円と相似の証明｜円周角で等しい角を見つける3つの型（交わる弦・円の外の点・角の二等分線）と PA×PB＝PC×PD の例題【高校受験】

うかるくん

円の中に三角形がたくさんあって、どれとどれが相似なのか見つけられないよ。

合格先生

同じ弧に対する円周角をさがすんだ。弧の両はしの点を見れば、等しい角が見つかる。あと1組は対頂角か共通の角だぞ。

円と相似の基本の形

円の問題で相似を見つけるときは、「同じ弧に対する円周角は等しい」を使って、等しい角を2組さがします。よく出るのは次の3つの形です。

証明

型1（円の中で交わる弦）

$\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ で、

1. 弧 BC に対する円周角は等しいので　$\angle PAC=\angle PDB$（$\angle BAC=\angle BDC$）
2. 対頂角は等しいので　$\angle APC=\angle DPB$

2組の角がそれぞれ等しいので　$\triangle PAC\sim\triangle PDB$。対応する辺の比が等しいので $PA:PD=PC:PB$。比例式の外側どうし・内側どうしをかけて $PA\times PB=PC\times PD$ です。

型2（円の外の点から引いた直線）

$\triangle PAD$ と $\triangle PCB$ で、

1. 弧 AC に対する円周角は等しいので　$\angle PDA=\angle PBC$（$\angle ADC=\angle ABC$）
2. $\angle P$ は共通

よって $\triangle PAD\sim\triangle PCB$。$PA:PC=PD:PB$ から $PA\times PB=PC\times PD$ です。

型3（角の二等分線と円）

$\triangle ABE$ と $\triangle ADC$ で、

1. AD は $\angle A$ の二等分線なので　$\angle BAE=\angle DAC$
2. 弧 AC に対する円周角は等しいので　$\angle ABE=\angle ADC$（$\angle ABC=\angle ADC$）

よって $\triangle ABE\sim\triangle ADC$。$AB:AD=AE:AC$ から $AB\times AC=AD\times AE$ です。

型1・型2の $PA\times PB=PC\times PD$ は、高校で習う方べきの定理そのものです。中学では、毎回「相似を証明 → 比例式」の順で求めます。

高校受験（中学3年）での使い方

円周角の定理と三角形の相似条件は、どちらも中学3年で学びます。高校入試では「相似の証明」と「長さを求める問題」がセットで出ることが多いです。

よくある間違い

合格先生

$\triangle PAC\sim\triangle PBD$ と書くのはまちがいだ。等しい角どうしが同じ順番になるように、$\triangle PDB$ と書こう。

• 対応する頂点の順をまちがえる：等しい角どうしが同じ順番になるように書く。型1は $\triangle PAC\sim\triangle PDB$（A と D、C と B が対応）で、$\triangle PAC\sim\triangle PBD$ ではない。
• 円の外の型で $PA\times AB$ とかける：かけるのは P からの長さ。$PA\times PB$（PB＝PA＋AB）。
• ちがう弧の円周角を等しいとする：等しいのは「同じ弧」に対する円周角だけ。どの弧を見ているか、両はしの点で確かめる。

練習問題

サクラちゃん

まず赤い印の円周角を見つけよう！

1. 高校受験 円の弦 AB と CD が点 P で交わり、PA＝5、PB＝4、PC＝2 です。PD は？
   答えと解説を見る

   $\triangle PAC\sim\triangle PDB$ より $PA\times PB=PC\times PD$。$20=2\times PD$。答え $PD=10$
2. 高校受験 円の外の点 P から2本の直線を引き、一方が円と A、B（PA＜PB）、もう一方が C、D（PC＜PD）で交わります。PA＝3、AB＝5、PC＝4 のとき、CD は？
   答えと解説を見る

   $PB=3+5=8$。$\triangle PAD\sim\triangle PCB$ より $PA\times PB=PC\times PD$、$24=4\times PD$、$PD=6$。答え $CD=6-4=2$
3. 高校受験 円に内接する $\triangle ABC$ で、$\angle A$ の二等分線が BC と E、円と D で交わります。AB＝8、AC＝6、AE＝4 のとき、AD は？
   答えと解説を見る

   $\triangle ABE\sim\triangle ADC$ より $AB\times AC=AD\times AE$。$48=4\times AD$。答え $AD=12$

関連する公式

• 円周角の定理
• 三角形の相似条件
• 方べきの定理（型1・型2の高校での名前）
• 角の二等分線と辺の比
• 相似の基本形（ピラミッド形・ちょうちょ形）
• 円周角の定理の逆

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）