Σ（シグマ）とは？意味と読み方・計算をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

Σ（シグマ）とは？意味と読み方・計算をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

Σ（シグマ）とは

数列の和をまとめて書く記号です。∑k=1nak\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k は「kk を1から nn まで変えて aka_k を全部たす」、つまり a1+a2+⋯+ana_1+a_2+\cdots+a_n を表します。

読み方：しぐま／英語：summation (sigma notation)／習う学年：数学B（数列）

サクラちゃん

サクラちゃん

Σって、見ただけでむずかしそう…。

合格先生

合格先生

中身はただのたし算だよ。下の数から上の数まで、kk に順に数を入れて、全部たすだけなんだ。

この用語のポイント

  • Σ\Sigma は和をまとめて書く記号。下が始まり、上が終わり、右がたすもの
  • ∑k=1nc=nc\sum_{k=1}^{n}c=nc（定数は nn 回たす）。項数は n−m+1n-m+1
  • たし算と定数倍は分けられるが、かけ算は分けられない

やさしく言うと

Σ\Sigma（シグマ）は、たくさんのたし算を短く書く記号です。「番号 kk を1から5まで1つずつ変えて、kk を全部たす」を、∑k=15k\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k と1つにまとめて書きます。たとえで考えてみましょう。

  • レシートの「合計」：品物がいくつあっても、レシートの最後には「合計」が1行で書かれます。Σ\Sigma は、数学の「合計」の記号です。
  • 1か月の歩数：1日目から30日目までの歩数を全部たすとき、30個の数を並べて書く代わりに「1日目から30日目までの合計」と言えば一言ですみます。これを式にしたのが ∑k=130ak\displaystyle\sum_{k=1}^{30}a_k です。
  • 料理のレシピ：「材料を全部入れる」と書けば、1つずつ書かなくても伝わります。Σ\Sigma は「どこからどこまで、何を」を指定して、まとめてたす指示です。
5 Σ k＝1 k 終わりの番号（k＝5まで） たすもの（k の式） 始まりの番号（k＝1から） ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 15
∑k=15k\displaystyle\sum_{k=1}^{5}k は、k＝1 から 5 まで k をたす

まとめると、Σ\Sigma は「何を、どこからどこまでたすか」を1つの記号で表したものです。読み方は「シグマ k=1k=1 から 5 まで kk」などといいます。

Σの計算の例

○ 正しい計算

  • ∑k=142k=2+4+8+16=30\displaystyle\sum_{k=1}^{4}2^k=2+4+8+16=30
  • ∑k=13(2k+1)=3+5+7=15\displaystyle\sum_{k=1}^{3}(2k+1)=3+5+7=15
  • ∑k=1n3=3n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3=3n（3を nn 回たす）
  • ∑k=3101=8\displaystyle\sum_{k=3}^{10}1=8（項数は 10−3+110-3+1）
  • ∑k=1n5k=5∑k=1nk\displaystyle\sum_{k=1}^{n}5k=5\sum_{k=1}^{n}k（定数倍は外に出せる）

× よくあるまちがい

  • ∑k=1n3=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3=3（kk がなくても nn 回たす）
  • ∑k=3101=7\displaystyle\sum_{k=3}^{10}1=7（正しくは 8）
  • ∑akbk=∑ak×∑bk\displaystyle\sum a_kb_k=\sum a_k\times\sum b_k（かけ算は分けられない）
  • ∑k=1nk2=(∑k=1nk)2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2（2乗も分けられない）
  • ∑k=1n2k\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^k に 12n(n+1)\frac12n(n+1) の公式を使う（等比数列の和を使う）
指さして説明するうかるくん

うかるくん

kk に1, 2, 3, … を順に入れて、出てきた数を全部たせばいいんだね！

図で見る

k に順に数を入れる

Σ\Sigma の計算は、kk に数を入れて値を出す機械を、始まりから終わりまで動かして、出てきた値をたすことです。

Σ（k＝1〜4）(2k＋1) の計算 k＝12×1＋13＋k＝22×2＋15＋k＝32×3＋17＋k＝42×4＋19 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＝ 24
k＝1, 2, 3, 4 を入れて 3, 5, 7, 9。合計 24

奇数の和は平方数

∑k=1n(2k−1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1) は、1 から始まる奇数を nn 個たしたものです。正方形を L 字に分けると、答えが n2n^2 になることがひと目でわかります。

1 番目の L：1 個2 番目の L：3 個3 番目の L：5 個4 番目の L：7 個5 番目の L：9 個 合計 ＝ 5×5 ＝ 25 Σ（k＝1〜n）(2k−1) ＝ n²（奇数の和は平方数）
1＋3＋5＋7＋9＝25＝5²
サクラちゃん

サクラちゃん

Σの式を見ると、どこから手をつければいいのか迷っちゃいます…

合格先生

合格先生

まず k=1,2,3k=1,2,3 を入れて、最初の数項を書き出してみるといいよ。何をたしているのかが見えれば、等差か等比か、どの公式を使うかが決まるんだ。

よく使う公式と性質

和結果
∑k=1nc\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c（定数）ncnc
∑k=1nk\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k12n(n+1)\dfrac12n(n+1)
∑k=1nk2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^216n(n+1)(2n+1)\dfrac16n(n+1)(2n+1)
∑k=1nk3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3{12n(n+1)}2\left\{\dfrac12n(n+1)\right\}^2
∑k=1nrk−1\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}（r≠1r\ne1）rn−1r−1\dfrac{r^n-1}{r-1}

∑k=1nk=12n(n+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac12n(n+1) は、階段を2つ合わせて長方形にすると見えてきます。

12345 横 5 たて 6 青：1＋2＋3＋4＋5 橙：同じ階段を逆さに 合わせると 5×6＝30 和 ＝ 30÷2 ＝ 15 n 段なら n(n＋1)÷2
1＋2＋3＋4＋5 は、5×6 の長方形の半分で 15

また、たし算と定数倍は分けられます：∑(ak+bk)=∑ak+∑bk\displaystyle\sum(a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k、∑cak=c∑ak\displaystyle\sum ca_k=c\sum a_k。たとえば

∑k=1n(2k+1)=2⋅12n(n+1)+n=n2+2n\sum_{k=1}^{n}(2k+1)=2\cdot\frac12n(n+1)+n=n^2+2n

n=3n=3 を入れると 1515 で、上の例と一致します。n=4n=4 なら 2424 で、図の計算とも一致します。公式の証明は公式辞典「Σの公式」にあります。

項数の数え方

Σ\Sigma の下が 1 でないときは、項がいくつあるかに注意します。

k＝3 から k＝10 までの項の数は？ 8 個 12345678910 10 − 3 ＝ 7 は「間の数」。丸の数は 10 − 3 ＋ 1 ＝ 8 k＝m から n までの項数は n − m ＋ 1（植木算と同じ）
k＝3 から 10 までは 8 個。両はしをふくめるので＋1

k=mk=m から k=nk=n までの項数は n−m+1n-m+1 個です。木を植える「植木算」と同じで、ひき算だけでは「間の数」になってしまいます。

テスト・入試ではこう出る

Σ\Sigma は高校の数学B（数列）で習います。定期テストや大学入試では、公式を使って和を nn の式で表す問題、階差数列から一般項を求める問題（an=a1+∑k=1n−1bk\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k）、部分分数に分けて消し合う和などがよく出ます。

例題1（たし算に分ける）

∑k=1n(3k−1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k-1) を計算しなさい。

  1. たし算と定数倍に分ける：∑k=1n(3k−1)=3∑k=1nk−∑k=1n1\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k-1)=3\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}1
  2. 公式を使う：=3⋅12n(n+1)−n=3\cdot\dfrac12n(n+1)-n
  3. 整理する：=3n2+3n−2n2=3n2+n2=12n(3n+1)=\dfrac{3n^2+3n-2n}{2}=\dfrac{3n^2+n}{2}=\dfrac12n(3n+1)

答え　12n(3n+1)\dfrac12n(3n+1)（たしかめ：n=2n=2 のとき 2+5=72+5=7、12⋅2⋅7=7\dfrac12\cdot2\cdot7=7）

例題2（展開してから分ける）

∑k=1nk(k+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1) を計算しなさい。

  1. 展開する：k(k+1)=k2+kk(k+1)=k^2+k
  2. 分ける：∑k=1nk2+∑k=1nk=16n(n+1)(2n+1)+12n(n+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k=\frac16n(n+1)(2n+1)+\frac12n(n+1)
  3. 16n(n+1)\dfrac16n(n+1) でくくる：16n(n+1){(2n+1)+3}=16n(n+1)(2n+4)\dfrac16n(n+1)\{(2n+1)+3\}=\dfrac16n(n+1)(2n+4)
  4. =13n(n+1)(n+2)=\dfrac13n(n+1)(n+2)

答え　13n(n+1)(n+2)\dfrac13n(n+1)(n+2)（たしかめ：n=2n=2 のとき 2+6=82+6=8、13⋅2⋅3⋅4=8\dfrac13\cdot2\cdot3\cdot4=8）

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

答えが出たら n=1n=1 や n=2n=2 を入れて、書き出した和と一致するか確かめよう！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

∑k=1n3\sum_{k=1}^{n}3 は3じゃなくて 3n3n！

  • 定数の和を定数のままにする：∑k=1n3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3 は「3を nn 回たす」ので 3n3n です。式に kk がなくても、回数分たします。
  • 項数を数えまちがえる：k=mk=m から k=nk=n までの項数は n−m+1n-m+1 個です。k=3k=3 から 10 までなら 8個。
  • かけ算や2乗を分ける：∑akbk\displaystyle\sum a_kb_k は ∑ak×∑bk\displaystyle\sum a_k\times\sum b_k になりません。∑k2\sum k^2 も (∑k)2(\sum k)^2 とはちがいます。分けられるのは、たし算と定数倍だけです。
  • 等比数列に ∑k\sum k の公式を使う：∑2k\displaystyle\sum 2^k のように kk が肩（指数）にあるときは、等比数列の和の公式を使います。
  • 階差数列で終わりを nn にする：an=a1+∑k=1n−1bka_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k の終わりは n−1n-1 です。nn にすると1つ多くたしてしまいます。

記号の由来

Σ\Sigma はギリシャ文字の大文字のシグマで、アルファベットの S にあたります。「和」を表す英語 Sum の頭文字 S と覚えましょう。小文字の σ\sigma は、統計では標準偏差を表すのによく使われます。

ミニ問題

問題1　∑k=14(k2+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k^2+1) を計算しましょう。

答えと解き方を見る

34 です。k=1,2,3,4k=1,2,3,4 を入れると 2, 5, 10, 172,\ 5,\ 10,\ 17 で、たすと 2+5+10+17=342+5+10+17=34。分けて計算すると、∑k2=1+4+9+16=30\displaystyle\sum k^2=1+4+9+16=30 と ∑k=141=4\displaystyle\sum_{k=1}^{4}1=4 で、30+4=3430+4=34 と同じになります。

問題2　1+2+3+⋯+1001+2+3+\cdots+100 を Σ\Sigma を使って表し、その値を求めましょう。

答えと解き方を見る

∑k=1100k\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k で、値は 5050 です。公式 ∑k=1nk=12n(n+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac12n(n+1) に n=100n=100 を入れて、12×100×101=5050\dfrac12\times100\times101=5050。

問題3　∑k=1n2⋅3k−1\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2\cdot3^{k-1} を nn の式で表しましょう。

答えと解き方を見る

3n−13^n-1 です。

  1. 中身は 2, 6, 18, ⋯2,\ 6,\ 18,\ \cdots で、初項 2、公比 3 の等比数列の和。
  2. 等比数列の和の公式より 2(3n−1)3−1=3n−1\dfrac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1。

たしかめ：n=2n=2 なら 2+6=82+6=8、32−1=83^2-1=8 で一致します。等比数列のΣは、∑k\sum k の公式ではなく等比数列の和の公式を使います。

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

Σ（シグマ）とは何ですか？

数列の和をまとめて書く記号です。下に始まりの番号、上に終わりの番号、右にたすものを書きます。

Σ の上と下の数字は何を表しますか？

下の k＝1 は始まりの番号、上の n は終わりの番号です。k を1からnまで1つずつ変えて、右の式の値を全部たします。

定数のΣはどうなりますか？

k＝1からnまでの定数cの和は、cをn回たすので nc です。

Σk、Σk²、Σk³ の公式は？

Σk＝n(n＋1)/2、Σk²＝n(n＋1)(2n＋1)/6、Σk³＝{n(n＋1)/2}² です。いずれも k＝1 から n までの和です。

Σの中のかけ算は分けられますか？

分けられません。分けられるのはたし算と定数倍だけです。k(k＋1) のような式は、展開して k²＋k にしてから分けます。

なぜΣという記号を使うのですか？

Σはギリシャ文字の大文字シグマで、アルファベットのSにあたります。和を表す英語 Sum の頭文字Sにちなむと覚えるとよいでしょう。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学B（数列）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦