合格大作戦 数学用語辞典 › 図形
大学受験
正弦定理・余弦定理とは
三角形の辺と角の関係を表す 2 つの定理 です。正弦定理は a sin A = b sin B = c sin C = 2 R \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R sin A a = sin B b = sin C c = 2 R R R R a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A a^2=b^2+c^2-2bc\cos A a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A
読み方：せいげんていり・よげんていり／英語：law of sines / law of cosines／習う学年：数学Ⅰ（図形と計量）
サクラちゃん
正弦定理と余弦定理、どっちを使えばいいのか、いつも迷います…
合格先生
何がわかっているか で決めるんだ。「1 辺と 2 角」なら正弦定理、「2 辺と間の角」や「3 辺」なら余弦定理。三角形の合同条件と同じ分け方だよ。
この用語のポイント
正弦定理：a sin A = b sin B = c sin C = 2 R \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R sin A a = sin B b = sin C c = 2 R 向かい合う 辺と角が組） 余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A a^2=b^2+c^2-2bc\cos A a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A A = 9 0 ∘ A=90^\circ A = 9 0 ∘ 三平方の定理 角が 2 つ わかれば正弦、2 辺と間の角・3 辺 なら余弦このページの内容
やさしく言うと どちらを使うか（例） 図で見る 余弦定理の導き方 テスト・入試ではこう出る まちがえやすい点 ことばの由来 ミニ問題 関連する公式・用語 よくある質問 やさしく言うと 正弦定理と余弦定理は、三角形の辺と角の関係を表す 2 つの定理 です。三角形の一部がわかれば、残りの辺や角を計算で求められます。
正弦定理は「大きい角の向かいには長い辺」を、正確な比にしたもの ：三角形では、大きい角の向かいの辺ほど長くなります。正弦定理は、その長さが角の sin に比例する ことを表します。余弦定理は「三平方の定理の、直角でない版」 ：腕を開くコンパスを思いうかべてください。2 本の脚の長さはそのままでも、開く角が大きいほど先たんどうしははなれます。そのきょりを計算する式が余弦定理です。川の向こうまで行かずに、きょりを測る ：こちら側の 2 点のきょりと、そこから見た角度がわかれば、向こう岸の木までのきょりが計算できます。昔から測量に使われてきた考え方です。まとめると、正弦定理は「辺と向かいの角の sin の比」、余弦定理は「2 辺とその間の角から残りの辺」 を表す式です。
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\qquad a^2=b^2+c^2-2bc\cos A sin A a = sin B b = sin C c = 2 R a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A ここで R R R a a a A A A
A
B
C
a
b
c
角 A ⇔ 辺 a（BC）
角 B ⇔ 辺 b（CA）
角 C ⇔ 辺 c（AB）
同じ色どうしが「向かい合う」角と辺
辺 a は角 A の向かい。角と辺は「同じ文字どうし」が向かい合う どちらを使うか（例） ○ 正しい使い分け
1 辺と 2 つの角がわかる → 正弦定理で残りの辺 2 辺とその間の角がわかる → 余弦定理で残りの辺 3 辺がわかる → 余弦定理で角（cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c \cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 1 辺と向かいの角がわかる → 正弦定理で外接円の半径 2 辺と、片方の向かいの角がわかる → 正弦定理で角（答えが 2 つのこともある） A = 9 0 ∘ A=90^\circ A = 9 0 ∘ a 2 = b 2 + c 2 a^2=b^2+c^2 a 2 = b 2 + c 2 × できない・まちがった使い方
2 辺だけで残りの辺を出す（角が 1 つ必要） 3 つの角だけで辺の長さを出す（形は決まるが大きさが決まらない） a a a sin B \sin B sin B a a a sin A \sin A sin A 余弦定理の − 2 b c cos A -2bc\cos A − 2 b c cos A + + + a sin A = R \dfrac{a}{\sin A}=R sin A a = R 2 R 2R 2 R 三角形の形と大きさが決まる条件（中学で習う合同条件）と、ちょうど対応しています。「3 辺」「2 辺とその間の角」なら余弦定理、「1 辺とその両はしの角」なら正弦定理です。
図で見る 正弦定理 がなぜ成り立つかを、外接円で見てみましょう。B B B A ′ A' A ′
O
A
B
C
A′
a
2R
BA′ は直径
→ ∠BCA′＝90°
円周角の定理
→ ∠A′＝∠A
a＝2R sin A
直径 BA′ に対する円周角は 90°。∠A′＝∠A なので a＝2R sin A B A ′ BA' B A ′ ∠ B C A ′ = 9 0 ∘ \angle BCA'=90^\circ ∠ BC A ′ = 9 0 ∘ B C BC BC 円周角 なので ∠ A ′ = ∠ A \angle A'=\angle A ∠ A ′ = ∠ A A ′ B C A'BC A ′ BC sin A ′ = B C B A ′ \sin A'=\dfrac{BC}{BA'} sin A ′ = B A ′ BC a = 2 R sin A a=2R\sin A a = 2 R sin A b b b c c c A A A
次に余弦定理 です。2 辺の長さを 3 と 5 に決めて、その間の角を開いていきます。
2 辺 3 と 5 はそのまま、間の角を開く
赤い辺 a の長さを余弦定理で計算
A 5 A ＝ 60° a ＝ √19 （約4.36） A 5 A ＝ 90° a ＝ √34 （約5.83） A 5 A ＝ 120° a ＝ 7 （ちょうど7）
同じ 2 辺でも、間の角が大きいほど向かいの辺は長い A = 9 0 ∘ A=90^\circ A = 9 0 ∘ cos 9 0 ∘ = 0 \cos90^\circ=0 cos 9 0 ∘ = 0 a 2 = 9 + 25 = 34 a^2=9+25=34 a 2 = 9 + 25 = 34 A A A 9 0 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ cos A > 0 \cos A>0 cos A > 0 34 34 34 小さく 、大きいと cos A < 0 \cos A<0 cos A < 0 34 34 34 大きく なります。− 2 b c cos A -2bc\cos A − 2 b c cos A 直角からのずれを直す「補正の項」 です。
うかるくん
12 0 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ − 2 b c cos A -2bc\cos A − 2 b c cos A
合格先生
cos 12 0 ∘ = − 1 2 \cos120^\circ=-\dfrac12 cos 12 0 ∘ = − 2 1 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ( − 1 2 ) = + 15 -2\cdot3\cdot5\cdot\left(-\dfrac12\right)=+15 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ( − 2 1 ) = + 15 a 2 = 9 + 25 + 15 = 49 a^2=9+25+15=49 a 2 = 9 + 25 + 15 = 49 a = 7 a=7 a = 7 鈍角なら補正はプラス 、と覚えておこう。
余弦定理の導き方 A A A A B AB A B x x x B ( c , 0 ) B(c,\ 0) B ( c , 0 ) C ( b cos A , b sin A ) C(b\cos A,\ b\sin A) C ( b cos A , b sin A ) B C 2 BC^2 B C 2
a 2 = ( b cos A − c ) 2 + ( b sin A ) 2 = b 2 ( cos 2 A + sin 2 A ) − 2 b c cos A + c 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A a^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2=b^2(\cos^2A+\sin^2A)-2bc\cos A+c^2=b^2+c^2-2bc\cos A a 2 = ( b cos A − c ) 2 + ( b sin A ) 2 = b 2 ( cos 2 A + sin 2 A ) − 2 b c cos A + c 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A sin 2 A + cos 2 A = 1 \sin^2A+\cos^2A=1 sin 2 A + cos 2 A = 1 A A A
サクラちゃん
わかっているのが「角が 2 つ」なら正弦、「辺が 2 つ以上と間の角」なら余弦、ね！
テスト・入試ではこう出る 正弦定理・余弦定理は、高校の数学Ⅰ「図形と計量」の中心です。三角形の残りの辺や角を求める問題、外接円の半径を求める問題、三角形の面積 S = 1 2 b c sin A S=\dfrac12bc\sin A S = 2 1 b c sin A
例題1（正弦定理：測量）
川岸の 2 点 A A A B B B 100 100 100 C C C ∠ C A B = 7 5 ∘ \angle CAB=75^\circ ∠ C A B = 7 5 ∘ ∠ C B A = 4 5 ∘ \angle CBA=45^\circ ∠ CB A = 4 5 ∘ A A A C C C
C = 18 0 ∘ − 7 5 ∘ − 4 5 ∘ = 6 0 ∘ C=180^\circ-75^\circ-45^\circ=60^\circ C = 18 0 ∘ − 7 5 ∘ − 4 5 ∘ = 6 0 ∘ A C AC A C B B B b b b A B = 100 AB=100 A B = 100 C C C c c c 正弦定理 b sin B = c sin C \dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} sin B b = sin C c b = 100 sin 4 5 ∘ sin 6 0 ∘ = 100 ⋅ 2 2 3 2 = 100 2 3 = 100 6 3 b=\dfrac{100\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=\dfrac{100\cdot\frac{\sqrt2}2}{\frac{\sqrt3}2}=\dfrac{100\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{100\sqrt6}{3} b = sin 6 0 ∘ 100 sin 4 5 ∘ = 2 3 100 ⋅ 2 2 = 3 100 2 = 3 100 6 答え 100 6 3 \dfrac{100\sqrt6}{3} 3 100 6
川
C（木）
A
B
100 m
75°
45°
60°
?
AC ＝ 100 × sin45° ÷ sin60°
≒ 81.6 m
1 辺と 2 角がわかれば、正弦定理で向こう岸までのきょりがわかる 例題2（余弦定理：3 辺から角）
3 辺の長さが 3 3 3 5 5 5 7 7 7
いちばん大きい角は、いちばん長い辺 7 7 7 A A A a = 7 a=7 a = 7 b = 3 b=3 b = 3 c = 5 c=5 c = 5 余弦定理を cos A \cos A cos A cos A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c = 9 + 25 − 49 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = − 15 30 = − 1 2 \cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{9+25-49}{2\cdot3\cdot5}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac12 cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 9 + 25 − 49 = 30 − 15 = − 2 1 0 ∘ < A < 18 0 ∘ 0^\circ<A<180^\circ 0 ∘ < A < 18 0 ∘ cos A = − 1 2 \cos A=-\dfrac12 cos A = − 2 1 A = 12 0 ∘ A=120^\circ A = 12 0 ∘ 答え 12 0 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ cos A < 0 \cos A<0 cos A < 0
まちがえやすい点 合格先生
正弦定理は向かい合う 辺と角が組！ a sin A \dfrac{a}{\sin A} sin A a 直径 2 R 2R 2 R だよ。
角と辺の組をまちがえる ：正弦定理で組になるのは「a a a sin A \sin A sin A 向かい合う 辺と角です。辺 a a a B B B 2 R 2R 2 R R R R a sin A \dfrac{a}{\sin A} sin A a 直径 2 R 2R 2 R − 2 b c cos A -2bc\cos A − 2 b c cos A − 2 b c cos A -2bc\cos A − 2 b c cos A cos A \cos A cos A sin から角を 1 つだけ答える ：sin B = 1 2 \sin B=\dfrac12 sin B = 2 1 B = 3 0 ∘ B=30^\circ B = 3 0 ∘ 15 0 ∘ 150^\circ 15 0 ∘ 18 0 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ cos から角を求めるのに sin を使う ：3 辺から角を求めるなら、cos \cos cos 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 18 0 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ cos \cos cos ことばの由来 正弦 は sin（サイン）、余弦 は cos（コサイン）の日本語名です。それぞれの値を使った定理なので、正弦定理・余弦定理とよびます。余弦の「余」は余角 （たして 9 0 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ cos θ = sin ( 9 0 ∘ − θ ) \cos\theta=\sin(90^\circ-\theta) cos θ = sin ( 9 0 ∘ − θ )
ミニ問題 問題1 △ A B C \triangle ABC △ A BC A = 3 0 ∘ A=30^\circ A = 3 0 ∘ a = 4 a=4 a = 4 R R R
答えと解き方を見る R = 4 R=4 R = 4 2 R = a sin A = 4 1 2 = 8 2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{4}{\frac12}=8 2 R = sin A a = 2 1 4 = 8 2 R = 8 2R=8 2 R = 8 R = 4 R=4 R = 4 R = 8 R=8 R = 8
問題2 △ A B C \triangle ABC △ A BC b = 2 b=2 b = 2 c = 3 c=3 c = 3 A = 6 0 ∘ A=60^\circ A = 6 0 ∘ a a a
答えと解き方を見る a = 7 a=\sqrt7 a = 7 a 2 = 2 2 + 3 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 cos 6 0 ∘ = 4 + 9 − 6 = 7 a^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos60^\circ=4+9-6=7 a 2 = 2 2 + 3 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 cos 6 0 ∘ = 4 + 9 − 6 = 7 a > 0 a>0 a > 0 a = 7 a=\sqrt7 a = 7
問題3 △ A B C \triangle ABC △ A BC a = 2 a=\sqrt2 a = 2 b = 3 b=\sqrt3 b = 3 A = 4 5 ∘ A=45^\circ A = 4 5 ∘ B B B
答えと解き方を見る B = 6 0 ∘ B=60^\circ B = 6 0 ∘ B = 12 0 ∘ B=120^\circ B = 12 0 ∘
正弦定理より sin B = b sin A a = 3 ⋅ 2 2 2 = 3 2 \sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{\sqrt3\cdot\frac{\sqrt2}2}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}2 sin B = a b sin A = 2 3 ⋅ 2 2 = 2 3 0 ∘ < B < 18 0 ∘ 0^\circ<B<180^\circ 0 ∘ < B < 18 0 ∘ sin B = 3 2 \sin B=\dfrac{\sqrt3}2 sin B = 2 3 6 0 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 12 0 ∘ 120^\circ 12 0 ∘ どちらも A + B < 18 0 ∘ A+B<180^\circ A + B < 18 0 ∘ 4 5 ∘ + 12 0 ∘ = 16 5 ∘ 45^\circ+120^\circ=165^\circ 4 5 ∘ + 12 0 ∘ = 16 5 ∘ サインから角を求めるときは、鋭角と鈍角の 2 つの候補 を必ず考えます。
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あわせて覚えたい用語
よくある質問 正弦定理とは簡単にいうと何ですか？ 三角形の辺の長さが、向かい合う角の sin に比例するという定理です。a÷sinA ＝ b÷sinB ＝ c÷sinC ＝ 2R（Rは外接円の半径）と表します。
余弦定理とは簡単にいうと何ですか？ 2辺とその間の角から、残りの辺の長さを求める定理です。a² ＝ b² ＋ c² − 2bc cosA と表し、Aが90°なら三平方の定理になります。
正弦定理と余弦定理の使い分けは？ 1辺と2つの角がわかるときは正弦定理、2辺とその間の角や3辺がわかるときは余弦定理を使います。
正弦定理で角を求めると答えが2つになるのはなぜですか？ sinの値が同じになる角は、0°から180°の間に鋭角と鈍角の2つあるからです。角の和が180°をこえないかを確かめて答えます。
余弦定理で角を求めるにはどうしますか？ cosA ＝ (b² ＋ c² − a²) ÷ 2bc の形に直して cosA を求めます。cosの値から、0°から180°の間で角が1つに決まります。
正弦定理・余弦定理は何年生で習いますか？ 高校の数学Ⅰ「図形と計量」で習います。
出典・参考
文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（図形と計量） 最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
