角の二等分線とは？作図と辺の比をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

角の二等分線とは？作図と辺の比をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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角の二等分線とは

1つの角を、大きさの等しい2つの角に分ける半直線です。角の二等分線上の点は角の2辺から等しい距離にあり、三角形では向かいの辺をとなりの2辺の比に分けます。

読み方：かくのにとうぶんせん／英語：angle bisector／習う学年：中学1年（作図）。辺の比の定理は数学A

うかるくん

うかるくん

角の二等分線と垂直二等分線、名前が似ていてまざります…

合格先生

合格先生

何を半分にするかで見分けよう。角を半分にするのが角の二等分線、線分を垂直に半分にするのが垂直二等分線だ。三角形で3本の交点をとると、角の二等分線は内心、垂直二等分線は外心になるよ。

この用語のポイント

  • 角の二等分線 ＝ 角をちょうど半分にする半直線（折り目）
  • 二等分線上の点は角の2辺から等しい距離。3本の交点が内心
  • 三角形では BD:DC=AB:AC\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}

やさしく言うと

角の二等分線は、1つの角を、ちょうど半分の2つの角に分ける半直線です。身近なもので考えてみましょう。

  • 折り紙：紙に角をかいて、2本の辺がぴったり重なるように折ると、その折り目が角の二等分線になります。
  • 2本の道路の間：交差する2本の道路の、どちらからも同じ距離のところに家を建てたいとき、その場所は角の二等分線の上にあります。
  • 開いた扇子：開いた扇子のまん中の骨は、両はしの骨がつくる角を半分に分けています。

中学では、コンパスと定規を使って、次の3ステップでかきます（作図）。

  1. 角の頂点 O を中心に円をかき、2辺との交点を P、Q とする。
  2. P、Q を中心に、同じ半径の円をかき、交点を R とする。
  3. 半直線 OR を引く。
O P Q R X Y ① O を中心に円 → P、Q ② P、Q から同じ半径 　 の円 → 交点 R ③ 半直線 OR を引く
コンパスと定規でかく角の二等分線。∠XOR ＝ ∠ROY

この作図で角が半分になるのは、三角形 OPR と三角形 OQR が3辺がそれぞれ等しいので合同になり、∠POR=∠QOR\angle\mathrm{POR}=\angle\mathrm{QOR} になるからです（OP＝OQ、PR＝QR、OR は共通）。

ひらめいたうかるくん

うかるくん

角を折り紙で半分に折ったときの折り目と同じなんだ。作図はその折り目をコンパスで見つける方法だね！

角の二等分線・そうでない線

○ 角の二等分線

  • 角の2辺が重なるように折った折り目
  • 正三角形の頂点から向かいの辺の中点へ引いた線
  • 二等辺三角形の頂角から底辺の中点へ引いた線
  • 正方形の対角線（90∘90^\circ を 45∘45^\circ ずつに分ける）
  • ひし形の対角線（頂点の角を半分に分ける）
  • 三角形の内心と頂点を結ぶ線

× 角の二等分線とは限らない

  • 線分の垂直二等分線（角ではなく線分を半分にする）
  • ふつうの三角形で、頂点から向かいの辺の中点へ引いた線（中線）
  • 頂点から向かいの辺へ下ろした垂線（ふつうは角を半分にしない）
  • 長方形（正方形でない）の対角線
  • 角の中に適当に引いた半直線
  • ふつうの三角形の外心と頂点を結ぶ線

正方形やひし形の対角線は角の二等分線になりますが、長方形の対角線はなりません。たて・よこの長さがちがうと、対角線が角を 45∘45^\circ ずつに分けないからです。

図で見る：2辺から等しい距離

角の二等分線の上にどんな点 P をとっても、P から2辺までの距離は等しくなります。距離は、点から辺に下ろした垂線の長さです。

O P H K X Y PH ＝ PK △OPH ≡ △OPK （斜辺と1つの鋭角が 　それぞれ等しい）
二等分線上の点 P から2辺までの距離 PH と PK は等しい

三角形 OPH と三角形 OPK は、どちらも直角三角形で、斜辺 OP が共通、∠POH=∠POK\angle\mathrm{POH}=\angle\mathrm{POK} です。だから合同になり、PH＝PK がいえます。反対に、2辺から等しい距離にある点は、角の二等分線の上にあるともいえます。

サクラちゃん

サクラちゃん

距離をはかるとき、どうして垂線を使うんですか？ ななめに測ってはだめですか？

合格先生

合格先生

点から直線までの「距離」は、いちばん短い長さのことなんだ。いちばん短くなるのが垂線だから、距離といえば垂線の長さだよ。

角の二等分線の性質

  • 角の二等分線上の点は、角の2辺から等しい距離にあります（上の図）。
  • 三角形の3つの角の二等分線は1点で交わり、その点が内心（内接円の中心）です。
  • 三角形 ABC で、∠A\angle\mathrm A の二等分線が辺 BC と交わる点を D とすると、BD:DC=AB:AC\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC} です（高校の数学Aで学ぶ定理）。
A B C D 6 4 3 2 BD : DC ＝ AB : AC 　　　　＝ 6 : 4 ＝ 3 : 2
AB＝6、AC＝4 なら、BD：DC＝6：4＝3：2

図では BC＝5 なので、5 を 3：2 に分けて BD＝3、DC＝2 です。数学Aでは、外角の二等分線についても同じように、辺 BC の延長と交わる点 E について BE:EC=AB:AC\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC} が成り立つことを学びます。くわしい証明や例題は、公式辞典の「角の二等分線と辺の比」にあります。

3本の角の二等分線の交点（内心）は、3辺のどれからも等しい距離にあります。だから、内心を中心にして3辺すべてに接する円（内接円）がかけます。

A B C I r 角の二等分線 3本 → 1点 I（内心）で交わる I から3辺までの距離が 等しい → 内接円
3本の角の二等分線は内心 I で交わる。I を中心に内接円がかける

テスト・入試ではこう出る

中学1年では作図として出ます。「2辺から等しい距離にある点」「円が2本の直線に接する」などの条件から、角の二等分線を使うと気づけるかがポイントです。中学2年以降は、角の二等分線でできる角度を求める問題、高校の数学Aでは辺の比や内心の問題がよく出ます。

例題1（辺の比・数学A）

三角形 ABC で AB＝8、AC＝6、BC＝7 です。∠A\angle\mathrm A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき、BD の長さを求めなさい。

  1. ∠A\angle\mathrm A の二等分線なので、BD:DC=AB:AC=8:6=4:3\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:6=4:3。
  2. BC＝7 を 4:34:3 に分ける。全体は 4+3=74+3=7 つ分なので、1つ分は 7÷7=17\div7=1。
  3. BD=1×4=4\mathrm{BD}=1\times4=4。

答え　BD＝4（たしかめ：DC＝3 で、4:3=8:64:3=8:6）

例題2（角度）

三角形 ABC で ∠B=70∘\angle\mathrm B=70^\circ、∠C=50∘\angle\mathrm C=50^\circ です。∠A\angle\mathrm A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき、∠ADC\angle\mathrm{ADC} の大きさを求めなさい。

  1. 三角形の内角の和は 180∘180^\circ なので、∠A=180∘−70∘−50∘=60∘\angle\mathrm A=180^\circ-70^\circ-50^\circ=60^\circ。
  2. AD は ∠A\angle\mathrm A の二等分線なので、∠BAD=60∘÷2=30∘\angle\mathrm{BAD}=60^\circ\div2=30^\circ。
  3. ∠ADC\angle\mathrm{ADC} は三角形 ABD の外角なので、となりにない2つの内角の和：∠B+∠BAD=70∘+30∘=100∘\angle\mathrm B+\angle\mathrm{BAD}=70^\circ+30^\circ=100^\circ。

答え　∠ADC=100∘\angle\mathrm{ADC}=100^\circ

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

角の二等分線は、ふつう向かいの辺を半分にしない！ 分ける比は となりの2辺の比 だよ。

  • 垂直二等分線とまぜる：角の二等分線は角を半分にする線、垂直二等分線は線分を垂直に半分にする線です。3本の交点も、角の二等分線は内心、垂直二等分線は外心です。
  • 辺の比をまちがえる：BD：DC は、となりの辺 AB：AC と等しくなります。BD：DC＝AC：AB と逆にしないように。B に近い BD には、B の側の辺 AB が対応します。
  • 向かいの辺を半分にすると思う：角の二等分線は、ふつう向かいの辺を半分にはしません（AB＝AC の二等辺三角形のときだけ半分）。
  • 作図で半径を変えてしまう：手順②で P と Q から円をかくとき、同じ半径にしないと、交点 R が二等分線の上に来ません。
  • 距離をななめに測る：「2辺からの距離」は、辺に下ろした垂線の長さです。

ことばの由来

二等分は「2つの等しい部分に分ける」という意味です。英語では angle bisector（アングル バイセクター）といい、bi は「2」、sect は「切る」を表す部分です。「角を2つに切るもの」という意味になります。

ミニ問題

問題1　∠XOY=84∘\angle\mathrm{XOY}=84^\circ のとき、その二等分線 OR と辺 OX がつくる角 ∠XOR\angle\mathrm{XOR} は何度ですか。

答えと解き方を見る

42∘42^\circ です。角の二等分線は角をちょうど半分にするので、84∘÷2=42∘84^\circ\div2=42^\circ。∠ROY\angle\mathrm{ROY} も 42∘42^\circ です。

問題2　三角形 ABC で AB＝9、AC＝6、BC＝10 です。∠A\angle\mathrm A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき、BD と DC の長さを求めましょう。

答えと解き方を見る

BD＝6、DC＝4 です。BD:DC=AB:AC=9:6=3:2\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=9:6=3:2。BC＝10 を 3:23:2 に分けると、1つ分が 10÷5=210\div5=2 なので、BD＝2×3=62\times3=6、DC＝2×2=42\times2=4 です。BC の半分の 5 ではないことに注意しましょう。

問題3　三角形 ABC の内心を I とします。∠A=70∘\angle\mathrm A=70^\circ のとき、∠BIC\angle\mathrm{BIC} は何度ですか。

答えと解き方を見る

125∘125^\circ です。∠B+∠C=180∘−70∘=110∘\angle\mathrm B+\angle\mathrm C=180^\circ-70^\circ=110^\circ。BI、CI はそれぞれ ∠B\angle\mathrm B、∠C\angle\mathrm C の二等分線なので、∠IBC+∠ICB=110∘÷2=55∘\angle\mathrm{IBC}+\angle\mathrm{ICB}=110^\circ\div2=55^\circ。三角形 IBC で ∠BIC=180∘−55∘=125∘\angle\mathrm{BIC}=180^\circ-55^\circ=125^\circ です。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

角の二等分線とは簡単にいうと何ですか？

1つの角をちょうど半分に分ける半直線です。角の2辺が重なるように紙を折ったときの折り目と同じです。

角の二等分線の作図の手順は？

頂点を中心に円をかいて2辺との交点を決め、その2点から同じ半径の円をかいて交点を決め、頂点とその交点を結びます。

角の二等分線の作図でなぜ角が半分になるのですか？

作図でできる2つの三角形が、3辺がそれぞれ等しいので合同になり、頂点の2つの角が等しくなるからです。

角の二等分線と辺の比の関係は？

三角形ABCで角Aの二等分線がBCと交わる点をDとすると、BD：DC＝AB：ACになります。

角の二等分線と内心の関係は？

三角形の3つの角の二等分線は1点で交わり、その点が内心です。内心は3辺から等しい距離にあるので、内接円の中心になります。

角の二等分線は何年生で習いますか？

作図は中学1年で習います。三角形の辺の比についての定理は、高校の数学Aで学びます。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（基本的な作図）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（図形の性質）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦