合格大作戦 数学用語辞典 › 図形
中学受験高校受験
展開図とは
立体の表面を、辺にそって切り開き、1 まいの平面に広げた図です。立方体の展開図は 11 種類あり、円柱の側面は長方形、円錐の側面はおうぎ形になります。
まなぶくん
展開図って、どの辺を切ればいいのか、わからなくなります。
合格先生
6 つの面がつながったままなら、どの辺を切ってもいいんだ。だから立方体の展開図は 11 種類もある。組み立てたとき重なりもすき間もないことが大事だよ。
この用語のポイント
- 展開図 ＝ 立体の表面を切り開いて 1 まいに広げた図
- 立方体の展開図は 11 種類。田の字があれば×
- 円柱の側面の横・円錐のおうぎ形の弧 ＝ 底面の円周
やさしく言うと
展開図は、立体の表面を辺にそって切り開き、1 まいの平らな紙のように広げた図です。組み立てれば、もとの立体にもどります。
- おかしの箱：箱ののりしろをはがして広げると、1 まいの紙になります。その形が、箱（直方体）の展開図です。
- 牛乳パック：はさみで辺を切って開くと、長方形がつながった形になります。リサイクルに出すときに見たことがあるかもしれません。
- トイレットペーパーのしん：まっすぐに 1 本切ると、長方形になります。円柱の側面を開くと長方形になる、ということです。
まとめると、展開図は「立体の表面を、つながったまま 1 まいに広げた図」です。
まなぶくん
箱を開くと展開図、展開図を組み立てると箱。行ったり来たりできるんだ！
展開図になるもの・ならないもの
○ 展開図になる
- 十字形にならんだ 6 つの正方形（立方体）
- 長方形 1 つと、その上下に円 2 つ（円柱）
- おうぎ形 1 つと円 1 つ（円錐）
- 長方形 3 つと三角形 2 つ（三角柱）
- 正方形 1 つと、そのまわりの二等辺三角形 4 つ（正四角すい）
× 展開図にならない
- 正方形 6 つが一列にならんだ形（巻くと 4 面が重なり、2 面が足りない）
- 正方形が 4 つ集まって田の字になる形をふくむもの（重なる面ができる）
- 正方形 5 つだけの形（面が 1 つ足りない）
- 円柱で、長方形の横の長さが底面の円周と合わないもの
- 面がばらばらで、つながっていない図（展開図は 1 まいにつながっている）
展開図は、面の数と形が合っているだけでは足りません。組み立てたとき、重なる面がなく、すき間もないことが必要です。また、となり合う辺の長さがぴったり合っていなければいけません。
図で見る
同じ立方体でも、どの辺を切るかによって、ちがう形の展開図ができます。回したり裏返したりして重なるものを 1 つと数えると、立方体の展開図は全部で 11 種類あります。
ハルちゃん
11 種類もあるなんて、全部おぼえるのは大変そう…。
合格先生
全部まる暗記しなくても大丈夫。田の字（2×2）の形がふくまれていたら×、一列に 5 つ以上ならんでいたら×、と覚えておくと、まちがった展開図をすぐ見分けられるよ。
立方体の辺は 12 本です。展開図では、6 つの面をつなぐ辺が 5 本のこり、切り開いた辺は 7 本です（）。どの展開図でも、この数は同じです。
向かい合う面・重なる辺の見つけ方
展開図の問題でいちばんよく出るのは、「組み立てたとき、どの面とどの面が向かい合うか」です。見つけ方のコツは 2 つあります。
- 一列にならんだ面は、1 つとばしが向かい合う：横に「前・右・後」とならんでいたら、前と後が向かい合います。
- まよったら、1 つの面を底にして組み立てる：底のとなりの面を立てて、のこりの面がどこに来るかを順に考えます。
もう 1 つ大事なのが、「組み立てたとき、どの辺とどの辺が重なるか」です。直角に曲がるところでは、そのかどをはさむ 2 本の辺が重なります。サイコロの目（向かい合う目の和が 7）や、立方体の表面にひいた線の問題で使います。
| 立体 | 展開図の面 | ポイント |
|---|---|---|
| 立方体 | 正方形 6 つ | 11 種類。向かい合う面は 3 組 |
| 直方体 | 長方形 6 つ（同じ形が 2 つずつ） | 向かい合う面は同じ大きさ |
| 角柱 | 底面 2 つ＋側面（長方形） | 側面の横の長さの合計 ＝ 底面のまわりの長さ |
| 円柱 | 円 2 つ＋長方形 1 つ | 長方形の横 ＝ 底面の円周 |
| 角すい | 底面 1 つ＋三角形 | 三角形の数 ＝ 底面の辺の数 |
| 円錐 | 円 1 つ＋おうぎ形 1 つ | おうぎ形の弧 ＝ 底面の円周、半径 ＝ 母線 |
円柱と円錐の展開図
まるい面（曲面）をふくむ立体も、展開図にかけます。円柱の側面は、切り開くと長方形になります。長方形の横の長さは、底面の円のまわりにぐるっと巻きつくので、底面の円周と同じです。
円錐の側面は、切り開くとおうぎ形になります。おうぎ形の半径は円錐の母線（頂点から底面の円周までの長さ）で、弧の長さは底面の円周と同じです。このことから、おうぎ形の中心角が求められます。
テスト・入試ではこう出る
立方体・直方体の展開図は小学 4 年、角柱・円柱の展開図は小学 5 年、角すい・円錐の展開図は中学 1 年で習います。テストでは、「展開図になるものを選ぶ」「向かい合う面・重なる辺を答える」「円錐の展開図の中心角を求める」問題がよく出ます。中学受験や高校入試では、展開図の上に線をひいて、立体の表面を通る最短の長さを求める問題も出ます（展開図の上では、最短の道はまっすぐな線になります）。
例題1（向かい合う面）
下の展開図を組み立てて立方体を作ります。面ウと向かい合う面はどれですか。
- どれか 1 つの面を底にして、組み立てるようすを考える。ここではエを底にする。
- エととなり合うア・ウ・オは、立てると横の面になる。ウは左、オは前、アは後ろの面。
- ウにつながるイは、ウを立てるといっしょに上に来て、ふた（エと向かい合う面）になる。
- オの右につながるカは、オを立てると右の面になる。左の面ウと向かい合う。
答え カ（ほかに、アとオ、イとエも向かい合います）
例題2（円錐の中心角）
母線の長さが 12cm、底面の半径が 4cm の円錐があります。この円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求めなさい。
- おうぎ形の弧の長さは、組み立てると底面の円周にぴったり重なるので、底面の円周と同じ。（cm）。
- おうぎ形の半径は母線の 12cm。半径 12cm の円の円周は （cm）。
- 弧の長さは円周の なので、中心角は 。
答え （側面積は cm²）
ハルちゃん
弧の長さが底面の円周と同じ。これさえ覚えれば中心角が出せるね！
まちがえやすい点
合格先生
円錐のおうぎ形の半径は母線！ 底面の半径とまちがえないでね。
- 田の字をふくむ形を、立方体の展開図だと思う：正方形 4 つが 2×2 に集まると、組み立てたときに 1 つの頂点のまわりに 4 つの面が集まってしまい、重なります。立方体の 1 つの頂点に集まる面は 3 つだけです。
- 円錐のおうぎ形の半径を、底面の半径にする：おうぎ形の半径は母線です。母線 12cm・底面の半径 4cm なら、おうぎ形の半径は 12cm です。
- 円柱の側面の横の長さを、直径にする：横の長さは底面の円周です。半径 3cm なら、直径の 6cm ではなく、 cm（約 18.84cm）です。
- 展開図でとなりの面は、組み立ててもとなりだと思う：逆に、展開図ではなれている面が、組み立てるととなりになることもあります。重なる辺をたしかめながら考えましょう。
ことばの由来
展開は、「展（ひろげる）」と「開（ひらく）」を合わせた言葉です。立体をひらいてひろげた図なので、展開図といいます。
英語では、多面体の展開図を net（ネット）といいます。
ミニ問題
問題1 立方体の展開図は、全部で何種類ありますか。（回転させたり裏返したりして重なるものは、同じ 1 種類と数えます。）
答えと解き方を見る
11 種類です。まん中に 4 つ並ぶ形が 6 種類、3 つ並ぶ形が 3 種類、3 つと 3 つが段ちがいの形が 1 種類、2 つずつ階段になった形が 1 種類です。どの展開図も、切り開いた辺は 7 本、つながったままの辺は 5 本です。
問題2 底面の半径が 2cm、高さが 6cm の円柱の展開図をかきます。側面の長方形の横の長さと、側面の面積を求めましょう。円周率は を使いましょう。
答えと解き方を見る
横の長さは cm、側面の面積は cm² です。
- 側面の横の長さは、底面の円周と同じ：（cm）。
- たては高さの 6cm。面積は （cm²）。
小学校の書き方なら、横は cm、面積は cm² です。
問題3 母線の長さが 10cm、底面の半径が 6cm の円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求めましょう。
答えと解き方を見る
です。
- おうぎ形の弧の長さ ＝ 底面の円周 ＝ 。
- 半径 10 の円の円周は 。弧はその 。
- 中心角は 。
近道：中心角 ＝ です。
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
展開図とは簡単にいうと何ですか？
立体の表面を辺にそって切り開き、1枚の平らな紙のように広げた図です。組み立てるともとの立体にもどります。
立方体の展開図は何種類ありますか？
11種類です。回転させたり裏返したりして重なるものは、同じ1種類と数えます。
立方体の展開図にならない形の見分け方は？
正方形4つが田の字に集まる部分がある形や、一列に5つ以上ならぶ形は、組み立てると面が重なるので展開図になりません。
円柱の展開図の長方形の横の長さは？
底面の円周と同じです。底面の半径が3cmなら、6π cm（約18.84cm）です。
円錐の展開図の中心角はどう求めますか？
おうぎ形の弧の長さが底面の円周と同じことを使います。中心角は、360度×底面の半径÷母線で求められます。
展開図は何年生で習いますか？
立方体・直方体は小学4年、角柱・円柱は小学5年、角すい・円錐は中学1年で習います。
出典・参考
- 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第4学年・第5学年 B 図形（立体図形）
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（空間図形）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
