円に内接する四角形の性質｜対角の和180°・外角＝内対角の証明・cosD＝−cosB で対角線を求める例題【高校受験〜大学受験】

円に内接する四角形の性質｜対角の和180°・外角＝内対角の証明・cosD＝−cosB で対角線を求める例題【高校受験〜大学受験】

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高校受験大学受験

∠A+∠C=∠B+∠D=180∘\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^\circ

外角は内対角に等しい（∠DCE=∠A\angle DCE=\angle A）

この公式のポイント

  • 対角の和は 180°（となりの角ではない）
  • 外角＝内対角
  • 証明は中心角 2a+2c=360∘2a+2c=360^\circ
  • 大学受験は cos⁡D=−cos⁡B\cos D=-\cos B と余弦定理
うかるくん

うかるくん

180°になるのは、となり合う角？向かい合う角？

合格先生

合格先生

向かい合う角だ。2つの対角の中心角は 2a2a と 2c2c で、合わせて円1周の360°になるからだ。

円に内接する四角形の性質

4つの頂点がすべて1つの円の周上にある四角形を「円に内接する四角形」といいます。この四角形には、次の性質があります。

円に内接する四角形 ABCD

① 向かい合う角（対角）の和は 180°

∠A+∠C=180∘,∠B+∠D=180∘\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ

② 1つの外角は、それと向かい合う内角（内対角）に等しい

∠DCE=∠A(E は辺 BC を C の先にのばした点)\angle DCE=\angle A\quad(\text{E は辺 BC を C の先にのばした点})

③ 逆も成り立つ：対角の和が 180° の四角形は、円に内接する。

a180°−aaABCDE∠A＋∠C＝180°外角∠DCE＝∠A
∠A と ∠C の和は180°。C の外角 ∠DCE は向かい合う ∠A と同じ大きさ

証明

① 対角の和が 180° になる理由

円の中心を O とし、O と B、O と D を結びます。円周角の定理（中心角は円周角の2倍）を使います。

  • ∠A\angle A は弧 BCD（A をふくまないほうの弧）に対する円周角なので、その弧の中心角は 2∠A2\angle A。
  • ∠C\angle C は弧 BAD（C をふくまないほうの弧）に対する円周角なので、その弧の中心角は 2∠C2\angle C。

2つの弧を合わせると円1周なので、中心角の和は 360°。

2∠A+2∠C=360∘⟹∠A+∠C=180∘2\angle A+2\angle C=360^\circ\quad\Longrightarrow\quad\angle A+\angle C=180^\circ

∠B+∠D\angle B+\angle D も同じように 180° です（四角形の内角の和は 360° なので、残りの2つの和も 180° と考えても同じです）。

O2a2c（反対側）ABCDac2a＋2c＝360°→ a＋c＝180°
弧 BCD の中心角は 2a、弧 BAD の中心角は 2c。2つで1周するので 2a＋2c＝360°

② 外角＝内対角になる理由

辺 BC を C の先にのばした点を E とすると、B、C、E は一直線なので ∠BCD+∠DCE=180∘\angle BCD+\angle DCE=180^\circ。①より ∠BCD+∠A=180∘\angle BCD+\angle A=180^\circ。くらべると ∠DCE=∠A\angle DCE=\angle A です。

③ 逆について

対角の和が 180° の四角形が円に内接することは、円周角の定理の逆と同じ考え方（点が円の内側・外側にあるときの角をくらべる）で証明できます。4点が同じ円周上にあるかを調べるときに使います。

どんな四角形が円に内接するか

四角形円に内接する？理由
長方形・正方形いつもする対角がどちらも 90° で、和が 180°
等脚台形いつもする底角が等しく、となりの角との和が 180°
平行四辺形（長方形以外）しない対角が等しいので、和が 180° なら 90° ずつ（長方形）しかない
ひし形（正方形以外）しないひし形は平行四辺形の一種

高校受験（中学数学）での使い方

高校受験

例題1（対角の和）

円に内接する四角形 ABCD で、∠A＝95°、∠B＝70° です。∠C と ∠D を求めなさい。

解き方

対角の和は 180° なので、∠C=180∘−95∘=85∘\angle C=180^\circ-95^\circ=85^\circ、∠D=180∘−70∘=110∘\angle D=180^\circ-70^\circ=110^\circ。

答え　∠C=85∘\angle C=85^\circ、∠D=110∘\angle D=110^\circ

高校受験

例題2（外角＝内対角）

円に内接する四角形 ABCD で、∠ABD＝35°、∠ADB＝45° です。辺 BC を C の先にのばした点を E とするとき、∠DCE を求めなさい。

解き方

△ABD で ∠BAD=180∘−35∘−45∘=100∘\angle BAD=180^\circ-35^\circ-45^\circ=100^\circ。

外角は内対角に等しいので ∠DCE=∠BAD=100∘\angle DCE=\angle BAD=100^\circ。（∠BCD=180∘−100∘=80∘\angle BCD=180^\circ-100^\circ=80^\circ から 180∘−80∘180^\circ-80^\circ としても同じ。）

答え　100∘100^\circ

大学受験（数学Ⅰ・数学A）での使い方

大学受験では、∠D=180∘−∠B\angle D=180^\circ-\angle B だから cos⁡D=−cos⁡B\cos D=-\cos B を使い、対角線を余弦定理で2通りに表す問題が定番です。

ABCD35587120°60°cos D＝−cos B を使うAC²＝9＋25＋15＝49
AB＝3、BC＝5、CD＝5、DA＝8 の内接四角形。cos D＝−cos B から ∠B＝120°、AC＝7
大学受験

例題3（余弦定理を2回）

円に内接する四角形 ABCD で、AB＝3、BC＝5、CD＝5、DA＝8 である。∠B の大きさ、対角線 AC の長さ、四角形 ABCD の面積を求めよ。

解き方

cos⁡B=x\cos B=x とすると cos⁡D=−x\cos D=-x。△ABC と △ACD で余弦定理：

AC2=9+25−30x=25+64+80xAC^2=9+25-30x=25+64+80x。よって 110x=−55110x=-55、x=−12x=-\dfrac12、∠B=120∘\angle B=120^\circ。

AC2=34+15=49AC^2=34+15=49 より AC=7AC=7。

面積は 12⋅3⋅5sin⁡120∘+12⋅5⋅8sin⁡60∘=(152+20)32=5534\dfrac12\cdot3\cdot5\sin120^\circ+\dfrac12\cdot5\cdot8\sin60^\circ=\left(\dfrac{15}{2}+20\right)\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{55\sqrt3}{4}。

答え　∠B=120∘\angle B=120^\circ、AC=7AC=7、面積 5534\dfrac{55\sqrt3}{4}

大学受験

例題4（もう1本の対角線）

例題3の四角形で、対角線 BD の長さを求めよ。

解き方

cos⁡A=y\cos A=y とすると cos⁡C=−y\cos C=-y。BD2=9+64−48y=25+25+50yBD^2=9+64-48y=25+25+50y より 98y=2398y=23、y=2398y=\dfrac{23}{98}。

BD2=73−48⋅2398=302549BD^2=73-48\cdot\dfrac{23}{98}=\dfrac{3025}{49} なので BD=557BD=\dfrac{55}{7}。

検算：トレミーの定理AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BCAC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC より 7⋅BD=15+40=557\cdot BD=15+40=55。一致します。

答え　BD=557BD=\dfrac{55}{7}

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

外角に等しいのは、となりの内角ではない。その頂点と向かい合う内角だぞ。

  • となり合う角の和を 180° にする：180° になるのは向かい合う角（∠A と ∠C、∠B と ∠D）。
  • 外角を「となりの内角」と等しいとする：外角に等しいのは、その頂点と向かい合う内角。
  • どんな四角形でも対角の和が 180° と思う：円に内接しているときだけ。平行四辺形などでは成り立たない。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

大学受験では cos⁡D=−cos⁡B\cos D=-\cos B が決め手だ。

  1. 高校受験 円に内接する四角形 ABCD で、∠A が ∠C の3倍のとき、∠A は何度？
    答えと解説を見る∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ、∠A=3∠C\angle A=3\angle C より 4∠C=180∘4\angle C=180^\circ、∠C=45∘\angle C=45^\circ。答え ∠A=135∘\angle A=135^\circ
  2. 高校受験 円に内接する平行四辺形は、どんな四角形か。理由も答えなさい。
    答えと解説を見る平行四辺形は対角が等しい。円に内接するので対角の和は 180°。よって1つの角は 90° で、長方形。
  3. 大学受験 円に内接する四角形 ABCD で AB＝3、BC＝5、CD＝2、DA＝3 のとき、cos⁡B\cos B と AC を求めよ。
    答えと解説を見るcos⁡B=x\cos B=x、cos⁡D=−x\cos D=-x。AC2=9+25−30x=4+9+12xAC^2=9+25-30x=4+9+12x より 42x=2142x=21、x=12x=\dfrac12。AC2=34−15=19AC^2=34-15=19。答え cos⁡B=12\cos B=\dfrac12、AC=19AC=\sqrt{19}

関連する公式

この公式に出てくる用語（数学用語辞典）

よくある質問

円に内接する四角形の性質は？

向かい合う角（対角）の和が180°になります。また、1つの外角は、それと向かい合う内角（内対角）に等しくなります。

なぜ対角の和は180°になるのですか？

円周角の定理より、2つの対角に対する中心角はそれぞれ角の2倍で、合わせて円1周の360°になるからです。

平行四辺形は円に内接しますか？

長方形（正方形をふくむ）だけが内接します。平行四辺形は対角が等しいので、和が180°になるには90°ずつでなければなりません。

大学入試ではどう使いますか？

∠D＝180°−∠B から cosD＝−cosB となるので、対角線を2つの三角形で余弦定理を使って2通りに表し、辺や角を求めます。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第3学年（円周角と中心角）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅰ（図形と計量）・数学A（図形の性質）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦