直線について対称な点の求め方｜垂直と中点の2条件の証明・まとめた公式・y＝x の対称と最短経路（AP＋PB）の例題【高校受験〜大学受験 数学Ⅱ】

直線について対称な点の求め方｜垂直と中点の2条件の証明・まとめた公式・y＝x の対称と最短経路（AP＋PB）の例題【高校受験〜大学受験 数学Ⅱ】

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高校受験大学受験

PP′⊥ℓ,PP′ の中点が ℓ 上PP'\perp\ell,\qquad PP'\text{ の中点が }\ell\text{ 上}

ℓ\ell は線分 PP′PP^{\prime} の垂直二等分線

この公式のポイント

  • 条件は①垂直と②中点が直線上の2つ
  • 直線は線分 PP′PP^{\prime} の垂直二等分線
  • y=xy=x について対称なら座標を入れかえる
  • 最短は折り返してまっすぐ結ぶ
うかるくん

うかるくん

ななめの直線で折り返した点は、どうやって座標を出すの？

合格先生

合格先生

条件は2つだ。結んだ線が直線に垂直なこと、中点が直線の上にあること。この2式を連立すれば決まるぞ。

直線について対称な点の求め方

対称な点の2つの条件

点 PP と直線 ℓ\ell について対称な点 P′P' は、次の2つで決まる。

① PP′⊥ℓPP'\perp\ell（傾きの積が −1-1）　② PP′PP' の中点が ℓ\ell 上

まとめた式：P(p, q)P(p,\ q)、ℓ: ax+by+c=0\ell:\ ax+by+c=0 のとき

P′=(p−2a(ap+bq+c)a2+b2,  q−2b(ap+bq+c)a2+b2)P'=\left(p-\frac{2a(ap+bq+c)}{a^2+b^2},\ \ q-\frac{2b(ap+bq+c)}{a^2+b^2}\right)

よく使う特別な場合：xx 軸 → (p, −q)(p,\ -q)、yy 軸 → (−p, q)(-p,\ q)、原点 → (−p, −q)(-p,\ -q)、直線 y=xy=x → (q, p)(q,\ p)、直線 y=−xy=-x → (−q, −p)(-q,\ -p)

P(3, 2)P′(−1, 4)M(1, 3)ℓ：y＝2x＋1O① PP′⊥ℓ② 中点 M が ℓ 上
直線 ℓ について P と P′ が対称：PP′ は ℓ に垂直、中点 M は ℓ の上

証明：なぜ2つの条件で決まるのか

直線 ℓ\ell で紙を折ると PP が P′P' に重なる、というのが「対称」の意味です。このとき ℓ\ell は線分 PP′PP' の垂直二等分線になります（作図の垂直二等分線と同じ形）。だから「垂直」と「中点が ℓ\ell 上」の2つを式にすれば、P′P' の2つの座標が決まります。

まとめた式の導き方（法線ベクトル）

直線 ax+by+c=0ax+by+c=0 に垂直な向きは (a, b)(a,\ b) です。PP′PP' はこの向きなので、P′=(p+ta, q+tb)P'=(p+ta,\ q+tb) とおけます。中点 (p+ta2, q+tb2)\left(p+\dfrac{ta}{2},\ q+\dfrac{tb}{2}\right) が ℓ\ell 上にあるので

a(p+ta2)+b(q+tb2)+c=0  ⟺  t=−2(ap+bq+c)a2+b2a\left(p+\frac{ta}{2}\right)+b\left(q+\frac{tb}{2}\right)+c=0\iff t=-\frac{2(ap+bq+c)}{a^2+b^2}

これを P′=(p+ta, q+tb)P'=(p+ta,\ q+tb) に入れると、上の式になります。ap+bq+cap+bq+c は「直線の式に点を入れた値」で、点と直線の距離の分子と同じものです。

特別な場合

y=xy=x について折り返すと xx 座標と yy 座標が入れかわります。P(p, q)P(p,\ q)、P′(q, p)P'(q,\ p) の中点 (p+q2, p+q2)\left(\dfrac{p+q}{2},\ \dfrac{p+q}{2}\right) は y=xy=x 上にあり、PP′PP' の傾き p−qq−p=−1\dfrac{p-q}{q-p}=-1 は y=xy=x の傾き 11 と積が −1-1 だからです。

P(3, 2)(3, −2) x軸y軸 (−3, 2)原点 (−3, −2)y＝x (2, 3)y＝xO
P(3, 2) と対称な点：x 軸・y 軸・原点・直線 y＝x について

高校受験（中学数学）での使い方

「直線上の点 P で AP+PBAP+PB を最小にする」問題は、片方の点を直線について対称な点に移して、まっすぐ結ぶと解けます。折り返しても長さは変わらないので PB=PB′PB=PB'、そして2点を結ぶ線のうち最も短いのは線分だからです。

高校受験

例題1（折れ線の最短）

A(1, 3)A(1,\ 3)、B(5, 1)B(5,\ 1) があります。xx 軸上の点 P について AP+PBAP+PB が最小になるときの P の座標と、その最小値を求めなさい。

解き方

B と xx 軸について対称な点は B′(5, −1)B^\prime(5,\ -1)。直線 AB′AB^\prime は傾き −1−35−1=−1\dfrac{-1-3}{5-1}=-1 で y=−x+4y=-x+4。xx 軸との交点は P(4, 0)P(4,\ 0)。最小値は AB′=42+42=42AB^\prime=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2。

答え　P(4, 0)P(4,\ 0)、最小値 424\sqrt2

A(1, 3)B(5, 1)B′(5, −1)P(4, 0)QOPB＝PB′ なのでAP＋PB＝AB′＝4√2Q を通ると遠回り
例題1：B を x 軸で折り返した B′ と A を結ぶと、x 軸との交点 P で最短になる

大学受験（数学Ⅱ）での使い方

大学受験

例題2（ななめの直線について対称な点）

直線 ℓ: y=2x+1\ell:\ y=2x+1 について、点 P(3, 2)P(3,\ 2) と対称な点 P′P^\prime の座標を求めなさい。

解き方

P′(s, t)P^\prime(s,\ t) とおく。① 垂直：PP′PP^\prime の傾き t−2s−3\dfrac{t-2}{s-3} と 22 の積が −1-1 より s−3=−2(t−2)s-3=-2(t-2)、s+2t=7s+2t=7。② 中点 (s+32, t+22)\left(\dfrac{s+3}{2},\ \dfrac{t+2}{2}\right) が ℓ\ell 上：t+22=(s+3)+1\dfrac{t+2}{2}=(s+3)+1、t=2s+6t=2s+6。連立して s+2(2s+6)=7s+2(2s+6)=7、s=−1s=-1、t=4t=4。
（まとめた式でも 2x−y+1=02x-y+1=0、ap+bq+c=6−2+1=5ap+bq+c=6-2+1=5、a2+b2=5a^2+b^2=5 より P′=(3−2⋅2, 2−2⋅(−1))=(−1, 4)P^\prime=(3-2\cdot2,\ 2-2\cdot(-1))=(-1,\ 4)。）

答え　P′(−1, 4)P^\prime(-1,\ 4)

大学受験

例題3（直線 y＝x 上での最短）

A(3, 1)A(3,\ 1)、B(5, 2)B(5,\ 2) があります。直線 y=xy=x 上の点 P について AP+PBAP+PB の最小値と、そのときの P を求めなさい。

解き方

A、B は y=xy=x の同じ側（下側）にあるので、A を折り返して A′(1, 3)A^\prime(1,\ 3)。直線 A′BA^\prime B は傾き 2−35−1=−14\dfrac{2-3}{5-1}=-\dfrac14 で y−3=−14(x−1)y-3=-\dfrac14(x-1)。y=xy=x と連立して 4x−12=−x+14x-12=-x+1、x=135x=\dfrac{13}{5}。最小値は A′B=42+12=17A^\prime B=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}。

答え　最小値 17\sqrt{17}、P(135, 135)P\left(\dfrac{13}{5},\ \dfrac{13}{5}\right)

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

「垂直」だけ、「中点が直線上」だけでは点は決まらない。必ず2つの式を連立するんだぞ。

  • 条件を1つしか使わない：「垂直」だけ、「中点が直線上」だけでは点が決まらない。必ず2つの式を連立する。
  • y=xy=x と y=−xy=-x を混同する：y=xy=x なら (q, p)(q,\ p)、y=−xy=-x なら (−q, −p)(-q,\ -p)。点を1つ入れて確かめる。
  • 最短の問題で、2点が反対側なのに折り返す：A、B が直線の反対側にあれば、そのまま結べばよい。折り返すのは同じ側にあるときだけ。

練習問題

指さして説明するサクラちゃん

サクラちゃん

最短の問題は、折り返してまっすぐ結ぶ！

  1. 高校受験 点 (2, −3)(2,\ -3) と直線 y=xy=x について対称な点の座標は？
    答えと解説を見るxx と yy を入れかえて (−3, 2)(-3,\ 2)
  2. 大学受験 直線 x+y−3=0x+y-3=0 について、点 (1, 0)(1,\ 0) と対称な点の座標は？
    答えと解説を見るap+bq+c=1+0−3=−2ap+bq+c=1+0-3=-2、a2+b2=2a^2+b^2=2。(1−2⋅1⋅(−2)2, 0−2⋅1⋅(−2)2)=(3, 2)\left(1-\dfrac{2\cdot1\cdot(-2)}{2},\ 0-\dfrac{2\cdot1\cdot(-2)}{2}\right)=(3,\ 2)。中点 (2, 1)(2,\ 1) が直線上にあることも確かめられる
  3. 大学受験 A(0, 2)A(0,\ 2)、B(4, 4)B(4,\ 4) と xx 軸上の点 P について、AP+PBAP+PB の最小値とそのときの P は？
    答えと解説を見るA を折り返して A′(0, −2)A^\prime(0,\ -2)。直線 A′BA^\prime B は y=32x−2y=\dfrac32x-2 で、P(43, 0)P\left(\dfrac43,\ 0\right)。最小値 A′B=16+36=213A^\prime B=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}

関連する公式

この公式に出てくる用語（数学用語辞典）

よくある質問

直線について対称な点はどう求めますか？

対称な点を (s, t) とおき、「2点を結ぶ線分が直線に垂直（傾きの積が−1）」と「2点の中点が直線上にある」の2つの式を連立して求めます。

直線 y=x について対称な点は？

x 座標と y 座標を入れかえた点です。(p, q) なら (q, p) になります。y=−x なら (−q, −p) です。

AP+PB を最小にする点 P はどう求めますか？

A と B が直線の同じ側にあるとき、片方を直線について折り返した点をとり、もう一方とまっすぐ結んだ線と直線の交点が P です。

あわせて読みたい

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）」数学 第1学年（平面図形）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）」数学Ⅱ（図形と方程式）

最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦