ピックの定理の公式｜S=i+b/2−1 の証明・格子点の数え方・内部の格子点の個数【大学数学・東大京大レベル】

ピックの定理

方眼の交点（格子点）だけを頂点にもつ多角形（格子多角形）なら、格子点の個数を数えるだけで面積がわかります。1899年にオーストリアの数学者ピックが発表した定理です。

周上の格子点の数え方：2つの格子点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ を結ぶ線分の上の格子点は、両はしをふくめて $\gcd(|x_2-x_1|,\ |y_2-y_1|)+1$ 個です（最大公約数の分だけ等しく区切られるため）。多角形全体では、各辺の $\gcd$ をたしたものが $b$ になります（頂点を2回数えないため）。

証明（考え方）

$f(P)=i+\dfrac b2-1$ とおいて、どんな格子多角形でも $f(P)=S$ となることを、次の順に示します。

① 辺が方眼にそった長方形：横 $m$、縦 $n$ なら、内部は $(m-1)(n-1)$ 個、周上は $2(m+n)$ 個。

$$f=(m-1)(n-1)+(m+n)-1=mn=S$$

② 直角をはさむ2辺が方眼にそった直角三角形：①の長方形を対角線で半分にしたものです。対角線上の格子点は、両はしをのぞいて $d-1$ 個（$d=\gcd(m,n)$）。長方形の内部の点のうち対角線上にないものが、ちょうど半分ずつに分かれるので

$$i=\frac{(m-1)(n-1)-(d-1)}{2},\qquad b=m+n+d$$ $$f=\frac{(m-1)(n-1)-d+1+m+n+d}{2}-1=\frac{mn}{2}=S$$

③ つないでも式がくずれない：格子多角形 $P_1,\ P_2$ を、1本の辺（格子点が両はしをふくめて $k$ 個）でつないで $P$ をつくると、つなぎ目の両はし以外の $k-2$ 個は内部の点に変わり、両はしは周上に残ります。

$$i=i_1+i_2+(k-2),\qquad b=b_1+b_2-2k+2$$ $$f(P)=i_1+i_2+k-2+\frac{b_1+b_2}{2}-k+1-1=f(P_1)+f(P_2)$$

面積も $S=S_1+S_2$ なので、$P_1,\ P_2$ で式が成り立てば $P$ でも成り立ちます。同じ式から、大きい図形から一部を取りのぞいた図形でも成り立ちます（$f(P_1)=f(P)-f(P_2)$）。

④ どんな格子三角形でも：格子三角形は、まわりを囲む長方形から、②の直角三角形（と長方形）を取りのぞいた形です。①②③より成り立ちます。

⑤ どんな格子多角形でも：対角線で格子三角形に分けられるので、③をくり返して成り立ちます。（「どんな多角形も対角線で三角形に分けられる」ことは、ここでは認めて使っています。）

大学受験での使い方

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

教科書での位置：ピックの定理は高校の教科書にはない発展内容です。ただし、上の証明は長方形・三角形の面積と数え上げだけでできていて、高校生でも追えます。

入試での使い方：

• 面積を求める問題は、座標の公式（座標で三角形の面積）などで計算するのが基本です。ピックの定理は検算に使うと便利です。
• 反対に「内部の格子点の個数」を数える問題では、面積と周上の点から $i$ を逆算できます。記述式では、ピックの定理を使うなら証明を添えるか、直線 $x=k$ ごとに数える方法でも確かめておくのが安全です。
• 難関大の入試では、格子点の個数を数える問題で、この定理が背景になっているものがあります。

穴のあいた多角形：穴が $h$ 個ある格子多角形では $S=i+\dfrac b2+h-1$ になります（$b$ は外側と穴のふちの格子点の合計）。

立体では成り立たない：空間の格子点を頂点とする四面体で、頂点 $(0,0,0)$、$(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(1,1,r)$（$r$ は正の整数）のものは、頂点以外に格子点をふくみませんが、体積は $\dfrac r6$ で $r$ によって変わります。格子点の数だけでは体積が決まらないので、ピックの定理のような式は立体にはありません。

よくある間違い

• 頂点だけを周上の点にする：$b$ には辺の途中の格子点もふくみます。辺ごとに $\gcd$ を計算して数えましょう。
• $-1$ を忘れる・$b$ を半分にし忘れる：$S=i+\dfrac b2-1$。正方形1マス（$i=0,\ b=4$）で $0+2-1=1$ と確かめると覚えやすいです。
• 頂点が格子点でない図形に使う：頂点が1つでも格子点からずれていたら使えません。

練習問題

1. 大学受験 4点 $(0,2)$、$(2,0)$、$(4,2)$、$(2,4)$ を頂点とする正方形について、$i$、$b$ を数えて面積を求めなさい。
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   周上は各辺 $\gcd(2,2)=2$ で $b=8$、内部は $(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)$ の $i=5$。$S=5+4-1=8$
2. 大学受験 内部に格子点がなく、周上の格子点が頂点の3個だけの格子三角形の面積を求めなさい。
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   $S=0+\dfrac32-1=\dfrac12$
3. 大学受験 3点 $(0,0)$、$(7,0)$、$(0,4)$ を頂点とする三角形の内部にある格子点の個数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $S=14$、$b=7+4+\gcd(7,4)=12$。$14=i+6-1$ より $i=9$

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よくある質問

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