サーストンは何をした人？業績をわかりやすく｜幾何化予想・8つの幾何・フィールズ賞・3次元多様体

ウィリアム・サーストンは何をした人？（業績をひとことで）

ウィリアム・サーストン（William Paul Thurston、1946〜2012）は、アメリカの数学者です。3次元の空間の形（3次元多様体）を調べる分野で革命を起こし、1982年に数学界の最高の賞であるフィールズ賞を受けました。

サーストンの最大の仕事は、「3次元の空間は、8種類の幾何のどれかを持つ部品に切り分けられる」という幾何化予想（1982年）です。この予想は、ポアンカレ予想をふくむ、より大きな予想でした。2002〜2003年にペレルマンが証明して、ポアンカレ予想も同時に解決されました。

サーストンは、図や模型や頭の中のイメージを使って考えることで知られ、数学の進歩とは、人々の「理解」が深まることだという考え方を大切にしました。この記事では、ロバチェフスキーの非ユークリッド幾何から、ポアンカレ、ペレルマンへの流れの中に、サーストンを置いて説明します。

うかるくん

3次元の形って、私たちが住んでいる空間のことですよね。それを調べるのに、どうして「8種類」とか難しい話になるんですか？

合格先生

いい質問だね。実は「宇宙全体は、どんな形をしているのか」という大きな問いにもつながる話なんだ。サーストンは、図形を「ゆがみ方」で整理すると、3次元の形がすっきり分類できると考えたんだよ。

ウィリアム・サーストンの生涯と年表

ここでは、MacTutor（セント・アンドルーズ大学の数学史の資料）やアメリカ数学会などの公式な紹介で確かめられる事実を書きます。

ワシントンに生まれ、フロリダの小さな大学へ

サーストンは1946年10月30日、アメリカの首都ワシントンD.C.で生まれました。大学は、フロリダ州サラソタにあるニュー・カレッジで、1967年に学士の学位を受けています。

バークレーで博士の学位

大学院は、カリフォルニア大学バークレー校です。モリス・ハーシュ（そしてスティーブン・スメール）のもとで研究し、1972年に博士の学位を受けました。題は「円束である3次元多様体上の葉層構造」で、円周を束ねた形の3次元多様体に、葉層構造がどのように作れるかを調べた仕事です。

教授として

1972〜73年にプリンストン高等研究所に滞在し、1973年にMIT（マサチューセッツ工科大学）の助教授、1974年にプリンストン大学の教授になりました。1991年にバークレーに戻り、1990年代には数学科学研究所（MSRI）の所長も務めました。2003年にはコーネル大学の教授になっています。

フィールズ賞と、その後

1982年、サーストンはフィールズ賞を受けました（授賞式は、ワルシャワで開かれた1983年の国際数学者会議）。1976年にはアメリカ数学会のヴェブレン賞（幾何学）、1979年にはウォーターマン賞を受けています。1978年のプリンストン大学の講義ノートは、世界中の数学者に読まれ、3次元多様体の研究の道しるべになりました。このノートをもとにした本『Three-Dimensional Geometry and Topology』（1997年）は、2005年にアメリカ数学会の賞を受けています。サーストンは2012年8月21日に、アメリカ・ニューヨーク州ロチェスターで亡くなりました。65歳でした。

ウィリアム・サーストンの主な業績をやさしく解説

ウィリアム・サーストンの名前がつく公式・定理・用語

• 幾何化予想（サーストンの幾何化予想）：3次元多様体を8つの幾何で分類する予想。ペレルマンが証明。
• サーストンの8つの幾何：3次元球面、ふつうの空間、双曲空間など8つのモデル。
• 双曲化定理：ハーケン多様体が双曲幾何を持つという定理。
• サーストン・ノルム：3次元多様体の中の曲面の複雑さを測る道具（1986年）。
• オービフォールド：折りたたまれた空間。名前はサーストンの講義で決まったとされます。
• 擬アノソフ写像（サーストン分類）：曲面の写像を3種類に分ける理論。
• サーストンの葉層構造の定理・円周の写像のはなし：葉層構造の存在を示した結果。

三平方の定理は平らな面の幾何の基本で、球面や双曲面では形が変わります。公式の一覧は数学の公式辞典、用語は数学用語辞典を使ってください。曲がった空間の言葉は、展開図（立体を平面に開く）や球の性質から入ると近づきやすくなります。

合格先生

「図で考える」ことが、サーストンの数学のカギだよ。式を並べる前に、まず絵に描いてみる。入試の図形問題でも、ていねいな図が解き方の半分だと思ってね。

ウィリアム・サーストンの逸話と名言

ここでは、伝記や追悼文などで語られている話を紹介します。確かめられない話は、そう書き添えます。

プリンストンの講義ノートは「読まれすぎた」

サーストンが1978年から数年間行ったプリンストン大学の講義は、手書きのノートとしてコピーされ、世界中の数学者に回し読みされたと伝えられます。正式な本になるのは1997年（第1巻）で、20年近くも、このノートが3次元の幾何の「教科書」の役目を果たしていたことになります。

「理解すること」が数学

サーストンは、論文の中で、数学の進歩は「定理を証明する」ことだけでなく、人の「理解」が進むことだと強く述べました。1994年のアメリカ数学会の会報に載せた文章『On Proof and Progress in Mathematics』は、数学とは何かを考えるときによく引用されます。

数学が生みだすものは、明快さと理解である。定理そのものではない。

なお、「数学とは、数や式や計算のことではなく、理解することだ」という言い方でも広く知られていますが、こちらは出典が確かめられていないので、サーストン本人の言葉としては紹介しません。

球面の裏返し「Outside In」

サーストンは、球面を穴をあけず、折り目もつけずに、裏返す方法の考え方でも知られます（球面の反転）。その様子を映像にした「Outside In」は、1994年に制作されたCGの教育映像として有名です。図形を頭の中で動かし、人に見せる、という彼らしい仕事です。

弟子への接し方

多くの数学者が、サーストンを「学生にも同僚にも、自分のアイデアを惜しまずに渡した人」と回想しています。その気前のよさが、3次元多様体の研究を一気に広げた、とも言われます。

サクラちゃん

「理解すること」が数学……。入試だと、どうしても「正解すること」を考えてしまいます。

合格先生

そうだね。でも、理解して解いた問題は、次に忘れにくいんだ。サーストンの言葉は、「なぜそうなるのか」を考えることが、結局は一番の近道だと教えてくれるよ。

受験・勉強とウィリアム・サーストンのつながり

中学受験・高校受験との関係

三角形の内角の和が180°になることは、平行線と角・三角形の内角の和で習います。実はこれは「平らな面」だけの性質で、球面（地球の表面）では成り立ちません。大きな三角形を地球上に描くと、内角の和は180°をこえます。立体の展開図は立方体の展開図（11種類・向かい合う面）、オイラーの多面体定理（頂点−辺＋面）は、サーストンの3次元の話の入口にもなります。

身近な例もあります。東京からニューヨークへの飛行機の経路を、ふつうの世界地図の上で見ると、まっすぐではなく、北へふくらんだ曲線に見えます。これは、地球が球面で、球面の上の「最短の道」（大円）が、平らな地図ではまがって見えるからです。平らな面の「直線」と、球面の「直線」は、ちがう性質を持っています。サーストンの幾何は、この考え方を3次元の空間そのものに広げたものと言えます。

うかるくん

地球の上で三角形を描くと、内角の和が180°をこえるなんて、知りませんでした。じゃあ、ほんとうの宇宙の三角形は、どうなっているんでしょう？

合格先生

それは、天文学者や物理学者が今も調べている大きな問題だよ。私たちの身の回りでは、ほぼ180°に見えるけれど、宇宙の大きなスケールでは分からない。空間がどんな幾何を持つかは、数学の問いであり、宇宙の問いでもあるんだ。

大学受験との関係

• 空間図形・ベクトル：空間ベクトルと座標は、3次元の空間を数で扱う基本です。
• 球と立体の体積：球の体積と表面積の公式、回転体の体積は、曲がった形を数で扱う練習です。
• 三角比・三角関数：球面の上の図形の計算に使われます。
• 複素数平面：複素数平面は、双曲幾何を平面に描くときにも使われます。

大学・大学院でつながる分野

位相幾何学（トポロジー）、微分幾何学、群論、力学系などです。「サーストンの3次元多様体」と聞くと難しそうですが、土台は、図形の性質を調べるという中学・高校の幾何の延長にあります。入試の図形問題の練習も数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）を参考にしてください。京都大学の図形・空間の問題は京大理系数学の出題分析も役立ちます。

勉強法として：図に描いて、手で動かす

サーストンは、紙を折ったり、模型を作ったり、手を動かして考えたと伝えられます。頭の中だけで考えず、体を使って形をつかむ、ということです。図形の問題でも、図を大きくていねいに描き、実際に動かして確かめる習慣が、力になります。

ウィリアム・サーストンがその後の数学にあたえた影響

• ポアンカレ予想の解決（流れは下の図）：ペレルマンは、ポアンカレの予想と、サーストンの幾何化予想を、リッチフローという方法で証明しました（2002〜03年）。サーストンの予想は、この証明の「ゴール」を決めた、と言えます。
• 3次元多様体論の一新：双曲幾何を使った新しい見方で、3次元の形の研究は大きく進みました。
• 結び目理論：結び目の外側の空間を、双曲幾何で調べる方法が標準になりました。
• 幾何学的群論・力学系：曲面の写像の分類は、のちの研究の土台になっています。
• 「理解を重んじる」数学観：数学の進歩とは何かという議論に、今も大きな影響を与えています。

ポアンカレ予想は、100年近く、数学者たちを悩ませました。1960年代には5次元以上の場合が、1980年代には4次元の場合が解決されたのに、いちばん身近なはずの3次元は最後まで残りました。サーストンの幾何化予想は、この3次元の問題に、「幾何で分類する」という新しい道を開いたのです。リチャード・ハミルトンが1982年に導入した「リッチフロー」（形を熱が広がるように変化させる方法）が、のちにペレルマンの証明に使われました。

ポアンカレ予想とは？では、予想の中身と、ペレルマンの証明のあらましを説明しています。ガウスの業績と生涯が考えた曲面の曲がり方から、サーストンの幾何化まで、曲がった空間の研究は、長い歴史の上に成り立っています。

ウィリアム・サーストンに挑戦！練習問題

ウィリアム・サーストンと関係する数学者・難問

• ペレルマン（ポアンカレ予想・幾何化予想の証明）：サーストンの幾何化予想を証明した数学者です。
• ポアンカレ（ポアンカレ予想）：3次元球面の特徴づけを予想した数学者です。
• ロバチェフスキー（非ユークリッド幾何）：双曲幾何の発見者のひとりです。
• リーマン（曲がった空間の幾何）：多様体の考え方を整えました。
• コンウェイ（群と対称性）：サーストンのオービフォールドの考えを、対称性の分類に活かしました。
• ミルザカニ（曲面のモジュライ空間）：サーストンの曲面の理論を受けついだ数学者です。

ポアンカレ予想とは？と平行線公準の問題では、サーストンの仕事の前後の歴史を説明しています。公式を調べるなら算数・数学の公式一覧（公式辞典）、数学用語は数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）、ノーベル賞と数学の関係はノーベル賞と数学が便利です。

現代（1940年以降生まれ）の数学者

• 柏原正樹の業績と生涯
  D加群・結晶基底。2025年アーベル賞
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