三平方の定理とは？意味と由来をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

三平方の定理とは？意味と由来をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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三平方の定理とは

直角三角形で、直角をはさむ2辺を a, ba,\ b、斜辺（いちばん長い辺）を cc とすると、a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 が成り立つという定理です。3辺の「平方（2乗）」の関係なので三平方の定理といい、世界ではピタゴラスの定理と呼ばれます。

読み方：さんへいほうのていり／英語：Pythagorean theorem／習う学年：中学3年

うかるくん

うかるくん

「三平方」って、何が3つなんですか？

合格先生

合格先生

3つの辺の平方（2乗）のことだよ。各辺に正方形をかくと、小さい2つの正方形の面積の和が、大きい正方形の面積と等しくなるんだ。

この用語のポイント

  • 直角三角形で a2+b2=c2a^2+b^2=c^2（cc は斜辺＝直角の向かい側）
  • 「三平方」は3辺の平方（2乗）の関係という意味。世界ではピタゴラスの定理
  • 逆も成り立つ：a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 なら直角三角形（3, 4, 5 など）

やさしく言うと

直角三角形の3つの辺に、それぞれ正方形をくっつけてみます。すると、短い2辺の正方形の面積をたすと、いちばん長い辺（斜辺）の正方形の面積にぴったり等しくなるのです。これが三平方の定理です。

9 16 25 1辺3 1辺4 1辺5 9 ＋ 16 ＝ 25 3² ＋ 4² ＝ 5² 短い2辺の正方形を 合わせた面積が、 斜辺の正方形の面積 にぴったり等しい
3・4・5の直角三角形。32+42=523^2+4^2=5^2（9＋16＝25）

「平方」は「2乗」のことです。3つの辺の平方（2乗）の関係を表すので「三平方」の定理といいます。式で書くと、直角をはさむ2辺を a, ba,\ b、斜辺を cc として

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

です。2辺がわかれば、残りの1辺を計算で求められます。身近なところでも使われています。

  • 公園をななめに横切る近道：たて 30m、横 40m の公園を角から角へななめに歩くと 50m。ふちを通る 70m より 20m 近くなります（下の図）。
  • はしごを立てかける：長さ 5m のはしごの下を壁から 3m はなすと、はしごの上は高さ 4m に届きます（32+42=523^2+4^2=5^2）。
  • テレビやスマホの「〇インチ」：画面の大きさは、長方形の画面の対角線の長さで表します。たてと横の長さから、三平方の定理で計算できます。
ひらめいたうかるくん

うかるくん

正方形の面積で考えると、「2乗」の意味が見えてくるね！

まとめると、三平方の定理は「直角三角形なら、2辺から残りの1辺が計算で出せる」という定理です。

直角三角形になる3辺・ならない3辺

三平方の定理は逆も成り立ちます。3辺 a, b, ca,\ b,\ c（cc がいちばん長い）が a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 をみたせば、その三角形は cc の向かいの角が直角の直角三角形です。

○ 直角三角形になる

  • 3, 4, 5（9＋16＝25）
  • 5, 12, 13（25＋144＝169）
  • 8, 15, 17（64＋225＝289）
  • 6, 8, 10（3, 4, 5 の2倍）
  • 1, 1, 2\sqrt2（1＋1＝2）
  • 1, 3\sqrt3, 2（1＋3＝4）

× 直角三角形にならない

  • 2, 3, 4（4＋9＝13、16ではない）
  • 4, 5, 6（16＋25＝41、36ではない）
  • 5, 5, 5（正三角形）
  • 1, 2, 3（1+2=31+2=3 で三角形ができない）
  • 3, 4, 6（9＋16＝25、36ではない）
  • 5, 12, 14（25＋144＝169、196ではない）

3辺が整数になる組（3, 4, 5 など）をピタゴラス数といいます。3, 4, 5 を2倍した 6, 8, 10 も直角三角形です。

図で見る

たて 30m、横 40m の公園を、角から反対の角までななめに横切ってみます。ななめの道と、2本のふちで直角三角形ができます。

30m 40m 50m スタートゴール ふちを通る30＋40＝70m ななめ：√30²＋40²＝√2500＝50m
ななめに横切ると √(30²＋40²)＝50m。ふちを通るより20m近い

302+402=900+1600=2500=50230^2+40^2=900+1600=2500=50^2 なので、ななめの道は 50m です。「2辺をたした 70m」ではなく、2乗してたしてから、√ をとるのがポイントです。

うかるくん

うかるくん

どうして、たし算じゃなくて2乗してたすんですか？

合格先生

合格先生

三平方の定理は、もともと正方形の面積の関係だからだよ。面積は「1辺の2乗」で、面積どうしならたせる。最後に √ をとって、面積から1辺の長さにもどすんだ。

どの辺を求めるかで式が変わる

求める辺式例（2辺が 5 と 13）
斜辺 ccc=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2}5 と 12 なら 25+144=13\sqrt{25+144}=13
斜辺でない辺 aaa=c2−b2a=\sqrt{c^2-b^2}斜辺 13、1辺 5 なら 169−25=12\sqrt{169-25}=12

斜辺を求めるときはたし算、斜辺でない辺を求めるときはひき算になります。どちらになるかは、求める辺が斜辺かどうかで決まります。

とくべつな直角三角形

角が 45°・45°・90° と、30°・60°・90° の直角三角形は、辺の比が決まっています。三平方の定理で確かめられます（12+12=(2)21^2+1^2=(\sqrt2)^2、12+(3)2=221^2+(\sqrt3)^2=2^2）。

1 1 √2 45°45° √3 1 2 30°60° 1 ： 1 ： √2 （45°・45°・90°） 1 ： √3 ： 2 （30°・60°・90°） 赤い辺が斜辺。どちらも a²＋b²＝c² をみたす
45°・45°・90° は 1：1：√2、30°・60°・90° は 1：√3：2

正方形の対角線（1辺の 2\sqrt2 倍）や、正三角形の高さ（1辺の 32\dfrac{\sqrt3}{2} 倍）は、この比からすぐに出せます。高校の三角比でも、この 2 つの三角形をくり返し使います。

名前の由来と、もう1つの呼び名

呼び名どこで使う由来
三平方の定理日本の中学・高校の教科書3つの辺の平方（2乗）の関係を表すから
ピタゴラスの定理世界中（英語は Pythagorean theorem）古代ギリシャの数学者ピタゴラスの名前から
勾股（こうこ）の定理中国直角をはさむ短い辺を「勾」、長い辺を「股」と呼んだことから

ピタゴラスは紀元前6世紀ごろの人です。ただ、この関係はもっと前から知られていて、古代バビロニア（今のイラクのあたり）の粘土板には、3辺が整数になる直角三角形の数がたくさん記録されています。同じ定理でも、地域によって呼び名がちがうのです。

斜辺はどこ？（図で見る）

三平方の定理で大事なのは、どの辺が斜辺 cc かを正しく見つけることです。斜辺は直角の向かい側の辺で、直角三角形の中でいちばん長い辺です。三角形が回転していても変わりません。

赤い辺が斜辺（直角の向かい側） 5 12 13 6 8 10 5²＋12²＝25＋144＝169＝13² 6²＋8²＝36＋64＝100＝10²
向きがちがっても、斜辺は直角の向かい側（赤）。いちばん長い辺になる

証明（正方形を並べかえる方法など）や、空間図形・座標での使い方は、公式辞典の三平方の定理のページでくわしく説明しています。

指し棒で説明する合格先生

合格先生

まず直角の印を探して、その向かい側の辺に cc と書きこもう！

テスト・入試ではこう出る

三平方の定理は中学 3 年で習い、高校入試では毎年のように出ます。よく出るのは、直角三角形の辺の長さ、正三角形の高さや面積、座標平面の 2 点間の距離、直方体の対角線や円すいの高さなどの空間図形です。高校では、三角比・余弦定理・ベクトルの大きさなど、あらゆる場面の土台になります。

例題1（はしご）

長さ 13m のはしごを、かべに立てかけます。はしごの下のはしを、かべから 5m はなしました。はしごの上のはしは、地面から何 m の高さにありますか。

  1. はしご・壁・地面で直角三角形ができる。直角は壁と地面の間なので、斜辺ははしご（13m）。
  2. 高さを hh m とすると、52+h2=1325^2+h^2=13^2。
  3. h2=169−25=144h^2=169-25=144、h>0h>0 より h=12h=12。

答え　12m

例題2（2点間の距離）

座標平面上の 2 点 A(1, 2)\mathrm A(1,\ 2)、B(4, 6)\mathrm B(4,\ 6) の距離を求めなさい。

  1. A から B へ、横に 4−1=34-1=3、たてに 6−2=46-2=4 進む。この 2 つを直角をはさむ 2 辺とする直角三角形を考える。
  2. AB は斜辺なので、AB2=32+42=25\mathrm{AB}^2=3^2+4^2=25。
  3. AB>0\mathrm{AB}>0 より AB=5\mathrm{AB}=5。

答え　5（2 点間の距離の公式 (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} は、三平方の定理そのものです）

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

斜辺は直角の向かい側！ cc をまちがえると答えがずれるよ。

  • 斜辺をまちがえる：2辺が 5 と 13 で、13 が斜辺なら、残りの辺は 132−52=144=12\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12 です。52+132\sqrt{5^2+13^2} と計算すると、まちがいになります。
  • 2乗せずにたす：3+4=73+4=7 は 5 ではありません。たすのは辺の2乗（正方形の面積）です。
  • a2+b2=a+b\sqrt{a^2+b^2}=a+b としてしまう：32+42=25=5\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 で、3+4=73+4=7 ではありません。√ はたし算に分けられません。
  • 直角三角形でない三角形に使う：三平方の定理は直角三角形だけの定理です。ふつうの三角形では、高校で習う余弦定理を使います。

ミニ問題

問題1　斜辺が 10cm、ほかの 1 辺が 6cm の直角三角形があります。残りの辺の長さを求めましょう。

答えと解き方を見る

斜辺は 10 なので、残りの辺を xx とすると x2+62=102x^2+6^2=10^2。x2=100−36=64x^2=100-36=64、x>0x>0 より x=8x=8（cm） です。6, 8, 10 は 3, 4, 5 を 2 倍した組です。

問題2　3 辺の長さが 7, 24, 25 の三角形は、直角三角形ですか。

答えと解き方を見る

直角三角形です。いちばん長い 25 を斜辺の候補にして調べます。72+242=49+576=6257^2+24^2=49+576=625、252=62525^2=625 で等しいので、三平方の定理の逆より、25 の辺の向かいの角が直角です。

問題3　1 辺が 4cm の正三角形の高さと面積を求めましょう。

答えと解き方を見る
  1. 頂点から底辺に垂線を下ろすと、底辺はまん中で 2cm ずつに分かれ、30°・60°・90° の直角三角形が 2 つできる。
  2. 高さを hh とすると h2+22=42h^2+2^2=4^2、h2=12h^2=12、h=23h=2\sqrt3（cm）。
  3. 面積は 4×23÷2=434\times2\sqrt3\div2=4\sqrt3（cm²）。

答え　高さ 232\sqrt3 cm、面積 434\sqrt3 cm²（辺の比 1:3:21:\sqrt3:2 を使って、2×32\times\sqrt3 と出すこともできます）

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

三平方の定理とピタゴラスの定理は同じですか？

同じ定理です。日本の教科書では三平方の定理、世界では古代ギリシャのピタゴラスの名前からピタゴラスの定理と呼ばれます。

なぜ「三平方」というのですか？

直角三角形の3つの辺の平方（2乗）の関係、a²＋b²＝c² を表す定理だからです。

三平方の定理は何年生で習いますか？

中学3年で習います。高校の三角比や座標の計算でも、くり返し使います。

三平方の定理の逆とは何ですか？

3辺 a、b、c（c がいちばん長い）が a²＋b²＝c² をみたすなら、その三角形は直角三角形である、という定理です。三平方の定理と同じく成り立ちます。

斜辺でない辺はどう求めますか？

斜辺の2乗から、わかっている辺の2乗をひいて、√をとります。斜辺13、1辺5なら、√(169−25)＝12です。

とくべつな直角三角形の辺の比は？

45°・45°・90°の直角三角形は1：1：√2、30°・60°・90°の直角三角形は1：√3：2です。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第3学年 B 図形（三平方の定理）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦