 辺の 2 乗の和」を「中線と底辺の半分」で表す式です。

中線定理が使える例・使えない例

中線定理は、「中点」と結ぶ線だけに使える式です。$M$ がまん中でないときは形が変わります。また、$AB^2+AC^2$ のように中線をはさむ 2 辺が左辺に来ることも大切です。

図で見る

まず、いちばんわかりやすい二等辺三角形で見てみましょう。$AB=AC=5$、$BC=6$ の二等辺三角形では、中線 $AM$ は $BC$ に垂直です。左右の直角三角形で三平方の定理が成り立ちます。

$5^2=4^2+3^2$ を 2 つたすと、$5^2+5^2=2(4^2+3^2)$。これは $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$ そのものです。中線定理は、三平方の定理を、直角でない三角形に広げたものと見ることができます。

次の図のように、中点 $M$ を原点にとり、$B(-a,\ 0)$、$C(a,\ 0)$、$A(p,\ q)$ とおきます。

$AB^2=(p+a)^2+q^2=p^2+2pa+a^2+q^2$、$AC^2=(p-a)^2+q^2=p^2-2pa+a^2+q^2$ です。たすと $\pm2pa$ が打ち消し合って、$2(p^2+q^2)+2a^2$ になります。$AM^2=p^2+q^2$、$BM^2=a^2$ なので、$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$ です。$A$ がどこにあっても成り立つことがわかります。

余弦定理から導く

高校の教科書では、余弦定理を使って導く方法もよく紹介されます。$\angle B$ に注目して、2 つの三角形で余弦定理を使います。

1. $\triangle ABM$ で：$AM^2=AB^2+BM^2-2\cdot AB\cdot BM\cos B$
2. $\triangle ABC$ で（$BC=2BM$）：$AC^2=AB^2+4BM^2-4\cdot AB\cdot BM\cos B$
3. ①を 2 倍して②を引くと、$\cos B$ の項が消えて $2AM^2-AC^2=AB^2-2BM^2$。
4. 整理すると $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$。

この式を $AM$ について解くと、中線の長さの公式になります。辺の長さを $BC=a$、$CA=b$、$AB=c$ とすると、

$$AM^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$$

図1の三角形なら $\dfrac{2\cdot49+2\cdot25-36}{4}=\dfrac{112}{4}=28$ で、$AM=2\sqrt7$ です。

平行四辺形との関係

中線 $AM$ を、$M$ の先へ同じ長さだけのばした点を $D$ とします。すると $M$ は $AD$ と $BC$ の両方の中点になるので、四角形 $ABDC$ は平行四辺形です（対角線がたがいに他を 2 等分する）。

中線定理の両辺を 2 倍すると、$2(AB^2+AC^2)=4AM^2+4BM^2=AD^2+BC^2$。つまり、

$$AB^2+BD^2+DC^2+CA^2=AD^2+BC^2$$

「平行四辺形の 4 辺の 2 乗の和は、2 本の対角線の 2 乗の和に等しい」という性質（中線定理と同じ内容）が出てきます。長方形なら 2 本の対角線は等しく、三平方の定理と一致します。

テスト・入試ではこう出る

中線定理は、三角比（余弦定理）を学んだあとに、中線の長さを求める問題としてよく出ます。公式として覚えるだけでなく、余弦定理・座標・ベクトルのどれかで導けることが大切です。大学入試では、ベクトルの内積を使った証明や、平行四辺形の対角線と組み合わせた問題も見られます。

まちがえやすい点

• $BM$ に $BC$ を入れる：$BC=6$ のとき、式に入れるのは $BM=3$ です。$5^2+7^2=2(AM^2+6^2)$ とすると $AM^2=1$ になり、ありえない小ささになります。
• 右辺の 2 を忘れる：$AB^2+AC^2=AM^2+BM^2$ は×。右辺は $2(AM^2+BM^2)$ です。二等辺三角形で $50=2\times25$ と確かめると、2 が必要なことがわかります。
• どの 2 辺をたすか取りちがえる：$BC$ の中点への中線 $AM$ なら、左辺は $AB^2+AC^2$（$A$ から出る 2 辺）です。$AB^2+BC^2$ ではありません。
• 重心と混同する：3 本の中線は 1 点（重心 $G$）で交わり、$AG:GM=2:1$ です。$AG$ を求めたいときは、中線定理で $AM$ を出してから $\dfrac23$ 倍します。
• 中線の長さを「$BC$ の半分」と思う：$AM=BM$ になるのは $\angle A=90^\circ$ のときだけです。ふつうは $AM\ne BM$ です。

ことばの意味

中線は、三角形の頂点と、向かい合う辺の中点を結ぶ線分のことです。三角形には中線が 3 本あります。中線定理は、その中線の長さについての定理なので、この名前でよばれます。「パップスの中線定理」とよばれることもあります。英語では Apollonius's theorem とよばれることが多く、呼び名にはゆれがあります。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 中線定理（パップスの中線定理）
• 正弦定理・余弦定理
• 三平方の定理
• 重心の性質（中線を2:1に分ける）
• スチュワートの定理

あわせて覚えたい用語

• 三平方の定理
• 正弦定理・余弦定理
• 中点

よくある質問