四角形の面積の公式｜S=½pq sinθ・対角線×対角線÷2の証明・ブラーマグプタの公式【中学受験・大学受験】

四角形の面積の公式｜S=½pq sinθ・対角線×対角線÷2の証明・ブラーマグプタの公式【中学受験・大学受験】

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中学受験大学受験

S=12pqsin⁡θ,S=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)S=\frac12pq\sin\theta,\qquad S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

左：対角線 p, qp,\ q となす角 θ\theta　右：円に内接する四角形（ss は周の半分）

この公式のポイント

  • 対角線となす角で S=12pqsin⁡θS=\dfrac12pq\sin\theta
  • 対角線が垂直なら対角線×対角線÷2
  • 円に内接ならブラーマグプタの公式
  • d=0d=0 でヘロンの公式になる
ハルちゃん

ハルちゃん

対角線×対角線÷2って、ひし形のときしか使えないの？

合格先生

合格先生

対角線が垂直なら、どんな凸四角形でも使える。まわりの長方形のちょうど半分になるからだ。

四角形の面積の公式

四角形の面積は、対角線を使うと1つの式で求められます。また、円に内接する四角形なら、4辺の長さだけで面積が決まります（ブラーマグプタの公式）。

対角線と角・4辺から求める面積

① 対角線 p, qp,\ q とそのなす角 θ\theta（凸四角形）

S=12pqsin⁡θS=\frac12pq\sin\theta

② 対角線が垂直（ひし形・正方形・たこ形など）：S=pq2S=\dfrac{pq}{2}（対角線×対角線÷2）

③ ブラーマグプタの公式（円に内接する四角形、辺 a, b, c, da,\ b,\ c,\ d）：s=a+b+c+d2s=\dfrac{a+b+c+d}{2} として

S=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
θABCDOAC＝pBD＝q4つの三角形の面積をたすとS＝½pq sinθ
対角線で4つの三角形に分けると、S＝½pq sinθ になる

証明

① 対角線と角の公式

対角線の交点を O とし、OA=a1, OC=a2, OB=b1, OD=b2OA=a_1,\ OC=a_2,\ OB=b_1,\ OD=b_2 とします（a1+a2=pa_1+a_2=p、b1+b2=qb_1+b_2=q）。4つの三角形の面積を2辺とその間の角の公式で求めます。O のまわりの角は θ\theta と 180∘−θ180^\circ-\theta ですが、sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta なので、どれも同じ sin⁡θ\sin\theta を使えます。

S=12sin⁡θ (a1b1+b1a2+a2b2+b2a1)=12sin⁡θ (a1+a2)(b1+b2)=12pqsin⁡θS=\frac12\sin\theta\,(a_1b_1+b_1a_2+a_2b_2+b_2a_1)=\frac12\sin\theta\,(a_1+a_2)(b_1+b_2)=\frac12pq\sin\theta

② 対角線が垂直なとき（小学生向けの説明）

四角形のまわりに、辺が対角線と平行な長方形をかきます。長方形は対角線で4つの小さい長方形に分かれ、どの小さい長方形も、四角形の辺でちょうど半分に分けられています。だから四角形の面積は、長方形（対角線×対角線）の半分です。ひし形・正方形だけでなく、対角線が垂直ならどんな凸四角形でも使えます。

ACBD10cm7cm点線の長方形＝10×7＝70四角形はその半分10×7÷2＝35対角線×対角線÷2
対角線が垂直なら、四角形はまわりの長方形のちょうど半分

③ ブラーマグプタの公式

円に内接する四角形 ABCD（AB=a, BC=b, CD=c, DA=dAB=a,\ BC=b,\ CD=c,\ DA=d）では、向かい合う角の和が 180°（B+D=180∘B+D=180^\circ）なので、sin⁡D=sin⁡B\sin D=\sin B、cos⁡D=−cos⁡B\cos D=-\cos B です。

S=12absin⁡B+12cdsin⁡D=12(ab+cd)sin⁡BS=\frac12ab\sin B+\frac12cd\sin D=\frac12(ab+cd)\sin B

対角線 AC の長さを△ABC と △ACD で余弦定理を使って2通りに表すと

a2+b2−2abcos⁡B=c2+d2+2cdcos⁡B⟹cos⁡B=a2+b2−c2−d22(ab+cd)a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2+2cd\cos B\quad\Longrightarrow\quad\cos B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}

sin⁡2B=1−cos⁡2B\sin^2B=1-\cos^2B を使って

16S2=4(ab+cd)2−(a2+b2−c2−d2)2={2(ab+cd)−(a2+b2−c2−d2)}{2(ab+cd)+(a2+b2−c2−d2)}={(c+d)2−(a−b)2}{(a+b)2−(c−d)2}=(−a+b+c+d)(a−b+c+d)(a+b−c+d)(a+b+c−d)\begin{aligned}16S^2&=4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2\\&=\{2(ab+cd)-(a^2+b^2-c^2-d^2)\}\{2(ab+cd)+(a^2+b^2-c^2-d^2)\}\\&=\{(c+d)^2-(a-b)^2\}\{(a+b)^2-(c-d)^2\}\\&=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)\end{aligned}

−a+b+c+d=2(s−a)-a+b+c+d=2(s-a) などなので 16S2=16(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)16S^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)。d=0d=0 とすると三角形のヘロンの公式になります。

ACBD33445s＝(3＋4＋4＋3)÷2＝7√(4×3×3×4)＝√144S＝12確かめ：∠B＝∠D＝90°3×4÷2×2＝12
円に内接する四角形（辺 3、4、4、3）。ブラーマグプタの公式でも、直角三角形2つでも面積12

中学受験（算数）での使い方

ひし形の面積「対角線×対角線÷2」は小学5年で習います。中学受験では、ひし形でなくても対角線が垂直ならこの式が使えることがよく出ます。

中学受験

例題1（ひし形）

対角線の長さが 6cm と 8cm のひし形の面積を求めなさい。

解き方

6×8÷2=246\times8\div2=24（cm²）。

答え　24cm²

中学受験

例題2（対角線が垂直な四角形）

四角形 ABCD の対角線 AC と BD は垂直に交わっていて、AC＝10cm、BD＝7cm です。四角形 ABCD の面積を求めなさい。

解き方

対角線が垂直なので、ひし形でなくても対角線×対角線÷2 が使えます。10×7÷2=3510\times7\div2=35（cm²）。

答え　35cm²

大学受験（数学Ⅰ）での使い方

大学受験

例題3（対角線となす角）

対角線の長さが 6 と 8、対角線のなす角が 30∘30^\circ の四角形の面積を求めなさい。

解き方

S=12⋅6⋅8⋅sin⁡30∘=24⋅12=12S=\dfrac12\cdot6\cdot8\cdot\sin30^\circ=24\cdot\dfrac12=12。

答え　1212

大学受験

例題4（ブラーマグプタの公式）

円に内接する四角形 ABCD で、AB=AD=3AB=AD=3、BC=CD=4BC=CD=4 です。面積を求めなさい。

解き方

s=3+4+4+32=7s=\dfrac{3+4+4+3}{2}=7。S=(7−3)(7−4)(7−4)(7−3)=144=12S=\sqrt{(7-3)(7-4)(7-4)(7-3)}=\sqrt{144}=12。

（確かめ：AC について対称なので ∠B=∠D\angle B=\angle D、B+D=180∘B+D=180^\circ より ∠B=90∘\angle B=90^\circ。直角三角形2つで 2×12⋅3⋅4=122\times\dfrac12\cdot3\cdot4=12。）

答え　1212

高校の範囲をこえる内容と入試での使い方

教科書での位置：①の S=12pqsin⁡θS=\dfrac12pq\sin\theta は、数学Ⅰの三角形の面積の公式から導ける内容で、問題集にもよく出ます。③のブラーマグプタの公式（7世紀のインドの数学者ブラーマグプタの名前がついています）は、高校の教科書にはない発展内容です。

4辺だけでは面積は決まらない：三角形は3辺で形が決まりますが、四角形は4辺の長さが同じでも、関節のように曲がって形が変わります。一般の四角形では、向かい合う角 B, DB,\ D も使って

S2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcdcos⁡2B+D2S^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\frac{B+D}{2}

となります（ブレートシュナイダーの公式）。円に内接すると B+D=180∘B+D=180^\circ で最後の項が 0 になり、③になります。この式から、4辺が決まった四角形の中で、面積がいちばん大きいのは円に内接するときだとわかります。

入試での使い方：

  • 答案では、③の証明と同じ流れ（向かい合う角の和180°、余弦定理で対角線を2通りに表す）で計算するのが安全です。ブラーマグプタの公式は検算に使いましょう。
  • 難関大の入試では、円に内接する四角形の面積や、面積の最大を求める問題で、この公式が背景になっているものがあります。

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

円に内接しない四角形にブラーマグプタの公式を使うな。4辺だけでは面積は決まらないぞ。

  • ÷2（12\dfrac12）を忘れる：対角線×対角線は、まわりの長方形の面積。四角形はその半分です。
  • 対角線が垂直でないのに pq2\dfrac{pq}{2} を使う：垂直でなければ 12pqsin⁡θ\dfrac12pq\sin\theta。ただの平行四辺形や台形では使えません。
  • 円に内接しない四角形にブラーマグプタの公式を使う：4辺だけでは面積は決まりません。また ss は周の半分です。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

垂直でないときは 12pqsin⁡θ\dfrac12pq\sin\theta を使うんだ。

  1. 中学受験 対角線の長さが 10cm の正方形の面積を求めなさい。
    答えと解説を見る正方形は対角線が垂直で長さが等しいので 10×10÷2=5010\times10\div2=50（cm²）
  2. 大学受験 対角線の長さが 4 と 5、なす角が 45∘45^\circ の四角形の面積を求めなさい。
    答えと解説を見る12⋅4⋅5⋅22=52\dfrac12\cdot4\cdot5\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2
  3. 大学受験 円に内接する四角形の4辺が 2、3、4、5 のとき、面積を求めなさい。
    答えと解説を見るs=7s=7、S=5⋅4⋅3⋅2=120=230S=\sqrt{5\cdot4\cdot3\cdot2}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}

関連する公式

この公式に出てくる用語（数学用語辞典）

よくある質問

四角形の面積を対角線で求める公式は？

対角線の長さをp、q、そのなす角をθとすると S=1/2 pq sinθ です。対角線が垂直なら S=pq/2（対角線×対角線÷2）です。

対角線×対角線÷2はひし形以外でも使えますか？

使えます。対角線が垂直に交わる凸四角形なら、たこ形などひし形でなくても使えます。

ブラーマグプタの公式とは？

円に内接する四角形の面積を4辺から求める公式で、s=(a+b+c+d)/2 として S=√((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)) です。

4辺がわかれば四角形の面積は決まりますか？

一般には決まりません。四角形は4辺が同じでも形が変わるからです。円に内接する四角形なら決まり、そのとき面積がいちばん大きくなります。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）」算数 第5学年（三角形・平行四辺形・ひし形・台形の面積）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅰ（図形と計量）
  • 高校の範囲外の発展内容（ブラーマグプタの公式）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦