法線ベクトルとは？意味と求め方・直線の式をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

法線ベクトルとは？意味と求め方・直線の式をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

法線ベクトルとは

直線や平面に垂直なベクトルです。直線 ax+by+c=0ax+by+c=0 では、xx と yy の係数を並べた n⃗=(a,b)\vec n=(a,b) が法線ベクトルの 1 つです。2x+3y−6=02x+3y-6=0 なら (2,3)(2,3) です。

読み方：ほうせんべくとる／英語：normal vector／習う学年：数学C（ベクトル）

サクラちゃん

サクラちゃん

法線ベクトルって、直線の向きを表す矢印のことですか？

合格先生

合格先生

向きを表すけれど、直線にそった矢印ではなく、直線に垂直な矢印だよ。ax+by+c=0ax+by+c=0 なら、係数の (a,b)(a,b) がそれなんだ。

この用語のポイント

  • 法線ベクトル ＝ 直線（平面）に垂直なベクトル
  • ax+by+c=0ax+by+c=0 の法線ベクトルは (a,b)(a,b)（定数 cc は入れない）
  • 点 (x1,y1)(x_1,y_1) を通る直線：a(x−x1)+b(y−y1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)=0

やさしく言うと

法線ベクトルは、直線や平面に対して、まっすぐ垂直に立てた矢印です。直線の「向き」を、直線にそった矢印ではなく、直角の方向で表すのが特ちょうです。

  • 床に立てた棒：床（平面）にまっすぐ立てた棒の向きが、床の法線ベクトルの向きです。床がかたむけば、棒の向きも変わります。床のかたむきは、棒の向きだけで分かります。
  • 壁にボールを当てる：壁に向かって真正面から投げるときの向きが、壁の法線の向きです。
  • 道路と横断歩道：道路（直線）をいちばん短い道のりでわたるには、道路に垂直に歩きます。この「いちばんの近道」の向きが法線の向きです。
xyO n ＝ (2, 3) 2x＋3y−6＝0 直線に垂直な矢印 ＝ 法線ベクトル
直線 2x＋3y−6＝0 に垂直な矢印 (2, 3) が法線ベクトル

まとめると、法線ベクトルとは、直線（または平面）に垂直な、零ベクトルでないベクトルです。直線 ax+by+c=0ax+by+c=0 の法線ベクトルの 1 つは n⃗=(a,b)\vec n=(a,b) です。

法線ベクトルの例

○ 正しい法線ベクトル

  • 直線 2x+3y−6=02x+3y-6=0 → (2,3)(2,3)
  • 直線 y=2x+1y=2x+1（2x−y+1=02x-y+1=0）→ (2,−1)(2,-1)
  • 直線 x=3x=3（x−3=0x-3=0）→ (1,0)(1,0)
  • 直線 y=5y=5 → (0,1)(0,1)
  • 2x+3y−6=02x+3y-6=0 に対して (4,6)(4,6) や (−2,−3)(-2,-3) も法線ベクトル
  • 空間の平面 x+2y+2z−5=0x+2y+2z-5=0 → (1,2,2)(1,2,2)

× まちがい

  • 2x+3y−6=02x+3y-6=0 の法線を (2,3,−6)(2,3,-6) とする（定数は入れない）
  • y=2x+1y=2x+1 の法線を (2,1)(2,1) とする（2x−y+1=02x-y+1=0 に直すと (2,−1)(2,-1)）
  • 2x+3y−6=02x+3y-6=0 の法線を (3,−2)(3,-2) とする（それは方向ベクトル）
  • (0,0)(0,0)（零ベクトルは向きがないので法線ベクトルにしない）
  • 直線 x=3x=3 の法線を (0,1)(0,1) とする（x=3x=3 はたての直線なので法線は横向き）

ポイントは、ax+by+c=0ax+by+c=0 の形に直してから、xx と yy の係数を読むことです。y=mx+ny=mx+n の形のままでは読みまちがえます。

図で見る

直線にかかわるベクトルには、直線にそった「方向ベクトル」と、直線に垂直な「法線ベクトル」の 2 種類があります。

xyO 法線 (2, 3) 方向 (3, −2) 内積 3×2＋(−2)×3 ＝ 0 → 2 本は垂直
直線にそった方向ベクトル (3, −2) と、垂直な法線ベクトル (2, 3)
うかるくん

うかるくん

どうして ax+by+c=0ax+by+c=0 の係数 (a,b)(a,b) が、直線に垂直なんですか？

合格先生

合格先生

直線上の 2 点 (x1,y1)(x_1,y_1)、(x2,y2)(x_2,y_2) をとると、どちらも式を満たすよね。2 つの式をひくと a(x2−x1)+b(y2−y1)=0a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=0。これは「(a,b)(a,b) と、直線にそったベクトルの内積が 0」ということ。だから (a,b)(a,b) は直線に垂直なんだ。

直線 ax+by+c=0ax+by+c=0 の方向ベクトルの 1 つは (b,−a)(b,-a) です。(a,b)(a,b) との内積は ab−ba=0ab-ba=0 になり、たしかに垂直です。

法線ベクトルで直線の式を作る

点 A(x1,y1)(x_1,y_1) を通り、法線ベクトルが n⃗=(a,b)\vec n=(a,b) の直線を考えます。直線上の点を P(x,y)(x,y) とすると、AP→\overrightarrow{\mathrm{AP}} は直線にそっているので、n⃗\vec n と垂直です。

xyO A P(x, y) n AP と n が垂直 → 内積 n・AP ＝ 0
直線上のどの点 P でも、AP と n は垂直（内積が 0）

内積が 0 という式を成分で書くと、次の直線の方程式になります。

a(x−x1)+b(y−y1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)=0

この式は、傾きを使わずに直線を表せるのが便利です。たての直線（x=3x=3 など）も同じ形で書けます。空間でも同じ考え方で、点 (x1,y1,z1)(x_1,y_1,z_1) を通り法線ベクトル (a,b,c)(a,b,c) の平面は a(x−x1)+b(y−y1)+c(z−z1)=0a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0 と表せます。

点と直線の距離

点から直線へいちばん短い道は、直線に垂直な方向、つまり法線ベクトルの方向です。この考えから、点と直線の距離の公式が出てきます。

xyO Q(4, 3) H QH ＝ |8＋9−6| ÷ √13 ＝ 11 ÷ √13
点 Q(4, 3) から直線へ、法線の向きに垂線を下ろす。距離は 11/√13

d=∣ax1+by1+c∣a2+b2d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

分母の a2+b2\sqrt{a^2+b^2} は、法線ベクトル (a,b)(a,b) の大きさです。くわしい導き方は公式辞典の点と直線の距離の公式へ。

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

ax+by+c=0ax+by+c=0 の係数を見るだけで、垂直な向きが分かるのね！

テスト・入試ではこう出る

法線ベクトルは、高校の数学C「ベクトル」で、直線のベクトル方程式と一緒に習います。法線ベクトルを使って直線の方程式を作る問題、2 直線のなす角や垂直の判定、点と直線の距離（数学Ⅱ「図形と方程式」でも習う公式）がよく出ます。

例題1（直線の方程式）

点 A(1,2)(1,2) を通り、n⃗=(3,−1)\vec n=(3,-1) に垂直な直線の方程式を求めなさい。

  1. 直線上の点を P(x,y)(x,y) とすると、AP→=(x−1, y−2)\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x-1,\ y-2)。
  2. n⃗⊥AP→\vec n\perp\overrightarrow{\mathrm{AP}} なので、内積が 0：3(x−1)+(−1)(y−2)=03(x-1)+(-1)(y-2)=0。
  3. 整理して 3x−3−y+2=03x-3-y+2=0、つまり 3x−y−1=03x-y-1=0。

答え　3x−y−1=03x-y-1=0。たしかめ：A(1,2)(1,2) を入れると 3−2−1=03-2-1=0 で、直線の上にあります。xx、yy の係数 (3,−1)(3,-1) が、ちゃんと法線ベクトルになっています。

例題2（点と直線の距離）

点 (4,3)(4,3) と直線 2x+3y−6=02x+3y-6=0 の距離を求めなさい。

  1. 公式 d=∣ax1+by1+c∣a2+b2d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} に、a=2a=2、b=3b=3、c=−6c=-6、(x1,y1)=(4,3)(x_1,y_1)=(4,3) を入れる。
  2. 分子：∣2×4+3×3−6∣=∣11∣=11|2\times4+3\times3-6|=|11|=11。分母：4+9=13\sqrt{4+9}=\sqrt{13}。
  3. d=1113=111313d=\dfrac{11}{\sqrt{13}}=\dfrac{11\sqrt{13}}{13}。

答え　111313\dfrac{11\sqrt{13}}{13}。分母の a2+b2\sqrt{a^2+b^2} は、法線ベクトル (a,b)(a,b) の大きさです。

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

y=2x+1y=2x+1 の法線は (2,1)(2,1) ではない！2x−y+1=02x-y+1=0 に直して (2,−1)(2,-1) だよ。

  • 方向ベクトルと取りちがえる：2x+3y−6=02x+3y-6=0 の (2,3)(2,3) は垂直な向き（法線）です。直線にそった向き（方向ベクトル）は (3,−2)(3,-2) です。
  • y=mx+ny=mx+n の形のまま読む：y=2x+1y=2x+1 を (2,1)(2,1) とするのは×。2x−y+1=02x-y+1=0 に直して (2,−1)(2,-1) です。
  • 定数 cc を入れる：法線ベクトルは xx と yy の係数だけで、(a,b)(a,b) です。cc は直線の位置を決めるだけで、向きには関係しません。
  • 大きさが決まっていると思う：(2,3)(2,3) も (4,6)(4,6) も (−2,−3)(-2,-3) も法線ベクトルです。長さ 1 のものがほしいときは、大きさ 13\sqrt{13} でわって (213,313)\left(\dfrac2{\sqrt{13}},\dfrac3{\sqrt{13}}\right) とします。

ことばの由来

「法線」は、曲線や曲面のある点で、その接線や接平面に垂直な直線のことです。英語では normal（ノーマル）といい、数学では「垂直な」という意味で使います。ラテン語の norma（大工が直角をはかる道具、直角定規）に由来するといわれます。

ミニ問題

問題1　直線 4x−y+7=04x-y+7=0 の法線ベクトルを 1 つ答えましょう。

答えと解き方を見る

たとえば (4,−1)(4,-1) です。xx と yy の係数を並べます。定数の 7 は入れません。(8,−2)(8,-2) や (−4,1)(-4,1) など、(4,−1)(4,-1) を何倍かしたものも法線ベクトルです。

問題2　点 (2,−1)(2,-1) を通り、n⃗=(1,2)\vec n=(1,2) を法線ベクトルとする直線の方程式を求めましょう。

答えと解き方を見る

x+2y=0x+2y=0 です。1×(x−2)+2×(y+1)=01\times(x-2)+2\times(y+1)=0 を整理すると x−2+2y+2=0x-2+2y+2=0、つまり x+2y=0x+2y=0。(2,−1)(2,-1) を入れると 2−2=02-2=0 で、たしかに通ります。

問題3　2 直線 2x−y+1=02x-y+1=0 と x+2y−3=0x+2y-3=0 は垂直ですか。法線ベクトルを使って調べましょう。

答えと解き方を見る

垂直です。法線ベクトルは (2,−1)(2,-1) と (1,2)(1,2)。内積は 2×1+(−1)×2=02\times1+(-1)\times2=0 なので、法線どうしが垂直です。法線が垂直なら、もとの 2 直線も垂直です。傾きで見ても 2×(−12)=−12\times\left(-\dfrac12\right)=-1 で、同じ結論になります。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

法線ベクトルとは何ですか？

直線や平面に垂直なベクトルです。直線 ax＋by＋c＝0 では、係数を並べた (a, b) が法線ベクトルの1つです。

方向ベクトルとのちがいは何ですか？

方向ベクトルは直線にそった向き、法線ベクトルは直線に垂直な向きのベクトルです。2x＋3y−6＝0 なら方向ベクトルは (3, −2)、法線ベクトルは (2, 3) です。

法線ベクトルは1つに決まりますか？

決まりません。(2, 3) を何倍かした (4, 6) や (−2, −3) も法線ベクトルです。0倍だけはだめです。

法線ベクトルから直線の式はどう作りますか？

点 (x₁, y₁) を通り法線ベクトルが (a, b) なら、a(x−x₁)＋b(y−y₁)＝0 です。

点と直線の距離と、どう関係しますか？

点から直線への最短の道は法線の方向です。距離の公式の分母 √(a²＋b²) は、法線ベクトル (a, b) の大きさです。

法線ベクトルは何年生で習いますか？

高校の数学C「ベクトル」で、直線のベクトル方程式と一緒に習います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学C（ベクトル）、数学Ⅱ（図形と方程式）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦