合格大作戦 数学用語辞典 › 図形
中学受験高校受験大学受験
垂直とは
2本の直線が直角（）に交わる関係です。交わっていなくても、のばして直角に交われば垂直です。記号では と書き、ある直線に垂直な直線を垂線といいます。
ハルちゃん
垂直って、たてにまっすぐ立っていることでしょ？
合格先生
おしい！ 垂直は2本の線の関係なんだ。ななめの線どうしでも、直角に交わっていれば垂直。たてにまっすぐな向きは「鉛直」というよ。
この用語のポイント
- 垂直 ＝ 2本の直線が直角に交わる。記号
- ある直線に垂直な直線が垂線。垂線の長さが点と直線のきょり
- 座標では傾きの積が 、ベクトルでは内積が 0
やさしく言うと
垂直は、2本の直線が直角（）に交わる関係です。十字の形をつくる2本の線を思いうかべてください。
- 十字路：まっすぐな2本の道が直角に交わる交差点では、2本の道は垂直です。
- ノートや窓のわく：長方形の紙や窓のわくの、となり合う2つの辺は垂直です。角に三角定規の直角をあてると、ぴったり合います。
- 床に立てた柱：床にまっすぐ立てた柱は、床に垂直です。柱がかたむいていると、ぐらぐらして倒れやすくなります。
図にかくときは、交わったところに直角のしるし（小さな四角）をつけます。中学からは、直線 と が垂直であることを、記号 を使って と書きます。まとめると、垂直は「まっすぐ直角に交わる」ことです。
まなぶくん
三角定規の直角をあてて、ぴったり合えば垂直だよ！
例と、例ではないもの
○ 垂直
- 長方形のとなり合う2辺（直角に交わる）
- ななめに置いても、直角に交わる2本の直線
- はなれていても、のばすと直角に交わる2本の直線
- ひし形の2本の対角線（垂直に交わる）
- 座標平面の 軸と 軸
- 直線 と （傾きの積が ）
× 垂直ではないもの
- で交わる2本の直線（直角ではない）
- どこまでのばしても交わらない2本の直線（平行）
- 長方形の向かい合う2辺（平行）
- ふつうの平行四辺形の2本の対角線（直角に交わらない）
- 直線 と （傾きの積が ）
小学4年では、「2本の直線が交わってできる角が直角のとき、2本の直線は垂直である」と習います。交わっていなくても、のばしたときに直角に交われば垂直です。
図で見る
点 P から直線 に、いろいろな線分を引いてみます。図の数字は、それぞれの長さ（目もり）です。
直線 に垂直な線分 PH が、いちばん短くなります。ある直線に垂直に交わる直線を垂線、H を垂線の足といい、PH の長さを点 P と直線 のきょりといいます。「きょり」といえば、いつもこのいちばん短い長さのことです。
ハルちゃん
どうして、まっすぐ下におろした線がいちばん短いの？
合格先生
ほかの線分 PX を考えると、三角形 PHX は H が直角の直角三角形になるね。直角三角形では、直角の向かいの辺（PX）がいちばん長い。だから PH はいつも PX より短いんだ。
図形の高さも、この考え方です。三角形や平行四辺形の高さは、底辺に垂直にはかった長さです。
中学・高校での垂直
垂直は、学年が上がるごとに、いろいろな形で出てきます。
| 学年 | 内容 |
|---|---|
| 小学4年 | 垂直・平行の意味。三角定規で垂直な直線をかく |
| 中学1年 | 記号 、垂線の作図、点と直線のきょり。空間で、直線と平面の垂直 |
| 中学2年 | 1次関数の傾き（垂直の条件そのものは高校） |
| 数学Ⅱ | 2直線が垂直 ⇔ 傾きの積が |
| 数学C | ベクトルが垂直 ⇔ 内積が 0 |
座標平面で、傾き と の2直線が垂直になるのは、 のときです。 と を図にかくと、たしかに直角に交わります。
「右へ1、上へ2」の三角形を 回すと「右へ2、下へ1」の三角形になります。だから、垂直な直線の傾きは逆数で、符号が反対になるのです。ただし のような 軸に平行な直線は、傾きが考えられないので、この式は使えません（ と は垂直です）。
空間では、ひとつの平面上にない2直線も考えます。高校の数学Aでは、空間の2直線が交わらなくても、平行移動して交わらせたときの角が なら「垂直」といい、垂直で、しかも交わるときは特に「直交する」といいます。
テスト・入試ではこう出る
小学4年では、図の中から垂直な直線の組を見つける問題や、三角定規で垂直な直線をかく問題が出ます。中学では垂線の作図や「点と直線のきょり」、高校では傾きの積 や内積 0 を使って、垂直な直線の式やベクトルの成分を求める問題が定番です。
例題1（小学4年）
長方形 ABCD で、垂直な辺の組は何組ありますか。
- 長方形の4つの角はすべて直角。
- 直角の角をつくる2辺は垂直なので、角1つにつき1組。
- AB と BC、BC と CD、CD と DA、DA と AB の4組。
答え 4組（AB と CD のように向かい合う辺は、垂直ではなく平行）
例題2（数学Ⅱ：垂直な直線の式）
点 を通り、直線 に垂直な直線の式を求めなさい。
- の傾きは 3。垂直な直線の傾きを とすると、 より 。
- が点 を通るので、、。
答え （たしかめ： のとき ）
合格先生
垂直な直線の傾きは「逆数にして、符号を反対に」。3 なら −⅓ だ！
まちがえやすい点
合格先生
ななめの2本でも、直角に交われば垂直。「たて向き」のことではないよ！
- 「垂直＝たてにまっすぐ」と思う：垂直は2本の直線の関係です。ななめの2本でも、直角に交われば垂直です。地面に対して「たてにまっすぐ」の向きは、正しくは鉛直（えんちょく）といいます。
- 交わっていないから垂直ではないと思う：2本の線がはなれていても、のばして直角に交われば垂直です。
- 垂線と垂直二等分線をまぜる：垂線は「ある直線に垂直な直線」で、どこを通ってもかまいません。垂直二等分線は、線分の中点を通る垂線だけをいいます。
- 傾きの符号を変えない： に垂直な直線の傾きを とするまちがいです。積が になるのは です。
- 高さを斜めの辺ではかる：三角形の高さは、底辺に垂直な長さです。鈍角三角形では、底辺をのばした線に垂直に引くので、高さが三角形の外に出ます。
ことばの由来
垂直の「垂」は「たれる」、「直」は「まっすぐ」という意味です。糸におもりをつけてたらすと、まっすぐ下を向きます。英語では perpendicular（パーペンディキュラー）といい、ラテン語で「おもりをつけた糸（下げふり）」を表す言葉から来たとされます。記号 も、横線にたて線がまっすぐ立つ形です。
ミニ問題
問題1 時計の長いはりと短いはりが、ちょうど垂直になる「○時ちょうど」の時刻を2つ答えましょう。
答えと解き方を見る
3時ちょうどと9時ちょうどです。時計の数字の間は なので、3つ分はなれると で垂直です。3時は長いはりが12、短いはりが3、9時は12と9をさします。
問題2 直線 に垂直な直線の傾きを求めましょう。
答えと解き方を見る
です。垂直な2直線の傾きの積は なので、求める傾きを とすると 、。「逆数」にするだけでなく、符号も反対にするのがポイントです。
問題3 ベクトル と が垂直になるような の値を求めましょう。
答えと解き方を見る
です。 でない2つのベクトルが垂直になるのは、内積が 0 のときです。 より 。たしかめ： と の内積は です。
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
垂直とは簡単にいうと何ですか？
2本の直線が直角（90°）に交わる関係です。交わっていなくても、のばして直角に交われば垂直です。
垂直の記号は何ですか？
⊥ を使います。直線ℓとmが垂直なとき、ℓ⊥m と書きます。
垂線とは何ですか？
ある直線に垂直に交わる直線のことです。点から直線に引いた垂線の長さを、点と直線のきょりといいます。
垂直と鉛直のちがいは？
垂直は2本の直線（や平面）が直角に交わる関係です。鉛直は、おもりをたらした糸の向き、つまり水平な面に垂直な向きのことです。
2直線が垂直になる条件は？
座標平面では、傾きの積が−1になることです。y＝2x と y＝−½x は垂直です。y軸に平行な直線は傾きがないので別に考えます。
垂直は何年生で習いますか？
小学4年で垂直と平行を習います。記号⊥は中学1年、傾きの積が−1になる条件は高校の数学Ⅱで学びます。
出典・参考
- 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第4学年 B 図形（直線の平行や垂直の関係）
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅱ（図形と方程式）、数学C（ベクトル）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
