円柱・円錐とは？意味と体積・表面積をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

円柱・円錐とは？意味と体積・表面積をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

合格大作戦 数学用語辞典 › 図形

中学受験高校受験

円柱・円錐とは

円柱は、上と下に同じ大きさの円（底面）があり、まわりが曲面でかこまれた立体です。円錐は、円の底面 1 つから、1 つの頂点に向かってとがった立体です。体積は、円柱が πr2h\pi r^2h、円錐はその 13\dfrac13 です。

読み方：えんちゅう・えんすい／英語：cylinder / cone／習う学年：小学5年（円柱）・小学6年（円柱の体積）・中学1年（円錐）

まなぶくん

まなぶくん

円錐の高さって、ななめの線の長さですか？

合格先生

合格先生

ななめの線は母線というんだ。高さは、頂点から底面の中心へまっすぐ下ろした長さ。母線より短くなるよ。

この用語のポイント

  • 円柱 ＝ 底面が同じ円 2 つ、円錐 ＝ 底面の円1 つと頂点
  • 体積：円柱 πr2h\pi r^2h、円錐はその 1/3
  • 円錐の側面はおうぎ形。側面積 ＝ πrℓ\pi r\ell（ℓ\ell は母線）

やさしく言うと

円柱は、同じ大きさの円を、まっすぐ上に積み重ねたような立体です。円錐は、円の底から、上の 1 点に向かってとがっていく立体です。角柱・角すいの底面が、円になったものと考えることもできます。

  • 缶ジュース・のり（円柱）：上と下に同じ大きさの円があり、まわりがつつのようになっています。
  • アイスクリームのコーン・パーティーの三角ぼうし（円錐）：口のところが円で、先が 1 点にとがっています。
  • 工事現場のカラーコーン（円錐に近い形）：名前の「コーン」は、英語で円錐のことです。

まとめると、上と下が同じ円なら円柱、上がとがれば円錐です。どちらも、側面が曲がった面（曲面）になっているのが、角柱・角すいとのちがいです。

高さ 底面 側面 底面 高さ 母線 頂点 半径 底面 円柱円錐
円柱と円錐の部分の名前。円錐の母線は、頂点と底面の円周を結ぶ線
指さして説明するまなぶくん

まなぶくん

円錐のななめの線は「母線」。高さとは別ものなんだ！

円柱・円錐の例と、そうではないもの

○ 円柱・円錐

  • 缶ジュース・トイレットペーパーのしん（円柱）
  • 茶づつ・バウムクーヘンの外側の形（円柱）
  • アイスクリームのコーン（円錐）
  • 三角ぼうし（円錐）
  • 直角三角形を 1 辺のまわりに回した立体（円錐）

× 円柱・円錐ではないもの

  • えんぴつ（六角柱。底面が六角形）
  • ピラミッド（四角すい。底面が正方形）
  • ボール（球）
  • 紙コップ（上と下の円の大きさがちがう。円錐の先を切った形）
  • 底面がだ円の立体（円柱・円錐の底面は円）

紙コップやバケツは、円錐の先を、底面に平行に切り落とした形です。上と下の円の大きさがちがうので、円柱でも円錐でもありません（「円錐台」とよばれます）。

図で見る（回転体）

円柱と円錐は、平面の図形をくるっと 1 回転させてつくることもできます。このようにしてできる立体を回転体といいます。

1 回転 円柱 1 回転 円錐 赤い線：回転の軸
長方形を回すと円柱、直角三角形を回すと円錐
ハルちゃん

ハルちゃん

三角形を回すと、どうして先がとがるの？

合格先生

合格先生

軸の上にある頂点は、回しても動かないからだよ。軸からはなれた辺は大きな円をえがくけれど、軸の上の点はその場で回るだけ。だから、そこがとがった頂点になるんだ。

回転体では、軸からの距離が底面の半径に、軸の長さが高さになります。中学 1 年で回転体を学び、高校入試では「この図形を直線 ℓ のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい」という問題がよく出ます。

体積と表面積

底面の半径を rr、高さを hh、円錐の母線を ℓ\ell とすると、次のようになります。

体積側面積表面積
円柱πr2h\pi r^2h2πrh2\pi rh2πrh+2πr22\pi rh+2\pi r^2
円錐13πr2h\dfrac13\pi r^2hπrℓ\pi r\ellπrℓ+πr2\pi r\ell+\pi r^2

円錐の体積は、同じ底面・同じ高さの円柱の 13\dfrac13 です。角柱と角すいの関係と同じです。

底面も高さも同じ 円柱 πr²h 円錐 1/3×πr²h 円錐の入れ物 3 ぱい分の水で、円柱がいっぱいになる
円錐の体積は、同じ底面・同じ高さの円柱の 1/3

円錐の側面を開くと、半径が母線 ℓ\ell のおうぎ形になります。おうぎ形の弧の長さは底面の円周 2πr2\pi r と同じなので、側面積は πℓ2×2πr2πℓ=πrℓ\pi\ell^2\times\dfrac{2\pi r}{2\pi\ell}=\pi r\ell と求められます。

216° 母線 5cm 3cm 底面（縮小） 中心角 ＝ 360°×3÷5 ＝ 216° 側面積 ＝ π×（半径）×（母線）＝ π×3×5 ＝ 15π cm²
円錐の側面はおうぎ形。側面積は π×半径×母線

テスト・入試ではこう出る

円柱は小学 5 年、円柱の体積は小学 6 年、円錐とその体積・表面積は中学 1 年で習います。テストでは、体積・表面積の計算、円錐の展開図の中心角、回転体の体積がよく出ます。中学受験では、円柱の容器に入れた水の高さの問題などでも使います。

例題1（円柱の表面積と体積）

底面の半径が 5cm、高さが 8cm の円柱の表面積と体積を求めなさい。円周率は π\pi とします。

  1. 側面の長方形の横は、底面の円周 2π×5=10π2\pi\times5=10\pi（cm）。たては高さの 8cm。側面積は 10π×8=80π10\pi\times8=80\pi（cm²）。
  2. 底面は 2 つで、π×52×2=50π\pi\times5^2\times2=50\pi（cm²）。
  3. 表面積は 80π+50π=130π80\pi+50\pi=130\pi（cm²）。体積は π×52×8=200π\pi\times5^2\times8=200\pi（cm³）。

答え　表面積 130π130\pi cm²、体積 200π200\pi cm³

例題2（回転体）

直角をはさむ 2 辺が 3cm と 4cm、ななめの辺が 5cm の直角三角形を、4cm の辺を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。円周率は π\pi とします。

  1. 4cm の辺を軸にすると、軸が高さ（4cm）、もう 1 つの直角をはさむ辺 3cm が底面の半径になる円錐ができる。
  2. 体積は 13×π×32×4=12π\dfrac13\times\pi\times3^2\times4=12\pi（cm³）。
  3. （くらべてみよう）3cm の辺を軸にすると、半径 4cm・高さ 3cm で、13×π×42×3=16π\dfrac13\times\pi\times4^2\times3=16\pi（cm³）。軸を変えると体積が変わる。

答え　12π12\pi cm³（ななめの 5cm の辺は母線になります）

43 4cm の辺が軸半径 3・高さ 4体積 12π 34 3cm の辺が軸半径 4・高さ 3体積 16π
どの辺を軸にするかで、できる円錐の半径と高さが入れかわる
ひらめいたハルちゃん

ハルちゃん

軸の長さが高さ、軸からのきょりが半径。回す前の図で読みとればいいんだね！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

円錐の体積は 1/3、側面積は πrℓ。高さと母線をまちがえないでね！

  • 円錐の体積の 13\dfrac13 を忘れる：πr2h\pi r^2h のままだと円柱の体積です。円錐は必ず 13\dfrac13 をかけます。
  • 母線と高さを取りちがえる：母線は頂点から底面の円周までのななめの長さ、高さは頂点から底面の中心まで垂直に下ろした長さです。母線のほうが長くなります（ℓ2=r2+h2\ell^2=r^2+h^2）。
  • 円錐の側面積を 2πrℓ2\pi r\ell とする：正しくは πrℓ\pi r\ell です。円柱の側面積 2πrh2\pi rh と形がにているので、まざらないように気をつけましょう。
  • 表面積で底面の数をまちがえる：円柱の底面は 2 つ、円錐の底面は 1 つです。
  • 直径をそのまま半径に使う：「直径 10cm の円柱」なら、半径は 5cm です。πr2\pi r^2 には半径を入れます。

ことばの由来

「円柱」は円の柱、「円錐」は円の錐（きり）という意味です。錐は、穴をあける先のとがった道具のことです。「錐」の字はむずかしいので、教科書では「円すい」とひらがなで書くこともあります。

英語では、円柱を cylinder（シリンダー）、円錐を cone（コーン）といいます。アイスクリームの「コーン」と同じ言葉です。

ミニ問題

問題1　底面の半径が 4cm、高さが 9cm の円柱と、底面の半径が 4cm、高さが 9cm の円錐があります。それぞれの体積を求めましょう。円周率は π\pi を使いましょう。

答えと解き方を見る

円柱は 144π144\pi cm³、円錐は 48π48\pi cm³ です。

  1. 底面積はどちらも π×42=16π\pi\times4^2=16\pi（cm²）。
  2. 円柱：16π×9=144π16\pi\times9=144\pi（cm³）。
  3. 円錐：13×16π×9=48π\dfrac13\times16\pi\times9=48\pi（cm³）。円柱のちょうど 13\dfrac13 です。

問題2　底面の半径が 3cm、高さが 4cm の円錐の母線の長さを求めましょう。

答えと解き方を見る

5cm です。高さ・底面の半径・母線は、直角三角形をつくります（高さと半径が直角をはさむ辺、母線がななめの辺）。三平方の定理より、母線 =32+42=25=5=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5（cm）。三平方の定理は中学 3 年で習います。

問題3　底面の半径が 2cm、母線が 6cm の円錐の表面積を求めましょう。円周率は π\pi を使いましょう。

答えと解き方を見る

16π16\pi cm² です。

  1. 側面積 ＝ π×\pi\times 半径 × 母線 ＝ π×2×6=12π\pi\times2\times6=12\pi（cm²）。
  2. 底面積 ＝ π×22=4π\pi\times2^2=4\pi（cm²）。円錐の底面は 1 つだけ。
  3. 表面積 ＝ 12π+4π=16π12\pi+4\pi=16\pi（cm²）。

たしかめ：おうぎ形の中心角は 360∘×26=120∘360^\circ\times\dfrac26=120^\circ で、面積は π×62×120360=12π\pi\times6^2\times\dfrac{120}{360}=12\pi と、側面積に合います。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

円柱とは簡単にいうと何ですか？

上と下に同じ大きさの円があり、まわりが曲がった面でかこまれた立体です。缶ジュースのような形です。

円錐とは簡単にいうと何ですか？

円の底面から、1つの頂点に向かってとがった立体です。アイスクリームのコーンのような形です。

円錐の体積の公式は？

3分の1×π×半径×半径×高さです。同じ底面・同じ高さの円柱の体積の3分の1です。

母線とは何ですか？

円錐の頂点と、底面の円周上の点を結んだ線分です。高さとはちがい、ななめの長さです。

円錐の側面積はどう求めますか？

π×底面の半径×母線で求めます。側面を開くと、半径が母線のおうぎ形になることから導けます。

円柱・円錐は何年生で習いますか？

円柱は小学5年、円柱の体積は小学6年、円錐は中学1年で習います。

出典・参考

  • 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第5学年 B 図形（角柱と円柱）・第6学年 B 図形（体積）
  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（空間図形）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦