表面積とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

まなぶくん

表面積と体積って、どうちがうんですか？

合格先生

体積は立体のかさ（cm³）。表面積は立体をつつむ紙の広さ（cm²）だよ。展開図をかいて、その面積を全部たせば表面積になるんだ。

やさしく言うと

表面積は、立体の表面全部の面積です。立体を紙でぴったりつつむとき、必要な紙の広さと考えるとわかりやすいです。

• プレゼントの箱をつつむ：のりしろを考えないと、箱の 6 つの面の広さを全部たした分の包み紙が必要です。これが箱の表面積です。
• ペンキをぬる：犬小屋の外側にペンキをぬるとき、ぬる面の広さの合計が表面積です。広いほど、ペンキがたくさんいります。
• 缶のラベルとふた：缶ジュースの表面は、まわりのラベル（側面）と、上と下のふた（底面）でできています。

まとめると、表面積は「展開図の面積」です。立体を切り開いて平らにすると、表面全部が 1 まいの図形になるので、その面積を求めればよいのです。

まなぶくん

展開図にすれば、面積をたすだけ！ 表面積は展開図の面積なんだ。

表面積の例と、まちがった例

図で見る

角柱や円柱の表面積は、側面積 ＋ 底面積 × 2、角すいや円錐は側面積 ＋ 底面積です。円柱の側面は、開くと長方形になります。長方形の横の長さは、底面の円周と同じです。

ハルちゃん

円柱の側面って、まるいのに長方形になるの？

合格先生

トイレットペーパーのしんを、まっすぐ 1 本切って開いてごらん。長方形になるよね。その横の長さは、しんの口の円の円周と同じなんだ。

円錐の側面は、開くとおうぎ形になります。おうぎ形の半径は母線、弧の長さは底面の円周です。側面積は「$\pi\times$ 底面の半径 × 母線」で求められます。

積み木の表面積

立方体を積み重ねた立体の表面積は、6 つの向き（前・後ろ・上・下・左・右）から見える正方形の数を数えると、すばやく求められます。前と後ろ、上と下、左と右は、それぞれ同じ数になります。

体積が同じでも、形によって表面積はちがいます。1cm³ の立方体 8 こで、たて 2・横 2・高さ 2 の立方体を作ると表面積は 24cm² ですが、一列にならべて 1×1×8 の直方体にすると $(1\times1+1\times8+1\times8)\times2=34$ cm² になります。まとまった形ほど表面積は小さく、細長い形ほど大きいのです。寒いときにねこが体をまるめるのは、外に出る面を小さくして、熱をにがさないためだといわれます。

ただし、この方法が使えるのは、外から見えないくぼみやトンネルがないときだけです。穴があいている立体では、穴の内側の面も表面積に入ります。立方体を 2 こくっつけると、くっついた所の 2 面が表面から消えるので、表面積は $6+6-2=10$ 面分になります。

テスト・入試ではこう出る

表面積は中学 1 年の空間図形で習います。テストでは、角柱・円柱・角すい・円錐・球の表面積、円錐の展開図とあわせた問題がよく出ます。中学受験では、積み木の表面積、穴をあけた立体の表面積、立体を切ったときにふえる面積などの問題がよく出ます。

ハルちゃん

穴をあけると表面積はふえることもあるんだね。内側の面を忘れないようにしよう！

まちがえやすい点

合格先生

円柱の底面は2 つ、円錐の底面は1 つ！ 数をまちがえないでね。

• 底面の数をまちがえる：角柱・円柱の底面は 2 つ、角すい・円錐の底面は 1 つです。円柱の表面積で底面を 1 つしかたさないまちがいが多いです。
• 体積と表面積の単位をまぜる：表面積は面積なので cm²、体積は cm³ です。
• 円柱の側面の横の長さを直径にする：横の長さは底面の円周（$2\pi r$）です。
• くっついた面や、穴の内側の面を数えまちがえる：くっついた面は表面に出ないので引きます。穴の内側の面は表面に出るので足します。
• 円錐の側面積に、高さを使う：側面積 $\pi r\ell$ の $\ell$ は母線です。高さ $h$ を入れてはいけません。

ことばの由来

表面積は「表面の面積」という意味です。側面積は側面の面積、底面積は底面の面積です。英語では surface area（サーフェス エリア）といいます。surface は「表面」、area は「面積」という意味です。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 立体の表面積（角柱・円柱・角錐・円錐）
• 錐体（円錐・角錐）の体積と表面積
• 球の体積と表面積の公式
• 円すいの展開図

あわせて覚えたい用語

• 展開図
• 体積
• 円柱・円錐

よくある質問