方べきの定理とは？3つの形と証明をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

方べきの定理とは？3つの形と証明をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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方べきの定理とは

点 P を通る 2 本の直線が円と A, B および C, D で交わるとき、PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD が成り立つという定理です。1 本が接線（接点 T）なら PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB です。P は円の中でも外でも成り立ちます。

読み方：ほうべきのていり／英語：power of a point theorem／習う学年：数学A（図形の性質）

サクラちゃん

サクラちゃん

方べきの定理、円の外に点があると、どの長さをかければいいのかわからなくなります…

合格先生

合格先生

長さは全部 P から測るんだ。P から近い交点まで、P から遠い交点まで。その 2 つをかけた数が、どの直線でも同じになるよ。

この用語のポイント

  • PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD（かけ算が等しい）
  • 長さはどれも点 P から測る（弦の長さ AB ではない）
  • 接線なら PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB

やさしく言うと

方べきの定理は、1 つの点 P を通る直線が円と 2 点で交わるとき、「P から 2 つの交点までの長さのかけ算」は、どの直線を引いても同じになるという定理です。

  • 円の中の点：円の中に点 P をとり、P を通る弦を何本か引きます。どの弦でも、P で分けられた 2 つの部分の長さをかけると、同じ数になります。
  • 円の外の点：円の外の点 P から円を通りぬける直線を引きます。P から手前の交点まで、P から奥の交点までの長さをかけると、これもどの直線でも同じ数です。
  • 接線：P から接線を引くと、2 つの交点が重なって接点 T になります。このとき「同じ数」は PT×PT=PT2PT\times PT=PT^2 です。
ABCDP 26 34 PA × PB ＝ 2 × 6 ＝ 12 PC × PD ＝ 3 × 4 ＝ 12 どちらも 12
円の中の点 P：2×6 ＝ 3×4 ＝ 12

式にすると、次のようになります。

PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD　（接線のときは PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB）

まとめると、方べきの定理は「点 P と円で決まる 1 つの数を、どの直線で測っても同じになる」という定理です。この数を「点 P の円に関する方べき」とよぶことがあります。

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

たし算じゃなくて「かけ算」が同じ！ そして長さは全部 P から測ります。

正しい使い方と、まちがった使い方

○ 正しい

  • 弦 AB, CD が P で交わる → PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD
  • 円の外の P から 2 本の割線 → PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD（P から測る）
  • 円の外の P から接線 PT と割線 → PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB
  • PA=2PA=2、PB=6PB=6、PC=3PC=3 → PD=4PD=4
  • 直径を通る直線で考えると、方べき ＝（半径）2−^2-（OP）2^2 の大きさ

× まちがい

  • PA+PB=PC+PDPA+PB=PC+PD とする（たし算ではない）
  • 円の外の点で、PA⋅AB=PC⋅CDPA\cdot AB=PC\cdot CD とする（AB は P からの長さではない）
  • 接線の場合に PT=PA⋅PBPT=PA\cdot PB とする（2 乗を忘れている）
  • 2 本の直線が P を通っていないのに使う
  • PA⋅PC=PB⋅PDPA\cdot PC=PB\cdot PD のように、ちがう直線の長さをかける

図で見る：3 つの形

方べきの定理には、点 P の位置によって 3 つの形があります。どれも「P から交点までの長さ」をかけるところが共通です。

ABCDP 2 PB ＝ 6（P から B まで） 3 PD ＝ 4（P から D まで） PA×PB ＝ PC×PD 2×6 ＝ 3×4 ＝ 12
円の外の点 P：PA×PB ＝ PC×PD（どれも P から測る）
ABTP 24 PB ＝ 8（P から B まで） PT² ＝ PA × PB PT² ＝ 2 × 8 ＝ 16 PT ＝ 4 （C と D が重なって T に なったと考える）
接線のとき：PT² ＝ PA×PB
点 P の位置式図の例
円の中PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD2×6=3×42\times6=3\times4
円の外（割線 2 本）PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD2×6=3×42\times6=3\times4
円の外（接線と割線）PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB42=2×84^2=2\times8

なぜ成り立つ？（相似で証明）

方べきの定理は、相似な三角形で証明できます。円の中の点 P の場合を見てみましょう。

ABCDP △PAC ∽ △PDB ∠APC＝∠DPB （対頂角） ∠CAP＝∠BDP （弧 CB の円周角） PA：PD ＝ PC：PB PA×PB ＝ PC×PD
△PAC と △PDB は相似。辺の比から PA×PB ＝ PC×PD
  1. ∠APC=∠DPB\angle APC=\angle DPB（対頂角）。
  2. ∠CAP=∠BDP\angle CAP=\angle BDP（どちらも弧 CB に対する円周角）。
  3. 2 組の角が等しいので、△PAC∼△PDB\triangle PAC\sim\triangle PDB。
  4. 対応する辺の比は等しいので、PA:PD=PC:PBPA:PD=PC:PB。内側どうし・外側どうしをかけて PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD。
うかるくん

うかるくん

接線のときは、円周角が使えないですよね？

合格先生

合格先生

接線のときは接弦定理を使うんだ。△PTA\triangle PTA と △PBT\triangle PBT で、∠P\angle P が共通、接線と弦の角 ∠PTA\angle PTA が円周角 ∠PBT\angle PBT に等しい。だから相似で、PT:PB=PA:PTPT:PB=PA:PT から PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB になるよ。

テスト・入試ではこう出る

方べきの定理は高校の数学A（図形の性質）で習います。証明は中学 3 年の相似と円周角の定理でできるので、高校入試でも、相似を使って同じ関係を導く問題が出ることがあります。よく出る形は次のとおりです。

  • 3 つの長さから、のこりの 1 つを求める。
  • 接線と割線から、接線の長さや弦の長さを求める。
  • 逆の形（PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD なら 4 点 A, B, C, D は同一円周上）を使って証明する。

例題1（円の中の点）

円の中の点 P で、弦 AB と弦 CD が交わっています。PA=2PA=2、PB=6PB=6、PC=3PC=3 のとき、PDPD を求めましょう。

  1. 2 本の弦 AB, CD が円の中の点 P で交わっているので、方べきの定理より PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD。
  2. 2×6=3×PD2\times6=3\times PD
  3. PD=12÷3=4PD=12\div3=4

答え　PD=4PD=4

例題2（接線と割線）

円の外の点 P から引いた接線の接点を T とします。P を通る直線が円と A, B（P に近いほうが A）で交わり、PT=6PT=6、PA=4PA=4 です。弦 AB の長さを求めましょう。

  1. 接線の場合の方べきの定理より、PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB。
  2. 62=4×PB6^2=4\times PB なので PB=36÷4=9PB=36\div4=9。
  3. AB=PB−PA=9−4=5AB=PB-PA=9-4=5

答え　AB=5AB=5（PB と AB を取りちがえないように）

ひらめいたうかるくん

うかるくん

最後に「AB ＝ PB − PA」と引き算するのを忘れないぞ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

円の外の点では PA×AB ではなく PA×PB！ 長さはいつも P から測ろう。

  • たし算にする：PA+PB=PC+PDPA+PB=PC+PD とするまちがいです。等しいのはかけ算 PA⋅PBPA\cdot PB と PC⋅PDPC\cdot PD です。
  • 弦の長さ AB を使う：円の外の点 P のとき、PA⋅ABPA\cdot AB と計算するまちがいです。かけるのは P から A までと P から B までの長さです。PB=PA+ABPB=PA+AB を先に求めましょう。
  • 接線の 2 乗を忘れる：PT=PA⋅PBPT=PA\cdot PB ではなく、PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB です。PA=2PA=2、PB=8PB=8 なら PT=4PT=4 で、16 ではありません。
  • ちがう直線の長さをかけ合わせる：PA⋅PCPA\cdot PC のように、別々の直線の長さをかけてはいけません。同じ直線の上の 2 つの長さをかけます。

ことばの意味

「べき」は漢字で「冪」と書き、累乗（同じ数を何回かかけること）を表すことばです。「方べき」は「方冪」とも書きますが、教科書では「方べきの定理」とひらがなで書くのがふつうです。英語では、点 P の「方べき」を power of a point（ポイントのパワー）といい、この定理も power of a point theorem とよばれます。円の中心を O、半径を rr とすると、方べきの大きさは ∣OP2−r2∣|OP^2-r^2| で、P が円の外なら接線の長さの 2 乗に等しくなります。

ミニ問題

問題1　円の中の点 P で、弦 AB と弦 CD が交わっています。PA=3PA=3、PB=8PB=8、PC=4PC=4 のとき、PDPD を求めましょう。

答えと解き方を見る

PD=6PD=6 です。PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD より 3×8=4×PD3\times8=4\times PD、PD=24÷4=6PD=24\div4=6。

問題2　円の外の点 P から 2 本の直線を引きます。1 本は円と A, B（P に近いほうが A）で交わり、PA=3PA=3、AB=5AB=5 です。もう 1 本は C, D（P に近いほうが C）で交わり、PC=4PC=4 です。弦 CD の長さを求めましょう。

答えと解き方を見る

CD=2CD=2 です。

  1. PB=PA+AB=3+5=8PB=PA+AB=3+5=8。
  2. PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD より 3×8=4×PD3\times8=4\times PD、PD=6PD=6。
  3. CD=PD−PC=6−4=2CD=PD-PC=6-4=2。

AB=5AB=5 をそのまま使って 3×53\times5 としないように気をつけましょう。

問題3　中心 O からの距離が 10 の点 P から、円に接線を引いたところ、接線の長さ PT は 8 でした。円の半径を求めましょう。

答えと解き方を見る

半径は 6 です。

  1. 半径を rr とし、直線 PO が円と交わる点を A, B（P に近いほうが A）とすると、PA=10−rPA=10-r、PB=10+rPB=10+r。
  2. 方べきの定理より PT2=PA⋅PBPT^2=PA\cdot PB なので、64=(10−r)(10+r)=100−r264=(10-r)(10+r)=100-r^2。
  3. r2=36r^2=36、r>0r>0 より r=6r=6。

（三平方の定理で OT2+PT2=OP2OT^2+PT^2=OP^2 としても、r2+64=100r^2+64=100 で同じ答えになります。）

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

方べきの定理とは何ですか？

点Pを通る2本の直線が円とA、BとC、Dで交わるとき、PA・PB＝PC・PDが成り立つという定理です。

接線があるときの方べきの定理は？

点Pから引いた接線の接点をT、Pを通る別の直線と円の交点をA、Bとすると、PT²＝PA・PBです。

点Pが円の外にあるときも使えますか？

使えます。円の中でも外でも、Pから2つの交点までの長さをかけた値が等しくなります。

方べきの定理はどうやって証明しますか？

相似な三角形を使います。円の中の点なら対頂角と円周角、接線の場合は共通な角と接弦定理で相似を示します。

方べきの定理でよくあるまちがいは？

円の外の点で、Pからの長さPBではなく弦の長さABを使ってしまうことです。

方べきの定理は何年生で習いますか？

高校の数学A（図形の性質）で習います。中学3年の相似と円周角の定理で証明できます。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（図形の性質：円の性質）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦