等差数列とは？一般項と和の求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

等差数列とは？一般項と和の求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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中学受験大学受験

等差数列とは

同じ数ずつ増えていく（減っていく）数列です。となりどうしの差を公差といい、初項 aa、公差 dd の第 nn 項は an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d です。

読み方：とうさすうれつ／英語：arithmetic sequence／習う学年：数学B（数列）

ハルちゃん

ハルちゃん

1から100までたすのって、ひとつずつたすしかないんですか？

合格先生

合格先生

等差数列なら、逆の順に並べてたすと、どの組も101になるよ。101が100組で、その半分だから5050だ。

この用語のポイント

  • 等差数列は同じ数ずつ増える（減る）数列。その差が公差
  • 第 nn 項は a+(n−1)da+(n-1)d。公差をたすのは n−1n-1 回
  • 和は（初項＋末項）×項数÷2

やさしく言うと

等差数列は、同じ数ずつ増えていく（または減っていく）数列です。身のまわりにもたくさんあります。

  • 毎月の貯金：はじめに 1000 円あって、毎月 500 円ずつ貯金すると、残高は 1000, 1500, 2000, … と 500 円ずつふえます。
  • 電車の時刻：7 時から 10 分おきに発車する電車の発車時刻は、7:00, 7:10, 7:20, … と 10 分ずつ進みます。
  • カレンダー：カレンダーの縦の列の日付は、1, 8, 15, 22, 29 のように 7 ずつふえます。

となりどうしの差はいつも同じで、この差を公差といいます。「公」は「共通の」、「差」は「ひき算の答え」という意味です。

2第1項5第2項＋38第3項＋311第4項＋314第5項＋3 どの段も ＋3（公差 3）
2, 5, 8, 11, 14 は公差3の等差数列

まとめると、等差数列は「前の数に、いつも同じ数をたすと次の数」という数列です。

等差数列の例

○ 等差数列

  • 2, 5, 8, 11, …（公差 3）
  • 10, 7, 4, 1, −2, …（公差 −3）
  • 5, 5, 5, 5, …（公差 0）
  • 1, 3, 5, 7, …（奇数。公差 2）
  • 0.5, 1, 1.5, 2, …（公差 0.5）
  • 7, 14, 21, 28, …（7の倍数。公差 7）

× 等差数列ではないもの

  • 1, 2, 4, 8, …（差が 1, 2, 4 と変わる。これは等比数列）
  • 1, 4, 9, 16, …（差が 3, 5, 7 と変わる）
  • 1, 3, 6, 10, …（差が 2, 3, 4 と変わる）
  • 2, 3, 5, 7, 11, …（素数。差がばらばら）
  • 1, −1, 1, −1, …（差が −2, 2 と入れかわる）

公差は「後ろの項 − 前の項」で求めます。減っていく数列の公差はマイナスです。等差数列かどうかは、となりどうしの差が全部同じかで確かめます。

何番目の数でも求められる（一般項）

初項 aa、公差 dd の等差数列の第 nn 項は

an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d

第 nn 項までに公差をたす回数は、nn 回ではなく n−1n-1 回です。木を一列に植えるとき、木が nn 本なら間は n−1n-1 か所ある（植木算）のと同じ考え方です。

木が 5 本なら、間は 4 つ 21本目＋352本目＋383本目＋3114本目＋3145本目 5 本目 ＝ 2 ＋ 3 × (5 − 1) ＝ 14
木が5本なら間は4つ。5本目は 2＋3×4＝14

例：2, 5, 8, … の第10項は 2+(10−1)×3=292+(10-1)\times3=29 です。

ひらめいたハルちゃん

ハルちゃん

第1項から第10項までは、9回たせばいいんだね。木と木の間の数と同じだ！

和の求め方

等差数列の和は、逆の順に並べてたすと簡単に求められます。どの組も同じ数になるからです。数学者ガウスが子どものころ、この方法で 1 から 100 までの和をすぐに答えたという話が有名です（話のくわしい中身には、いろいろな言い伝えがあります）。

順逆和 110112911381147115611651174118311921110111 1＋2＋…＋10 を、逆の順にも並べてたす 11 が 10組 → 110。2回分たしたので 110 ÷ 2 ＝ 55
1＋2＋…＋10 は、11 が10組の半分で 55

このしくみから、和の公式は次のようになります（項数 nn、初項 aa、末項 ll）。

Sn=n(a+l)2S_n=\frac{n(a+l)}{2}

ことばで言うと「（初項＋末項）×項数÷2」。中学受験の算数でもよく使う形です。末項 ll の代わりに一般項を入れると、Sn=n{2a+(n−1)d}2S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} とも書けます。

例：2+5+8+⋯+292+5+8+\cdots+29 は10項なので、10×(2+29)2=155\dfrac{10\times(2+29)}{2}=155 です。公式の証明や練習問題は公式辞典「等差数列の和の公式」にあります。

ハルちゃん

ハルちゃん

項の数が奇数のときも、2でわっていいの？ わり切れなくならない？

合格先生

合格先生

大丈夫。たとえば 2+5+82+5+8 は 3 項で、(2+8)×3÷2=15(2+8)\times3\div2=15。逆の順に並べて 2 回分たしているから、全体はいつも 2 でわり切れるんだ。

図で見る：マッチ棒の問題

中学受験でよく出るのが、図形をならべていくときの本数・個数の問題です。ふえ方が一定なら、等差数列として考えられます。

マッチ棒で正方形をならべる 1 個 → 4 本 2 個 → 7 本 3 個 → 10 本 1 個ふえるごとに3 本ふえる（コの字） n 個 → 4 ＋ 3 × (n − 1) ＝ 3n ＋ 1（本）
正方形が1個ふえるごとに、マッチ棒は3本ふえる

「1 個目だけ 4 本、あとは 3 本ずつ」と見るのがポイントです。nn 個目の本数は 4+3(n−1)=3n+14+3(n-1)=3n+1 本になります。

等差数列等比数列
きまり同じ数をたす同じ数をかける
その数の名前公差 dd公比 rr
第 nn 項a+(n−1)da+(n-1)darn−1ar^{n-1}
3つの数 a,b,ca,b,c2b=a+c2b=a+c（bb は平均）b2=acb^2=ac

3つの数 a, b, ca,\ b,\ c がこの順に等差数列なら、b−a=c−bb-a=c-b なので 2b=a+c2b=a+c。まん中の bb は、aa と cc の平均になります。この bb を等差中項といいます。

テスト・入試ではこう出る

高校では数学B（数列）で、「等差数列」という名前と公式を習います。中学受験の算数でも、「規則的に並んだ数」「□番目の数」「植木算」「図形の個数」として同じ考え方がよく出ます。高校の定期テストや大学入試では、2つの項から初項と公差を求める問題、和の最大値、はじめて負になる項などが定番です。

例題1（中学受験：マッチ棒）

マッチ棒で正方形を横に 1 列にならべます。正方形を 20 個つくるには、マッチ棒は何本いりますか。

  1. 本数は 4, 7, 10, … と 3 本ずつふえる（初項 4、公差 3 の等差数列）。
  2. 20 個のときは、3 本ふえるのが 20−1=1920-1=19 回：4+3×19=614+3\times19=61。
  3. 別の考え方：はじめの 1 本に、「コの字」の 3 本を 20 回つけたす：1+3×20=611+3\times20=61。

答え　61 本

例題2（高校：一般項と和）

第3項が 11、第8項が 26 の等差数列について、一般項 ana_n と、初項から第20項までの和 S20S_{20} を求めなさい。

  1. a3=a+2d=11a_3=a+2d=11、a8=a+7d=26a_8=a+7d=26。
  2. ひき算すると 5d=155d=15、d=3d=3。すると a=11−6=5a=11-6=5。
  3. 一般項：an=5+(n−1)×3=3n+2a_n=5+(n-1)\times3=3n+2。
  4. 第20項は a20=62a_{20}=62。和は S20=20×(5+62)2=670S_{20}=\dfrac{20\times(5+62)}{2}=670。

答え　an=3n+2a_n=3n+2、S20=670S_{20}=670

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

2つの項が分かれば、ひき算で公差が出る。間の数は「8−3＝5」だよ！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

第 nn 項は a+nda+nd じゃなくて a+(n−1)da+(n-1)d！

  • 一般項を a+nda+nd にする：公差をたす回数は n−1n-1 回。n=1n=1 を入れて初項 aa に戻るか確かめましょう。
  • 項数をまちがえる：第5項から第20項までは 20−5+1=1620-5+1=16 項です（15項ではありません）。
  • 公差の符号を逆にする：10, 7, 4, … の公差は 7−10=−37-10=-3。「前−後ろ」で3としないように。
  • 末項までの項数を出さずに和を求める：1+3+⋯+991+3+\cdots+99 の項数は 99 ではなく 50 です。a+(n−1)d=99a+(n-1)d=99 を解くか、「（末項−初項）÷公差＋1」で数えます。
  • 「はじめて〇〇をこえる」で不等号を取りちがえる：ミニ問題3のように、nn が整数であることに注意して、答えの項とその1つ前の項を両方たしかめます。

ミニ問題

問題1　等差数列 3, 7, 11, ⋯3,\ 7,\ 11,\ \cdots の第15項を求めましょう。

答えと解き方を見る

59 です。初項 3、公差 4 なので、3+(15−1)×4=3+56=593+(15-1)\times4=3+56=59。

問題2　1+3+5+⋯+991+3+5+\cdots+99 を計算しましょう。

答えと解き方を見る

2500 です。1 から 99 までの奇数は (99+1)÷2=50(99+1)\div2=50 個。（初項＋末項）×項数÷2 で、(1+99)×50÷2=2500(1+99)\times50\div2=2500。奇数を1から順に nn 個たすと n2n^2 になる、という性質も分かります（502=250050^2=2500）。

問題3　初項 100、公差 −7-7 の等差数列で、はじめて負の数になるのは第何項ですか。

答えと解き方を見る

第16項 です。an=100−7(n−1)<0a_n=100-7(n-1)<0 より n−1>1007=14.28⋯n-1>\dfrac{100}{7}=14.28\cdots、だから n−1≥15n-1\ge15、n≥16n\ge16。たしかめ：a15=100−98=2a_{15}=100-98=2（まだ正）、a16=100−105=−5a_{16}=100-105=-5（負）。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

等差数列とは何ですか？

同じ数ずつ増えていく、または減っていく数列です。となりどうしの差を公差といいます。

等差数列の一般項はどう表しますか？

初項a、公差dのとき、第n項は a＋(n−1)d です。公差をたす回数が n−1 回だからです。

等差数列の和はどう求めますか？

（初項＋末項）×項数÷2 で求めます。逆の順に並べてたすと、どの組も「初項＋末項」になることから導けます。

公差が負になることはありますか？

あります。10, 7, 4, … のように減っていく数列の公差は −3 です。

項数はどう数えますか？

（末項−初項）÷公差＋1 で求めます。第5項から第20項までなら 20−5＋1＝16項です。

等差数列は何年生で習いますか？

高校の数学B（数列）で習います。中学受験の算数でも、規則的に並んだ数や植木算として同じ考え方が出ます。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学B（数列）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦