極形式とド・モアブルの定理とは？意味と使い方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

極形式とド・モアブルの定理とは？意味と使い方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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極形式とド・モアブルの定理とは

極形式は、複素数を絶対値 rr と偏角 θ\theta で z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta) と表す形です。ド・モアブルの定理は、(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta（nn は整数）という定理で、nn 乗は「角を nn 倍」すれば求められます。

読み方：きょくけいしきとどもあぶるのていり／英語：polar form / de Moivre's theorem／習う学年：数学C（複素数平面）

うかるくん

うかるくん

(1+i)8(1+i)^8 なんて、展開していたら日が暮れます…

合格先生

合格先生

極形式に直せば一瞬だよ。1+i1+i は長さ 2\sqrt2・角 45∘45^\circ。8 乗は長さを 8 乗、角を 8 倍して、長さ 16・角 360∘360^\circ。答えは 16 だ。

この用語のポイント

  • 極形式：z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)（r=∣z∣r=|z|、θ\theta は偏角）
  • かけ算は絶対値はかけ算、偏角はたし算
  • ド・モアブル：nn 乗は絶対値を nn 乗、偏角を nn 倍

やさしく言うと

極形式は、複素数を「原点からの距離」と「向き（角度）」で表す書き方です。ふつうの a+bia+bi は「横にいくつ、たてにいくつ」で表しますが、極形式は「どの向きに、どれだけの長さ」で表します。

  • レーダーや灯台：「北東の方向に 2 km」のように、向きと距離で場所を伝えます。これが極形式の考え方です。
  • 時計の針：針の先の位置は、「針の長さ」と「針の角度」で決まります。針を回すことは、角度を増やすことです。
  • コンパスで円をかく：半径（距離）を決めて、角度を変えていくと円になります。極形式は、回転や円がからむ問題がとても得意です。
実軸虚軸O θ＝60° r＝2 1＋√3 i 1√3 距離 r と角 θ で表す 2(cos60°＋i sin60°)
1＋√3 i は、距離 2、角 60° の点。2(cos60°＋i sin60°) と書ける

まとめると、複素数 zz の絶対値を rr、偏角を θ\theta とすると、z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta) と書ける。これが極形式です。そして、ド・モアブルの定理は、この形の nn 乗が「角を nn 倍するだけ」で計算できる、という定理です。

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(n は整数)(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\quad(n\text{ は整数})

極形式の例

○ 正しい極形式

  • 1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)1+i=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)
  • 1+3i=2(cos⁡π3+isin⁡π3)1+\sqrt3i=2\left(\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\right)
  • i=cos⁡π2+isin⁡π2i=\cos\dfrac\pi2+i\sin\dfrac\pi2
  • −2=2(cos⁡π+isin⁡π)-2=2(\cos\pi+i\sin\pi)
  • −1+i=2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)-1+i=\sqrt2\left(\cos\dfrac{3\pi}4+i\sin\dfrac{3\pi}4\right)
  • 3=3(cos⁡0+isin⁡0)3=3(\cos0+i\sin0)

× 極形式ではない・まちがい

  • 1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)1+i=2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)（絶対値は 1+11+1 ではなく 2\sqrt2）
  • −1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)-1+i=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right)（第 2 象限なのに角が 45∘45^\circ）
  • −2=−2(cos⁡0+isin⁡0)-2=-2(\cos0+i\sin0)（rr は正の数にする）
  • 2(cos⁡π3−isin⁡π3)2(\cos\dfrac\pi3-i\sin\dfrac\pi3)（「−-」のままでは極形式ではない）
  • 2(sin⁡π3+icos⁡π3)2(\sin\dfrac\pi3+i\cos\dfrac\pi3)（cos⁡\cos と sin⁡\sin が逆）

極形式は、r>0r>0 で、かっこの中が cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\theta の形（++ でつなぎ、cos⁡\cos が前）になっていなければなりません。cos⁡π3−isin⁡π3\cos\dfrac\pi3-i\sin\dfrac\pi3 は、cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3)\cos\left(-\dfrac\pi3\right)+i\sin\left(-\dfrac\pi3\right) と書き直します。

図で見る

極形式のいちばんの強みは、かけ算が図形の動きとしてはっきり見えることです。z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)、z2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) のとき、

z1z2=r1r2{cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)}z_1z_2=r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}

つまり、絶対値はかけ算、偏角はたし算になります。これは、三角関数の加法定理から出てきます。

実軸虚軸O z₁：2, 30° z₂：1.5, 45° z₁z₂：3, 75° 長さはかけ算：2×1.5＝3 角はたし算：30°＋45°＝75°
長さ 2・角 30° と 長さ 1.5・角 45° をかけると、長さ 3・角 75°
うかるくん

うかるくん

かけ算なのに、角はたし算になるんですか？

合格先生

合格先生

そう。かっこの中をかけて展開すると、実部が cos⁡θ1cos⁡θ2−sin⁡θ1sin⁡θ2=cos⁡(θ1+θ2)\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2=\cos(\theta_1+\theta_2)、虚部が sin⁡(θ1+θ2)\sin(\theta_1+\theta_2) になる。加法定理そのものなんだ。だから「z2z_2 をかける」は「θ2\theta_2 だけ回して、r2r_2 倍にのばす」ことになるんだよ。

同じ数を何回もかけると、角が同じだけずつ増えていきます。(1+i)n(1+i)^n は、1 回かけるごとに長さが 2\sqrt2 倍、角が 45∘45^\circ ずつ増え、うずまきのように広がります。

実軸虚軸O 11＋i2i−2＋2i−4 1 回かけるごとに 長さ ×√2、角 ＋45° (1＋i)⁴ ＝ −4
(1＋i)ⁿ は、長さ ×√2・角 ＋45° ずつのうずまき。(1＋i)⁴＝−4

ド・モアブルの定理の使い方

かけ算の性質をくり返し使うと、ド・モアブルの定理が出てきます。絶対値もふくめると、次の形です。

{r(cos⁡θ+isin⁡θ)}n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)

絶対値は nn 乗、偏角は nn 倍です。使い道は大きく 3 つあります。

使い道例
大きな累乗の計算(1+i)8=16(1+i)^8=16、(1+3i)6=64(1+\sqrt3i)^6=64
zn=αz^n=\alpha の解（nn 乗根）z3=1z^3=1 の解は単位円上の正三角形の頂点
三角関数の公式を作るn=2n=2 で 2 倍角の公式が出る

3 つめを見てみましょう。n=2n=2 とすると (cos⁡θ+isin⁡θ)2=cos⁡2θ+isin⁡2θ(\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos2\theta+i\sin2\theta。左辺を展開すると cos⁡2θ−sin⁡2θ+2isin⁡θcos⁡θ\cos^2\theta-\sin^2\theta+2i\sin\theta\cos\theta です。実部と虚部を比べると、

cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ,sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta,\qquad \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta

という 2 倍角の公式が、いっぺんに出てきます。n=3n=3 にすれば 3 倍角の公式も作れます。

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

nn 乗は「長さは nn 乗、角は nn 倍」。展開しなくていいなんて楽ね！

テスト・入試ではこう出る

極形式とド・モアブルの定理は、高校の数学C「複素数平面」で習います。極形式に直す問題、(a+bi)n(a+bi)^n の計算、zn=1z^n=1 や zn=αz^n=\alpha の解を求める問題、回転を使う図形の問題がよく出ます。

例題1（累乗の計算）

(1+3i)6(1+\sqrt3i)^6 を計算しなさい。

  1. 極形式に直す：∣1+3i∣=1+3=2|1+\sqrt3i|=\sqrt{1+3}=2、偏角は π3\dfrac\pi3。よって 1+3i=2(cos⁡π3+isin⁡π3)1+\sqrt3i=2\left(\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\right)。
  2. ド・モアブルの定理：(1+3i)6=26(cos⁡6π3+isin⁡6π3)=64(cos⁡2π+isin⁡2π)(1+\sqrt3i)^6=2^6\left(\cos\dfrac{6\pi}3+i\sin\dfrac{6\pi}3\right)=64(\cos2\pi+i\sin2\pi)。
  3. cos⁡2π=1\cos2\pi=1、sin⁡2π=0\sin2\pi=0 なので、答えは 6464。

答え　64。展開すると 7 項も出てくる計算が、極形式なら 3 行で終わります。

実軸虚軸O 120° 1 −½＋(√3/2) i −½−(√3/2) i z³＝1 の解は正三角形の頂点
z³＝1 の解は、単位円の上で 120° ずつ離れた正三角形の頂点

例題2（3 乗根）

方程式 z3=1z^3=1 を解きなさい。

  1. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)（r>0r>0、0≤θ<2π0\le\theta<2\pi）とおくと、z3=r3(cos⁡3θ+isin⁡3θ)z^3=r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)。
  2. 1=1⋅(cos⁡0+isin⁡0)1=1\cdot(\cos0+i\sin0) と比べて、r3=1r^3=1、3θ=2kπ3\theta=2k\pi（kk は整数）。
  3. r=1r=1、θ=2kπ3\theta=\dfrac{2k\pi}3。0≤θ<2π0\le\theta<2\pi より k=0,1,2k=0,1,2 で、θ=0, 2π3, 4π3\theta=0,\ \dfrac{2\pi}3,\ \dfrac{4\pi}3。
  4. それぞれ z=1z=1、−12+32i-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2i、−12−32i-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2i。

答え　z=1, −12±32iz=1,\ -\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt3}2i。3 つの点は、単位円の上で 120∘120^\circ ずつ離れた正三角形の頂点です。

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

nn 乗では、絶対値は nn 乗。nn 倍するのは偏角だけだよ！

  • 絶対値を a+ba+b で計算する：1+i1+i の絶対値は 1+1=21+1=2 ではなく 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2 です。
  • 象限を見ずに偏角を決める：−1+i-1+i は tan⁡θ=−1\tan\theta=-1 ですが、点 (−1,1)(-1,1) は第 2 象限なので θ=3π4\theta=\dfrac{3\pi}4 です。必ず点の位置をかいて確かめます。
  • nn 乗で絶対値を nn 倍する：{2(cos⁡θ+isin⁡θ)}3\{2(\cos\theta+i\sin\theta)\}^3 の絶対値は 2×3=62\times3=6 ではなく 23=82^3=8 です。nn 倍するのは偏角だけです。
  • 偏角の範囲をそろえない：偏角は 2π2\pi ずつずらしても同じ点です。問題で「0≤θ<2π0\le\theta<2\pi」か「−π<θ≤π-\pi<\theta\le\pi」が指定されていたら、その範囲で答えます。nn 乗根では、範囲の中の解を全部出します。
  • rr を負にする：−2-2 は −2(cos⁡0+isin⁡0)-2(\cos0+i\sin0) ではなく、2(cos⁡π+isin⁡π)2(\cos\pi+i\sin\pi) と書きます。rr はいつも正です。

ことばの由来

「極形式」の「極」は、極座標（原点からの距離と角度で点を表す座標）の「極」です。原点のことを「極」とよび、そこからの長さと向きで表すので、この名前があります。英語では polar form です。

「ド・モアブルの定理」は、フランス生まれでイギリスで活やくした数学者ド・モアブル（de Moivre）の名前にちなみます。大学では、オイラーの公式 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta を使って、極形式を z=reiθz=re^{i\theta} と短く書くこともあります。

ミニ問題

問題1　−1+i-1+i を極形式で表しましょう（偏角は 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi）。

答えと解き方を見る

2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)\sqrt2\left(\cos\dfrac{3\pi}4+i\sin\dfrac{3\pi}4\right) です。絶対値は (−1)2+12=2\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2。点 (−1,1)(-1,1) は第 2 象限にあるので、偏角は π4\dfrac\pi4 ではなく 3π4\dfrac{3\pi}4（135∘135^\circ）です。

問題2　(1+i)8(1+i)^8 を計算しましょう。

答えと解き方を見る

16 です。1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)1+i=\sqrt2\left(\cos\dfrac\pi4+i\sin\dfrac\pi4\right) なので、(1+i)8=(2)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=16(1+i)^8=(\sqrt2)^8(\cos2\pi+i\sin2\pi)=16。図3のうずまきを、さらに 4 回まわした先です。

問題3　(3+i)5(\sqrt3+i)^5 を a+bia+bi の形で求めましょう。

答えと解き方を見る

−163+16i-16\sqrt3+16i です。

  1. 3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)\sqrt3+i=2\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)。
  2. (3+i)5=25(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=32(−32+12i)(\sqrt3+i)^5=2^5\left(\cos\dfrac{5\pi}6+i\sin\dfrac{5\pi}6\right)=32\left(-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\right)。
  3. =−163+16i=-16\sqrt3+16i。

絶対値は 5 乗（25=322^5=32）、偏角は 5 倍（5π6\dfrac{5\pi}6）です。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

極形式とは何ですか？

複素数を、原点からの距離（絶対値）rと、向き（偏角）θで r(cosθ＋i sinθ) と表した形です。1＋i は √2(cos45°＋i sin45°) です。

ド・モアブルの定理とは何ですか？

整数nについて (cosθ＋i sinθ)ⁿ＝cos nθ＋i sin nθ が成り立つという定理です。n乗は角をn倍すれば求められます。

極形式でかけ算するとどうなりますか？

絶対値どうしはかけ算、偏角どうしはたし算になります。複素数平面では、回転して拡大することにあたります。

偏角はどう求めますか？

点の位置（象限）を図で確かめてから、cosθ＝a/r、sinθ＝b/r を満たす角を選びます。tanだけで決めると象限をまちがえます。

z³＝1 の解はいくつありますか？

複素数の範囲で3つあります。1、−1/2＋(√3/2)i、−1/2−(√3/2)i で、複素数平面では正三角形の頂点になります。

極形式は何年生で習いますか？

高校の数学C「複素数平面」で習います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学C（平面上の曲線と複素数平面）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦