中線定理 AB²＋AC²＝2(AM²＋BM²)｜三平方・座標・余弦定理の3通りの証明と中線の長さ・平行四辺形の対角線【高校受験・大学受験】

うかるくん

中線定理の右辺って、BC の2乗だっけ？それとも半分？

合格先生

入るのは半分の $BM$ の2乗だ。中点 M を原点に置くと、すぐに確かめられるぞ。

中線定理（パップスの中線定理）

中線とは、頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ線分です。3本の中線が交わる点（重心）の性質は重心の性質のページ、中点を使ったもう1つの有名な定理は中点連結定理のページを見てください。

証明（3通り）

方法1：三平方の定理（中学生でもできる）

A から BC に垂線 AH をおろし、$AH=h$、$MH=x$、$BM=CM=p$ とします（H が M と C の間にある図の場合）。三平方の定理より

はじめの2つをたすと $2h^2+2x^2+2p^2=2(h^2+x^2)+2p^2=2(AM^2+BM^2)$。（H がほかの位置にあっても、$x$ を符号つきで考えれば同じ式です。）

方法2：座標（数学Ⅱ）

M を原点、BC を $x$ 軸にとり、$B(-p,0)$、$C(p,0)$、$A(x,y)$ とおくと

座標の置き方をくふうすると、計算がとても簡単になる例です。

方法3：余弦定理（数学Ⅰ）

$\angle AMB=\theta$ とすると $\angle AMC=180^\circ-\theta$。余弦定理で $AB^2=AM^2+p^2-2\,AM\cdot p\cos\theta$、$AC^2=AM^2+p^2+2\,AM\cdot p\cos\theta$。たすと $\cos\theta$ が消えて定理が出ます。この考え方を一般の点 D に広げたものがスチュワートの定理です。

平行四辺形への応用

平行四辺形 ABCD の対角線の交点 O は、BD の中点です。△ABD で中線 AO に中線定理を使うと $AB^2+AD^2=2(AO^2+BO^2)$。$AC=2AO$、$BD=2BO$ なので、両辺を2倍して $2(AB^2+AD^2)=AC^2+BD^2$。

高校受験（中学数学）での使い方

中学の教科書には「中線定理」という名前は出てきませんが、方法1のように垂線をおろして三平方の定理を2回使う問題として出題されます。答えの検算に中線定理を知っておくと便利です。

大学受験（数学Ⅰ・数学Ⅱ）での使い方

よくある間違い

合格先生

右辺の2倍を忘れるな。$2(AM^2+BM^2)$ だぞ。

• 2倍を忘れる：右辺は $2(AM^2+BM^2)$。$AM^2+BM^2$ だけにしないこと。
• BM と BC をまちがえる：右辺に入るのは辺の半分 $BM=\dfrac{BC}{2}$ の2乗です。
• 平行四辺形で「4辺」を2辺にする：$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AB^2+AD^2)$。

練習問題

サクラちゃん

平行四辺形の対角線にも使えるよ！

1. 高校受験 $AB=4$、$AC=5$、$BC=6$ の △ABC で、辺 BC の中点を M とするとき、AM の長さは？
   答えと解説を見る

   $16+25=2(AM^2+9)$ より $AM^2=\dfrac{41}{2}-9=\dfrac{23}{2}$。答え $AM=\dfrac{\sqrt{46}}{2}$
2. 大学受験 2辺が 3、4 の平行四辺形で、1本の対角線の長さが 6 のとき、もう1本の対角線の長さは？
   答えと解説を見る

   $2(9+16)=50$ より、もう1本の2乗は $50-36=14$。答え $\sqrt{14}$
3. 大学受験 2点 $A(0,0)$、$B(4,0)$ に対して $PA^2+PB^2=26$ をみたす点 P の軌跡は？
   答えと解説を見る

   AB の中点 $(2,0)$ を N とすると $2(PN^2+4)=26$、$PN^2=9$。答え 円 $(x-2)^2+y^2=9$

関連する公式

• スチュワートの定理（中線定理を一般化）
• 三平方の定理
• 正弦定理・余弦定理
• 重心の性質
• 中点連結定理
• 円の方程式

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）