角の二等分・三等分の作図と折り紙｜二等分線の作図の証明・60°が三等分できない理由・折り紙で三等分【高校受験〜大学受験・発展】

角の二等分・三等分の作図と折り紙｜二等分線の作図の証明・60°が三等分できない理由・折り紙で三等分【高校受験〜大学受験・発展】

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高校受験大学受験

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

60°の三等分 → x=2cos⁡20∘x=2\cos20^\circ が x3−3x−1=0x^3-3x-1=0 をみたす（有理数解なし）

この公式のポイント

  • 二等分はいつでも作図できる（3辺が等しい合同）
  • 三等分は一般には作図できない（60°など）
  • 理由は x3−3x−1=0x^3-3x-1=0 が有理数解をもたないこと
  • 折り紙なら三等分できる
うかるくん

うかるくん

二等分はできるのに、三等分はどうして作図できないの？

合格先生

合格先生

60°の三等分には 2cos⁡20∘2\cos20^\circ が要る。これは有理数の解のない x3−3x−1=0x^3-3x-1=0 の解で、作図では作れないんだ。

角の二等分・三等分の公式（作図のきまり）

「目もりのない定規」と「コンパス」だけで図をかくことを作図といいます。角を半分にする二等分はいつでもできますが、角を3つに等しく分ける三等分は、一般には作図できないことが証明されています。ところが折り紙なら、どんな角でも三等分できます。

角を等しく分ける

  • 二等分：定規とコンパスで、どんな角でもできる（中学1年の作図）
  • 三等分：定規とコンパスでは、一般にはできない（例：60°）。90°・45° などはできる
  • 折り紙なら、どんな鋭角でも三等分できる（90°より大きい角は、90°と残りに分けて考える）

60°が三等分できない理由の中心：x=2cos⁡20∘x=2\cos20^\circ が

x3−3x−1=0x^3-3x-1=0

の解で、この3次方程式は有理数の解をもたない。

OABCDE二等分線OC＝OD、CE＝DEOE は共通→ △OCE≡△ODE
角の二等分線の作図。OC＝OD、CE＝DE、OE 共通で △OCE≡△ODE

証明

① 二等分線の作図が正しい理由

上の図で、C、D は O を中心とする同じ円の上なので OC=ODOC=OD。E は C、D を中心とする同じ半径の円の交点なので CE=DECE=DE。OE は共通。3組の辺がそれぞれ等しいので △OCE≡△ODE（三角形の合同条件）。対応する角が等しいので ∠COE=∠DOE\angle COE=\angle DOE です。

② 90°は三等分できる

O を中心とする円が OA と交わる点 A1A_1 を中心に、同じ半径の円をかくと、△OA1QOA_1Q は正三角形になり ∠A1OQ=60∘\angle A_1OQ=60^\circ。残りが 90∘−60∘=30∘90^\circ-60^\circ=30^\circ。同じことを OB の側からも行えば、90° が 30° ずつに分かれます。

OA₁B₁QP30°30°30°△OA₁Q は正三角形→ ∠A₁OQ＝60°→ ∠QOB₁＝30°90°は三等分できる（60°はできない）
正三角形を使うと 60° がとれるので、90° は 30° ずつに三等分できる

③ 60°が三等分できない理由（考え方）

60° を三等分できれば、20° の角が作図でき、長さ cos⁡20∘\cos20^\circ も作図できます。加法定理から3倍角の公式 cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta が出るので、θ=20∘\theta=20^\circ、c=cos⁡20∘c=\cos20^\circ とすると

4c3−3c=cos⁡60∘=124c^3-3c=\cos60^\circ=\frac12

x=2cx=2c とおくと x3−3x−1=0x^3-3x-1=0。ところが、定規とコンパスで作れる長さは、もとの長さから「たす・ひく・かける・わる」と「平方根をとる」をくり返してできる数だけです。そうした数は、有理数の解をもたない3次方程式の解にはなれないことが（大学で学ぶ代数学で）証明できます。この3次方程式が有理数の解をもたないことは、下の例題3で確かめます。だから 20° は作図できず、60° は三等分できません。（この不可能性は、1837年にフランスのヴァンツェルが証明しました。）

④ 折り紙なら三等分できる理由

正方形の紙の左下の角 P に、三等分したい角（下の辺と線のなす角）があるとします。左の辺の上に高さ 2h2h の点 Q、高さ hh の点 R をとり、高さ 2h2h の折り線 ℓ1\ell_1、高さ hh の折り線 ℓ2\ell_2 をつけておきます。P が ℓ2\ell_2 の上に、Q が角の線の上にくるように折り、P、R、Q の行き先を P′, R′, Q′P',\ R',\ Q' とします。

  • 折っても長さは変わらないので、P′, R′, Q′P',\ R',\ Q' は一直線上にあり、P′R′=R′Q′=hP'R'=R'Q'=h。
  • 折り返しは2回くり返すと元にもどるので、P′P' が ℓ2\ell_2 の上にあることから、P は「ℓ2\ell_2 を折り返した線」の上にあります。この線は R′R' を通り、P′Q′P'Q' に垂直です。つまり PR′⊥P′Q′PR'\perp P'Q'。
  • △PR′Q′PR'Q' と △PR′P′PR'P'：R′Q′=R′P′R'Q'=R'P'、PR′PR' 共通、間の角が直角なので合同。よって ∠Q′PR′=∠R′PP′\angle Q'PR'=\angle R'PP'。
  • △PR′P′PR'P' と、P′P' から下の辺におろした垂線の足を H とする △PHP′PHP'：どちらも直角三角形で、斜辺 PP′PP' が共通、P′R′=P′H=hP'R'=P'H=h なので合同。よって ∠R′PP′=∠P′PH\angle R'PP'=\angle P'PH。

3つの角が等しいので、PR′ と PP′ が角を三等分します。日本の阿部恒さんが考えた方法として知られています。

PRQP′R′Q′ℓ₁ℓ₂60°の三等分緑：折り目P→P′（ℓ₂の上）Q→Q′（60°の線上）赤の線 PP′、PR′ で20°ずつに分かれる（P′R′＝R′Q′＝h）
折り紙で60°を三等分する。赤の線が20°ずつに分ける（数値で計算して作図）

高校受験（中学数学）での使い方

中学1年で、角の二等分線・垂直二等分線・垂線の作図を習います。60°（正三角形）と90°（垂線）を作図して、二等分をくり返したり、たしたりひいたりすると、いろいろな角が作図できます。

高校受験

例題1（15°の作図）

定規とコンパスを使って、15° の角を作図する手順を説明しなさい。

解き方

① 正三角形を作図して 60° をつくる。② 60° の二等分線を作図して 30°。③ 30° の二等分線を作図して 15°。

答え　正三角形で60° → 二等分で30° → もう一度二等分で15°

高校受験

例題2（二等分線上の点）

∠AOB の二等分線上の点 P から、辺 OA までの距離が 3cm です。P から辺 OB までの距離を求めなさい。

解き方

P から OA、OB に垂線 PH、PK をおろすと、∠POH＝∠POK、∠PHO＝∠PKO＝90°、OP 共通なので、直角三角形の斜辺と1つの鋭角が等しく △POH≡△POK。よって PK＝PH＝3cm。

答え　3cm（角の二等分線上の点は、2辺から等しい距離）

大学受験での使い方

大学受験

例題3（有理数の解をもたない）

3次方程式 x3−3x−1=0x^3-3x-1=0 は有理数の解をもたないことを示しなさい。

解き方

有理数の解 x=pqx=\dfrac pq（p, qp,\ q は互いに素な整数、q>0q>0）をもつとすると、p3−3pq2−q3=0p^3-3pq^2-q^3=0。

p3=q2(3p+q)p^3=q^2(3p+q) なので、qq が素数 rr でわり切れるなら pp も rr でわり切れ、互いに素に反します。よって q=1q=1。同じように q3=p(p2−3q2)q^3=p(p^2-3q^2) から p=±1p=\pm1。

x=1x=1：1−3−1=−3≠01-3-1=-3\neq0。x=−1x=-1：−1+3−1=1≠0-1+3-1=1\neq0。どちらも解ではないので、有理数の解はありません。

答え　有理数の解はない（候補は ±1\pm1 だけで、どちらも解でない）

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

教科書での位置：二等分線の作図は中学1年の内容です。一方、「三等分が作図できない」ことの完全な証明には、大学で学ぶ代数学（体の拡大、ガロア理論の入口）が必要で、高校の範囲をこえます。このページの③は考え方（略証）です。

3つの作図問題：古代ギリシャ以来の「角の三等分」「立方体の体積を2倍にする（立方体倍積）」「円と同じ面積の正方形をつくる（円積問題）」は、どれも定規とコンパスでは作図できないことが19世紀に証明されました。円積問題は、1882年にリンデマンが π\pi が超越数（どんな整数係数の方程式の解にもならない数）であることを示して決着しました。

道具を変えればできる：折り紙のほか、定規に2つの印をつけてよい方法（アルキメデスの方法として知られる）でも、角は三等分できます。

入試での使い方：

  • 「cos⁡20∘\cos20^\circ が満たす3次方程式」「その方程式が有理数の解をもたないこと」は、3倍角の公式と整数の性質を組み合わせた問題として、難関大の入試で背景になっているものがあります。
  • 「作図できない」ことそのものを答案で使うことはまずありません。示すのは例題3のような、高校の範囲で証明できる部分です。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

三等分はどんな角でもできない、とは言えないぞ。90°や45°は三等分できるんだ。

  • 「三等分はどんな角でもできない」と思う：できないのは「一般には」です。90° や 45°（15° が作図できる）は三等分できます。
  • 二等分線の作図で半径を変える：C と D を中心にかく2つの円は、同じ半径でないと E が二等分線上にのりません。
  • 分度器や目もりを使う：作図では、定規は線を引くだけ。長さをはかったり、分度器で角をはかったりしてはいけません。

練習問題

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

折り紙なら三等分できるって、おもしろいね！

  1. 高校受験 定規とコンパスで 75° の角を作図する手順を説明しなさい。
    答えと解説を見る垂線で 90° をつくり、その中に正三角形で 60° をとると残りが 30°。30° を二等分して 15° をつくり、60°＋15°＝75°
  2. 高校受験 45° の角は、定規とコンパスで三等分できますか。理由も答えなさい。
    答えと解説を見るできる。15° が作図できる（60° を2回二等分）ので、45° の中に 15° を2回とれば三等分できる
  3. 大学受験 3倍角の公式 cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta に θ=20∘\theta=20^\circ を入れ、c=cos⁡20∘c=\cos20^\circ が満たす3次方程式を整数係数で書きなさい。
    答えと解説を見る4c3−3c=124c^3-3c=\dfrac12 より 8c3−6c−1=08c^3-6c-1=0

関連する公式

この公式に出てくる用語（数学用語辞典）

よくある質問

角の三等分は作図できますか？

定規とコンパスだけでは、一般の角は三等分できないことが証明されています。90°や45°のように、三等分できる角もあります。

なぜ60°は三等分できないのですか？

20°が作図できるとcos20°も作図できますが、x=2cos20°は有理数解をもたない3次方程式x³−3x−1=0の解で、定規とコンパスで作れる数ではないからです。

角の二等分線の作図が正しいのはなぜですか？

コンパスでとった長さから、3組の辺がそれぞれ等しい2つの三角形ができ、合同になるので、2つの角が等しくなるからです。

折り紙で角を三等分できるのはなぜですか？

折り返しでできる3つの直角三角形が合同になり、3つの角が等しくなるからです。折り紙では、定規とコンパスにはできない折り方ができます。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第1学年（基本的な作図）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（三角関数）
  • 高校の範囲外の発展内容（作図可能性・代数学）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦