スチュワートの定理 b²m＋c²n＝a(d²＋mn)｜余弦定理での証明・中線定理と角の二等分線の長さ AD²＝bc−mn【大学受験・発展】

スチュワートの定理 b²m＋c²n＝a(d²＋mn)｜余弦定理での証明・中線定理と角の二等分線の長さ AD²＝bc−mn【大学受験・発展】

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大学受験

b2m+c2n=a(d2+mn)b^2m+c^2n=a\left(d^2+mn\right)

AB=cAB=c、AC=bAC=b、BC=a=m+nBC=a=m+n、BD=mBD=m、DC=nDC=n、AD=dAD=d

この公式のポイント

  • b2m+c2n=a(d2+mn)b^2m+c^2n=a(d^2+mn)：辺の2乗に向かいの切れ端をかける
  • 証明は余弦定理を2回、cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta で消す
  • 中線なら中線定理
  • 角の二等分線なら AD2=bc−mnAD^2=bc-mn
うかるくん

うかるくん

b2m+c2nb^2m+c^2n の、mm と nn のかけ方がいつも逆になっちゃうよ。

合格先生

合格先生

bb は C の側の辺だから、反対の B の側の mm をかける。余弦定理2回で cos を消して出る式だ。

スチュワートの定理

△ABC の辺 BC 上の点 D と、A を結ぶ線分 AD の長さ

AB=cAB=c、AC=bAC=b、BC=aBC=a、BD=mBD=m、DC=nDC=n（m+n=am+n=a）、AD=dAD=d のとき

b2m+c2n=a(d2+mn)b^2m+c^2n=a\left(d^2+mn\right)

中線（m=n=a2m=n=\dfrac a2）なら 中線定理 b2+c2=2(d2+(a2)2)b^2+c^2=2\left(d^2+\left(\dfrac a2\right)^2\right)

角 A の二等分線なら d2=bc−mnd^2=bc-mn

ABCDcbmndb²m＋c²n＝a(d²＋mn)a＝BC＝m＋n
BC 上の点 D で分けた長さ m・n と、2辺 b・c から AD＝d が求まる

覚え方：bb（AC）は C の側の辺なので、反対の B の側の長さ mm をかけます。「辺の2乗に、向かいの切れ端をかける」と覚えましょう。英語圏では、式を a(mn+d2)=b2m+c2na(mn+d^2)=b^2m+c^2n と書いて「man＋dad＝bmb＋cnc」という覚え方が知られています。

証明（余弦定理を2回）

∠ADB=θ\angle ADB=\theta とすると、B・D・C は一直線なので ∠ADC=180∘−θ\angle ADC=180^\circ-\theta、cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta。2つの三角形で余弦定理を使います。

△ABD: c2=m2+d2−2mdcos⁡θ\triangle ABD:\ c^2=m^2+d^2-2md\cos\theta △ACD: b2=n2+d2+2ndcos⁡θ\triangle ACD:\ b^2=n^2+d^2+2nd\cos\theta

cos⁡θ\cos\theta を消すため、上の式を nn 倍、下の式を mm 倍してたします。

c2n+b2m=m2n+mn2+(m+n)d2=(m+n)(mn+d2)c^2n+b^2m=m^2n+mn^2+(m+n)d^2=(m+n)(mn+d^2)

m+n=am+n=a なので b2m+c2n=a(d2+mn)b^2m+c^2n=a(d^2+mn)。（D が B・C に一致する場合は、式の両辺が同じになり、そのまま成り立ちます。）

θ180°−θABCD△ABD：c²＝m²＋d²−2md cosθ△ACD：b²＝n²＋d²＋2nd cosθ上を n 倍、下を m 倍してたす
∠ADB と ∠ADC はたして 180°。cos の符号が逆になるので、うまく消せる

特別な場合①：中線定理

D が BC の中点なら m=n=a2m=n=\dfrac a2。代入して両辺を a2\dfrac a2 でわると b2+c2=2(d2+a24)b^2+c^2=2\left(d^2+\dfrac{a^2}{4}\right)。これは中線定理（パップスの中線定理）です。

特別な場合②：角の二等分線の長さ

AD が ∠A の二等分線なら、角の二等分線と辺の比より m:n=c:bm:n=c:b、つまり m=acb+cm=\dfrac{ac}{b+c}、n=abb+cn=\dfrac{ab}{b+c}。左辺は

b2⋅acb+c+c2⋅abb+c=abc(b+c)b+c=abcb^2\cdot\frac{ac}{b+c}+c^2\cdot\frac{ab}{b+c}=\frac{abc(b+c)}{b+c}=abc

なので abc=a(d2+mn)abc=a(d^2+mn)、よって d2=bc−mnd^2=bc-mn。

ABCD6432角の二等分線ならAD²＝bc−mn＝6×4−3×2＝18AD＝3√2
角の二等分線の長さは AD²＝bc−mn で一発

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

大学受験

例題1（基本）

AB=5AB=5、AC=7AC=7、BC=8BC=8 の △ABC で、辺 BC 上に BD=3BD=3 となる点 D をとります。AD の長さを求めなさい。

解き方

b=7b=7、c=5c=5、m=3m=3、n=5n=5、a=8a=8。49⋅3+25⋅5=8(d2+15)49\cdot3+25\cdot5=8(d^2+15) より 272=8d2+120272=8d^2+120、d2=19d^2=19。

答え　AD=19AD=\sqrt{19}

大学受験

例題2（角の二等分線）

AB=6AB=6、AC=4AC=4、BC=5BC=5 の △ABC で、∠A の二等分線と BC の交点を D とします。AD の長さを求めなさい。

解き方

BD:DC=6:4=3:2BD:DC=6:4=3:2 より BD=3BD=3、DC=2DC=2。AD2=bc−mn=4⋅6−3⋅2=18AD^2=bc-mn=4\cdot6-3\cdot2=18。（スチュワートの定理でも 16⋅3+36⋅2=5(d2+6)16\cdot3+36\cdot2=5(d^2+6) から d2=18d^2=18）

答え　AD=32AD=3\sqrt2

大学受験

例題3（正三角形）

1辺が 6 の正三角形 ABC で、辺 BC 上に BD=2BD=2 となる点 D をとります。AD の長さを求めなさい。

解き方

36⋅2+36⋅4=6(d2+8)36\cdot2+36\cdot4=6(d^2+8) より 216=6d2+48216=6d^2+48、d2=28d^2=28。（座標で A(3,33)A(3,3\sqrt3)、D(2,0)D(2,0) としても 1+27=281+27=28）

答え　AD=27AD=2\sqrt7

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

教科書での位置：スチュワートの定理は、高校の教科書で公式として習う内容ではありません（発展）。ただし証明は数学Ⅰの余弦定理を2回使うだけなので、高校生が自分で導けます。特別な場合の中線定理は、教科書でも扱われます。

入試での使い方：

  • 記述式の答案では、定理の名前だけで使うより、「∠ADB=θ\angle ADB=\theta として余弦定理を2つ書き、cos⁡θ\cos\theta を消す」流れを書くのが安全です。数行で書けます。
  • 答えの見当づけ・検算には、とても便利です。特に角の二等分線の長さ d2=bc−mnd^2=bc-mn は計算が一瞬です。
  • A から BC に垂線をおろし、三平方の定理を2回使う方法でも同じ式が出ます。座標を置く方法（B を原点、BC を xx 軸）でも確かめられます。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

右辺は ad2ad^2 だけではないぞ。a(d2+mn)a(d^2+mn) と mnmn を忘れずにな。

  • かける長さを逆にする：b2b^2（AC の2乗）にかけるのは mm（BD、B の側の長さ）。b2nb^2n としてしまうミスが多いので、中線（m=nm=n）以外で必ず確かめましょう。
  • 右辺の mnmn を忘れる：右辺は a d2a\,d^2 だけでなく a(d2+mn)a(d^2+mn)。
  • 二等分線の比を逆にする：BD:DC=AB:AC=c:bBD:DC=AB:AC=c:b。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

角の二等分線なら AD2=bc−mnAD^2=bc-mn で一発だね！

  1. 大学受験 AB=4AB=4、AC=6AC=6、BC=5BC=5 の △ABC で、辺 BC 上に BD=1BD=1 となる点 D をとるとき、AD の長さは？
    答えと解説を見る36⋅1+16⋅4=5(d2+4)36\cdot1+16\cdot4=5(d^2+4) より 100=5d2+20100=5d^2+20、d2=16d^2=16。答え AD=4AD=4
  2. 大学受験 AB=8AB=8、AC=6AC=6、BC=7BC=7 の △ABC で、∠A の二等分線と BC の交点を D とするとき、AD の長さは？
    答えと解説を見るBD:DC=8:6=4:3BD:DC=8:6=4:3 より BD=4BD=4、DC=3DC=3。AD2=6⋅8−4⋅3=36AD^2=6\cdot8-4\cdot3=36。答え AD=6AD=6
  3. 大学受験 AB=AC=5AB=AC=5、BC=6BC=6 の二等辺三角形 ABC で、辺 BC 上に BD=1BD=1 となる点 D をとるとき、AD の長さは？
    答えと解説を見る25⋅1+25⋅5=6(d2+5)25\cdot1+25\cdot5=6(d^2+5) より 150=6d2+30150=6d^2+30、d2=20d^2=20。答え AD=25AD=2\sqrt5

関連する公式

この公式に出てくる用語（数学用語辞典）

よくある質問

スチュワートの定理とは？

三角形 ABC の辺 BC 上の点 D について、b²m+c²n=a(d²+mn) が成り立つという定理です（AB=c、AC=b、BC=a、BD=m、DC=n、AD=d）。

スチュワートの定理の証明は？

∠ADB=θ とし、△ABD と △ACD で余弦定理を使います。∠ADC=180°−θ なので cos の符号が逆になり、うまく組み合わせると cos が消えて定理が出ます。

角の二等分線の長さの公式は？

∠A の二等分線 AD について AD²=bc−mn（BD=m、DC=n）です。スチュワートの定理に m:n=c:b を入れると導けます。

スチュワートの定理は入試で使ってよいですか？

教科書の公式ではないので、記述式では余弦定理を2回使う短い証明を書いてから使うのが安全です。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅰ（図形と計量）
  • 高校の範囲外の発展内容（初等幾何）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦