複素数平面とは？実軸・虚軸と絶対値をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

複素数平面とは？実軸・虚軸と絶対値をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

複素数平面とは

複素数 a+bia+bi を、座標平面の点 (a,b)(a,b) で表した平面です。横の軸を実軸、たての軸を虚軸といいます。3+4i3+4i は点 (3,4)(3,4) で、原点からの距離 ∣3+4i∣=5|3+4i|=5 が絶対値です。

読み方：ふくそすうへいめん／英語：complex plane／習う学年：数学C（複素数平面）

サクラちゃん

サクラちゃん

虚数って目に見えない数だと思っていました。平面にかけるんですか？

合格先生

合格先生

かけるよ。a+bia+bi を点 (a,b)(a,b) だと思えばいいんだ。すると、計算が「移動」や「回転」として目に見えるようになる。

この用語のポイント

  • a+bia+bi ↔ 点 (a,b)(a,b)。横が実軸、たてが虚軸
  • ∣z∣|z| は原点からの距離、∣z2−z1∣|z_2-z_1| は 2 点の距離
  • ii をかけると 90∘90^\circ 回転、共役は実軸について対称

やさしく言うと

複素数平面は、複素数 a+bia+bi を、座標平面の点 (a,b)(a,b) として目で見えるようにしたものです。数直線では実数しか表せませんが、平面を使うと、虚数もふくめた複素数を 1 つ 1 つの点として表せます。

  • 数直線を広げる：実数は数直線の上の点でした。複素数は「実数の部分」と「ii の部分」の 2 つの数でできているので、たて方向にもう 1 本の軸を足して平面にします。
  • 地図の住所：「東へ 3、北へ 4」の場所を 1 つの複素数 3+4i3+4i で表せます。2 つの数を 1 つの数にまとめて扱えるのが、複素数の便利なところです。
  • 回転のスイッチ：複素数平面では、ii をかけると点が原点のまわりに 90∘90^\circ 回ります。かけ算が「回転」という図形の動きになるのが、いちばんおもしろい点です。
実軸虚軸O 3＋4i 3−4i（共役） −2＋i 2i 5
3＋4i は点 (3, 4)。共役 3−4i は実軸について対称な点

まとめると、複素数 z=a+biz=a+bi を点 (a,b)(a,b) に対応させた平面が複素数平面です。横の軸を実軸、たての軸を虚軸といいます。「複素平面」「ガウス平面」とよばれることもあります。

複素数平面上の点の例

○ 正しい対応

  • 3+4i3+4i → 点 (3,4)(3,4)
  • −2+i-2+i → 点 (−2,1)(-2,1)
  • 55（実数）→ 実軸上の点 (5,0)(5,0)
  • 2i2i（純虚数）→ 虚軸上の点 (0,2)(0,2)
  • 00 → 原点 O
  • 3+4i‾=3−4i\overline{3+4i}=3-4i → 実軸について対称な点 (3,−4)(3,-4)

× まちがい

  • 3+4i3+4i を点 (3,4i)(3,4i) とする（座標は実数。ii はつけない）
  • 3+4i3+4i を点 (4,3)(4,3) とする（実部が横、虚部がたて）
  • 2i2i を実軸上の点 (2,0)(2,0) とする
  • ∣3+4i∣|3+4i| を 3+4=73+4=7 とする（距離は 32+42=5\sqrt{3^2+4^2}=5）
  • −z-z を実軸について対称な点とする（−z-z は原点について対称）

点の座標は、（実部, 虚部）の順です。虚部とは ii の係数のことで、3+4i3+4i の虚部は 4i4i ではなく 44 です。

図で見る

複素数平面では、複素数の計算が図形の動きになります。まず、たし算はベクトルのたし算と同じです。

実軸虚軸O z ＝ 3＋i w ＝ 1＋2i z＋w ＝ 4＋3i 実部どうし：3＋1＝4虚部どうし：1＋2＝3
(3＋i)＋(1＋2i)＝4＋3i。原点・z・z＋w・w は平行四辺形

次に、ii をかけると、原点のまわりに 90∘90^\circ 回転します。i(3+i)=3i+i2=−1+3ii(3+i)=3i+i^2=-1+3i で、点 (3,1)(3,1) が点 (−1,3)(-1,3) に移ります。

実軸虚軸O z ＝ 3＋i iz ＝ −1＋3i i²z ＝ −3−i i をかける ＝ 90° 回転
i をかけるたびに、原点のまわりに 90° 回る。i²z＝−z は 180° 回転
うかるくん

うかるくん

かけ算が回転になるなんて、ふしぎです！ どうしてですか？

合格先生

合格先生

i2=−1i^2=-1 を思い出そう。ii を 2 回かけると −1-1 倍、つまり反対向き（180∘180^\circ）になる。2 回で 180∘180^\circ なら、1 回で 90∘90^\circ と考えると、うまく合うよね。一般の複素数をかけたときの回転は、極形式で学ぶよ。

絶対値と距離

z=a+biz=a+bi の絶対値 ∣z∣|z| は、原点から点 zz までの距離です。三平方の定理から、次のようになります。

∣z∣=a2+b2,∣z∣2=zz‾|z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad |z|^2=z\overline{z}

2 点 z1z_1、z2z_2 の距離は ∣z2−z1∣|z_2-z_1| です。この考えを使うと、図形を複素数の式で表せます。

式表す図形
∣z−α∣=r|z-\alpha|=r点 α\alpha を中心とする半径 rr の円
∣z−α∣=∣z−β∣|z-\alpha|=|z-\beta|2 点 α\alpha、β\beta を結ぶ線分の垂直二等分線
z‾\overline{z}zz と実軸について対称な点
−z-zzz と原点について対称な点
izizzz を原点のまわりに 90∘90^\circ 回転した点
実軸虚軸O 1＋i2 1i |z−(1＋i)|＝2→ 円 |z−1|＝|z−i|→ 直線 y ＝ x
|z−(1＋i)|＝2 は円、|z−1|＝|z−i| は 2 点の垂直二等分線 y＝x
ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

∣z−α∣|z-\alpha| は「zz と α\alpha の距離」と読めば、図がすぐうかぶのね！

テスト・入試ではこう出る

複素数平面は、高校の数学C「複素数平面」で習います。絶対値と距離の計算、∣z−α∣=r|z-\alpha|=r などの式が表す図形、回転を使って正三角形や正方形の頂点を求める問題がよく出ます。大学入試では、図形の問題を複素数の計算で解く問題が大きな得点源です。

例題1（2 点間の距離）

複素数平面上の 2 点 z1=1+2iz_1=1+2i、z2=4−2iz_2=4-2i の距離を求めなさい。

  1. 2 点間の距離は ∣z2−z1∣|z_2-z_1|。z2−z1=(4−2i)−(1+2i)=3−4iz_2-z_1=(4-2i)-(1+2i)=3-4i。
  2. ∣3−4i∣=32+(−4)2=25=5|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5。

答え　5。座標で考えると、点 (1,2)(1,2) と点 (4,−2)(4,-2) の距離と同じです。

例題2（式が表す図形）

∣z−1∣=∣z−i∣|z-1|=|z-i| を満たす点 zz 全体は、どんな図形になりますか。

  1. z=x+yiz=x+yi（xx、yy は実数）とおく。
  2. ∣z−1∣2=(x−1)2+y2|z-1|^2=(x-1)^2+y^2、∣z−i∣2=x2+(y−1)2|z-i|^2=x^2+(y-1)^2。
  3. 両辺の 2 乗が等しいので (x−1)2+y2=x2+(y−1)2(x-1)^2+y^2=x^2+(y-1)^2。展開して −2x+1=−2y+1-2x+1=-2y+1、つまり y=xy=x。

答え　直線 y=xy=x（2 点 11、ii を結ぶ線分の垂直二等分線）。図形の意味から「1 と ii から等しい距離にある点の集まり」と読みとると、計算しなくても見当がつきます。

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

3+4i3+4i の点は (3,4)(3,4)。(3,4i)(3,4i) とは書かないよ！

  • 虚部に ii をつけたまま座標にする：3+4i3+4i の点は (3,4)(3,4) です。(3,4i)(3,4i) とは書きません。虚軸の目もりは、ii の係数を表します。
  • ∣z∣2|z|^2 と z2z^2 を混同する：z=3+4iz=3+4i のとき、∣z∣2=25|z|^2=25 ですが、z2=9+24i+16i2=−7+24iz^2=9+24i+16i^2=-7+24i です。∣z∣2|z|^2 に等しいのは zz‾z\overline{z} です。
  • 共役と −z-z を取りちがえる：共役 z‾\overline{z} は実軸について対称、−z-z は原点について対称です。3+4i3+4i なら、z‾=3−4i\overline{z}=3-4i、−z=−3−4i-z=-3-4i です。
  • 回転の向きをまちがえる：ii をかけると反時計回りに 90∘90^\circ です。時計回りにしたいときは −i-i をかけます。

ことばの由来

「複素数」は、実数の部分と虚数の部分という複数の要素をもつ数、という意味の言葉です。英語では complex number（複合した数）といい、複素数平面は complex plane といいます。横の軸を「実軸」（real axis）、たての軸を「虚軸」（imaginary axis）とよぶのは、実部と虚部を表す軸だからです。

ミニ問題

問題1　複素数 −3+2i-3+2i を表す点の座標と、その共役複素数を答えましょう。

答えと解き方を見る

点は (−3,2)(-3,2)、共役複素数は −3−2i-3-2i です。共役複素数は、虚部の符号だけを変えたもので、点は実軸について対称な (−3,−2)(-3,-2) になります。

問題2　∣−5+12i∣|-5+12i| を求めましょう。

答えと解き方を見る

13 です。(−5)2+122=25+144=169=13\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13。原点から点 (−5,12)(-5,12) までの距離です。

問題3　点 z=4+2iz=4+2i を、原点のまわりに時計回りに 90∘90^\circ 回転した点を表す複素数を求めましょう。

答えと解き方を見る

2−4i2-4i です。反時計回りの 90∘90^\circ 回転は ii をかけること。時計回りなら −i-i をかけます。−i(4+2i)=−4i−2i2=2−4i-i(4+2i)=-4i-2i^2=2-4i。点 (4,2)(4,2) が点 (2,−4)(2,-4) に移り、長さはどちらも 20\sqrt{20} で変わりません。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

複素数平面とは何ですか？

複素数 a＋bi を座標平面の点 (a, b) で表した平面です。横の軸を実軸、たての軸を虚軸といいます。

複素数の絶対値とは何ですか？

複素数平面で、原点からその点までの距離です。a＋bi の絶対値は √(a²＋b²) で、3＋4i なら5です。

共役複素数は複素数平面でどこにありますか？

もとの点と実軸について対称な点です。3＋4i の共役 3−4i は、点 (3, −4) です。

i をかけるとどうなりますか？

原点のまわりに反時計回りに90°回転した点になります。3＋i に i をかけると −1＋3i です。

|z−α|＝r はどんな図形ですか？

点αを中心とする半径rの円です。|z−α| は点zと点αの距離を表すからです。

複素数平面は何年生で習いますか？

高校の数学C「複素数平面」で習います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学C（平面上の曲線と複素数平面）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦