円に内接する四角形とは？性質と証明をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

円に内接する四角形とは？性質と証明をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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円に内接する四角形とは

4 つの頂点がすべて 1 つの円周上にある四角形です。向かい合う角の和は 180∘180^\circ で、1 つの内角は向かいの頂点の外角に等しくなります。逆に、向かい合う角の和が 180∘180^\circ の四角形は円に内接します。

読み方：えんにないせつするしかくけい／英語：cyclic quadrilateral／習う学年：数学A（図形の性質）

うかるくん

うかるくん

円に内接する四角形って、どの角とどの角をたすと 180° でしたっけ？

合格先生

合格先生

向かい合う角だよ。∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ、∠B+∠D=180∘\angle B+\angle D=180^\circ。円周角の定理で、中心角が 2a+2c=360∘2a+2c=360^\circ になるから、と覚えておくと忘れないよ。

この用語のポイント

  • 向かい合う角の和 ＝ 180∘180^\circ
  • 1 つの内角 ＝ 向かいの頂点の外角
  • 逆も成り立つ：対角の和が 180∘180^\circ なら 4 点は同じ円周上

やさしく言うと

円に内接する四角形は、4 つの頂点がすべて 1 つの円の上にある四角形です。四角形が円の内側にぴったりおさまり、角が円にふれている形です。

  • 時計の文字盤：12 時・3 時・6 時・9 時の位置を結ぶと正方形になります。4 つの点はどれも文字盤の円の上にあるので、この正方形は円に内接しています。
  • 丸いテーブル：丸いテーブルのふちに 4 人がすわり、となりの人どうしをひもで結ぶと、円に内接する四角形ができます。すわる場所をどう変えても、あとで出てくる「向かい合う角の和は 180∘180^\circ」が成り立ちます。
  • 3 点と 4 点のちがい：どんな三角形にも、3 つの頂点を通る円（外接円）がかけます。でも四角形は、4 つめの点が円の上にのるとはかぎりません。だから「円に内接する」は特別な四角形なのです。
70°110° ABCD 向かい合う角 70° ＋ 110° ＝ 180° 4 つの頂点が すべて円周上
4 つの頂点が円周上にある四角形。向かい合う角の和は 180°

円に内接する四角形には、次の性質があります。

  • 向かい合う角（対角）の和は 180∘180^\circ。
  • 1 つの内角は、その向かいの頂点の外角に等しい。

まとめると、円に内接する四角形は「4 つの頂点が 1 つの円周上にあり、向かい合う角をたすと 180∘180^\circ になる四角形」です。

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

たして 180° になるのは「となり」じゃなくて「向かい合う」角です！

円に内接する四角形・しない四角形

○ 円に内接する

  • 長方形（対角線の交点が円の中心）
  • 正方形
  • 等脚台形（平行でない 2 辺が等しい台形）
  • 向かい合う角が 95∘95^\circ と 85∘85^\circ、80∘80^\circ と 100∘100^\circ の四角形
  • 直角が向かい合う 2 か所にある四角形（90+90=18090+90=180）
  • 円周上に 4 点をとって結んだ四角形

× 円に内接しない

  • 長方形でない平行四辺形（向かい合う角が等しく、和が 180∘180^\circ にならない）
  • 正方形でないひし形
  • 等脚でない台形
  • 向かい合う角が 70∘70^\circ と 100∘100^\circ の四角形
  • へこんだ四角形
  • 3 つの頂点だけが円周上にある四角形

図で見る：なぜ 180° になる？

理由は円周角の定理です。円周角は、同じ弧に対する中心角の半分でした。∠A\angle A は弧 BCD に対する円周角、∠C\angle C は弧 DAB に対する円周角です。

2a 2c ABCD O ∠A＝a、∠C＝c とする 青の中心角 ＝ 2a 赤の中心角 ＝ 2c 2a ＋ 2c ＝ 360° a ＋ c ＝ 180°
中心角 2a と 2c で、円の中心のまわりを 1 周（360°）

2 つの弧をあわせると円 1 周なので、中心角の和は 2a+2c=360∘2a+2c=360^\circ。両方を 2 でわって、a+c=180∘a+c=180^\circ となります。

うかるくん

うかるくん

外角が向かいの角と等しいのは、どうしてですか？

合格先生

合格先生

頂点 C では、内角と外角をたすと一直線の 180∘180^\circ。そして ∠A\angle A と ∠C\angle C の和も 180∘180^\circ。どちらも「180∘180^\circ から ∠C\angle C を引いた角」だから、等しくなるんだ。

70°70° ABCD E 外角 ∠DCE ＝ 180° − ∠C ＝ ∠A 向かいの角に 等しい
外角 ∠DCE は、向かい合う ∠A に等しい

逆も成り立つ：4 点が同じ円周上にある条件

この性質は逆も成り立ちます。つまり、向かい合う角の和が 180∘180^\circ の四角形は、円に内接します。外角が向かいの内角に等しいときも同じです。

長方形 ○ 円の外 平行四辺形 ×
長方形は円に内接する。長方形でない平行四辺形は、3 点を通る円から 4 点目がはずれる
4 点 A, B, C, D が同じ円周上にあるといえる条件例
四角形 ABCD の向かい合う角の和が 180∘180^\circ∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ
1 つの内角が、向かいの頂点の外角に等しい∠A=∠DCE\angle A=\angle DCE
同じ側にある 2 点から、ある線分を見る角が等しい（円周角の定理の逆）∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC

図形の証明では「4 点が同じ円周上にある」ことを先に示しておくと、円周角の定理が使えるようになり、角どうしの関係がたくさん見つかります。これが、この性質の大事な使い方です。

テスト・入試ではこう出る

円に内接する四角形は、高校の数学A（図形の性質）で習います。中学 3 年の円周角の定理から導けるので、高校入試の角度の問題で使われることもあります。よく出る形は次のとおりです。

  • 向かい合う角・外角を使って、角度を求める。
  • 向かい合う角の和が 180∘180^\circ であることを示して、「4 点が同一円周上にある」ことを証明する。
  • 方べきの定理・トレミーの定理（AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BDAB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD）と組み合わせて長さを求める。

例題1（角度）

円に内接する四角形 ABCD で、∠A=95∘\angle A=95^\circ、∠B=80∘\angle B=80^\circ です。∠C\angle C と ∠D\angle D を求めましょう。

  1. 円に内接する四角形では、向かい合う角の和が 180∘180^\circ。
  2. ∠C=180∘−∠A=180−95=85∘\angle C=180^\circ-\angle A=180-95=85^\circ
  3. ∠D=180∘−∠B=180−80=100∘\angle D=180^\circ-\angle B=180-80=100^\circ

答え　∠C=\angle C= 85∘85^\circ、∠D=\angle D= 100∘100^\circ（たしかめ：95+80+85+100=36095+80+85+100=360）

例題2（同一円周上か）

四角形 ABCD で、∠ABC=100∘\angle ABC=100^\circ、∠ADC=80∘\angle ADC=80^\circ です。4 点 A, B, C, D は 1 つの円周上にありますか。

  1. ∠ABC\angle ABC と ∠ADC\angle ADC は、四角形 ABCD の向かい合う角です。
  2. ∠ABC+∠ADC=100∘+80∘=180∘\angle ABC+\angle ADC=100^\circ+80^\circ=180^\circ
  3. 向かい合う角の和が 180∘180^\circ の四角形は、円に内接する（逆が成り立つ）。

答え　4 点 A, B, C, D は 1 つの円周上にある。

ひらめいたうかるくん

うかるくん

「4 点が同じ円の上」と気づけば、円周角が使えるようになるんだ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

たして 180° になるのはとなり合う角ではなく向かい合う角！

  • となり合う角をたす：∠A+∠B=180∘\angle A+\angle B=180^\circ とするまちがいです。180∘180^\circ になるのは向かい合う ∠A+∠C\angle A+\angle C と ∠B+∠D\angle B+\angle D です。（となり合う角の和が 180∘180^\circ になるのは、平行線がある台形などの場合です。）
  • どんな四角形も円に内接すると思う：三角形とちがい、四角形はいつも円に内接するわけではありません。長方形でない平行四辺形やひし形は内接しません。
  • 逆を使うとき、条件を確かめない：「4 点が同じ円周上にある」と書くには、向かい合う角の和が 180∘180^\circ であることなどを、きちんと示す必要があります。
  • 外角の位置をまちがえる：∠A\angle A に等しいのは、向かいの頂点 C の外角です。となりの頂点 B や D の外角ではありません。

ことばの意味

「内接」は「内側で接する」という意味です。四角形が円の内側にあって、頂点で円に接しているので「円に内接する四角形」といいます。逆に見ると、円は四角形の外側にあるので、その円を四角形の「外接円」といいます。英語では cyclic quadrilateral（サイクリック・クアドリラテラル）といい、cyclic は「円の」という意味です。

ミニ問題

問題1　円に内接する四角形 ABCD で、∠B=112∘\angle B=112^\circ のとき、∠D\angle D は何度ですか。

答えと解き方を見る

68∘68^\circ です。B と D は向かい合う角なので、180−112=68∘180-112=68^\circ。

問題2　円に内接する四角形 ABCD で、∠A=75∘\angle A=75^\circ です。辺 BC を C の先にのばした点を E とするとき、∠DCE\angle DCE は何度ですか。

答えと解き方を見る

75∘75^\circ です。∠C=180−75=105∘\angle C=180-75=105^\circ なので、外角 ∠DCE=180−105=75∘\angle DCE=180-105=75^\circ。内角は、向かいの頂点の外角に等しいので、∠A\angle A と同じになります。

問題3　AD∥BCAD\parallel BC、AB=DCAB=DC の等脚台形 ABCD（平行四辺形ではないもの）は、円に内接しますか。理由も答えましょう。

答えと解き方を見る

内接します。

  1. 等脚台形では、底角が等しいので ∠B=∠C\angle B=\angle C。
  2. AD∥BCAD\parallel BC なので、∠A+∠B=180∘\angle A+\angle B=180^\circ（平行線と同じ側の内角）。
  3. 1, 2 から ∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ。向かい合う角の和が 180∘180^\circ なので、円に内接します。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

円に内接する四角形とは何ですか？

4つの頂点がすべて1つの円周上にある四角形です。

円に内接する四角形の性質は？

向かい合う角の和が180°になります。また、1つの内角は、その向かいの頂点の外角に等しくなります。

なぜ向かい合う角の和は180°なのですか？

円周角の定理より、向かい合う2つの角に対する中心角は、それぞれの角の2倍です。その和が円1周の360°なので、角の和は180°になります。

どんな四角形が円に内接しますか？

長方形・正方形・等脚台形などです。長方形でない平行四辺形や、正方形でないひし形は内接しません。

4点が同一円周上にあることはどう示しますか？

四角形の向かい合う角の和が180°であること、または1つの内角が向かいの外角に等しいことを示します。円周角の定理の逆を使う方法もあります。

円に内接する四角形は何年生で習いますか？

高校の数学A（図形の性質）で習います。中学3年の円周角の定理から導くことができます。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（図形の性質：円の性質）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦