対称移動とは？座標とグラフの式をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

対称移動とは？座標とグラフの式をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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対称移動とは

図形を、ある直線を折り目にして折り返して移すことです（1 つの点のまわりに 180° 回して移す点対称移動もあります）。点 (x, y)(x,\ y) は、xx 軸について (x, −y)(x,\ -y)、yy 軸について (−x, y)(-x,\ y)、原点について (−x, −y)(-x,\ -y) に移ります。

読み方：たいしょういどう／英語：reflection / symmetric transformation／習う学年：中学1年（図形の移動）・数学Ⅰ（2次関数）

サクラちゃん

サクラちゃん

xx 軸について対称移動すると、xx と yy のどっちの符号が変わるのか、いつも迷います…

合格先生

合格先生

xx 軸は横の線だよね。横の線で折り返すと上下が反対になる。上下を表すのは yy だから、yy の符号が変わるんだ。

この用語のポイント

  • 対称移動 ＝ 折り目について折り返す（鏡に映す）移動
  • xx 軸 → yy の符号、yy 軸 → xx の符号、原点 → 両方を変える
  • グラフは yy を −y-y、xx を −x-x におきかえて式を作る

やさしく言うと

対称移動は、図形を、ある直線を折り目にしてパタンと裏返す移動です。鏡に映すのと同じで、形と大きさはそのまま、向きだけが左右（または上下）反対になります。

  • 鏡：鏡の前で右手を上げると、鏡の中の人は左手を上げているように見えます。鏡を折り目にして、左右が反対になった形です。
  • 紙を折る：紙にインクを落として半分に折ると、折り目の反対側に同じ形の模様が写ります。折り目が「対称の軸」です。
  • 湖に映る山：静かな湖面に映った山は、上下が反対になっています。湖面が折り目です。
ℓ（対称の軸） AA′BB′CC′ AA′ は ℓ と垂直。ℓ からのきょりは等しい（印の長さが同じ）
直線 ℓ で折り返す。AA′ は ℓ と垂直で、ℓ で二等分される

まとめると、対称移動は「折り目（対称の軸）について、図形を折り返して移す動かし方」です。数学では、1 つの点について 180° 回して移す「点対称移動」もあります。

ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

鏡に映すのが対称移動。だから左右が逆になるのね！

対称移動の例と、対称移動ではない移動

○ 対称移動

  • 鏡に映った像
  • 紙を半分に折って写した模様
  • 点 (3, 2)(3,\ 2) を (3, −2)(3,\ -2) に移す（xx 軸について対称）
  • 点 (3, 2)(3,\ 2) を (−3, −2)(-3,\ -2) に移す（原点について対称）
  • y=x2+1y=x^2+1 を y=−x2−1y=-x^2-1 に移す（xx 軸について対称）

× 対称移動ではないもの

  • 引き戸を開ける（平行移動）
  • 時計の針が 90° 回る（回転移動）
  • 点 (3, 2)(3,\ 2) を (5, 3)(5,\ 3) に移す（平行移動）
  • 三角形を 2 倍に拡大する（大きさが変わる）
  • y=x2y=x^2 を y=x2+3y=x^2+3 に移す（上へ平行移動）

対称移動では、形と大きさは変わりませんが、図形が裏返しになります（線対称移動の場合）。向きがそのままなら平行移動、回しているなら回転移動です。

図で見る（対応する点の性質）

直線 ℓ\ell について対称移動したとき、もとの点 A と移った点 A′ には、決まった関係があります。

  • 線分 AA′ は、対称の軸 ℓ\ell と垂直に交わる。
  • ℓ\ell から A までのきょりと、ℓ\ell から A′ までのきょりは等しい（ℓ\ell は AA′ を二等分する）。

つまり、対称の軸は線分 AA′ の垂直二等分線です。中学 1 年の作図で、対称の軸を垂直二等分線でかくのはこのためです。

座標で見る対称移動

座標平面では、xx 軸・yy 軸・原点について対称移動することが多く、座標の符号を変えるだけで移った点がわかります。

xyO P(3, 2)x軸：(3, −2)y軸：(−3, 2) 原点：(−3, −2)
x 軸なら y の符号、y 軸なら x の符号、原点なら両方の符号が変わる
何について点 (x, y)(x,\ y) の移り先y=f(x)y=f(x) のグラフの移り先
xx 軸(x, −y)(x,\ -y)−y=f(x)-y=f(x)（y=−f(x)y=-f(x)）
yy 軸(−x, y)(-x,\ y)y=f(−x)y=f(-x)
原点(−x, −y)(-x,\ -y)−y=f(−x)-y=f(-x)
直線 y=xy=x（数学Ⅱ）(y, x)(y,\ x)x=f(y)x=f(y)（xx と yy を入れかえる）

グラフの式は、おきかえる文字で覚えます。xx 軸について対称なら「yy を −y-y に」、yy 軸について対称なら「xx を −x-x に」、原点なら「両方」です。xx 軸は横の軸なので、折り返すと上下（yy）が反対になる、と考えるとまちがえにくくなります。

グラフの対称移動

xyO もと y 軸対称 x 軸対称 (2, 1) (−2, 1) (2, −1)
y 軸対称は左右に、x 軸対称は上下に折り返す

y=(x−2)2+1y=(x-2)^2+1 を yy 軸について対称移動すると、xx を −x-x にして y=(−x−2)2+1=(x+2)2+1y=(-x-2)^2+1=(x+2)^2+1。頂点は (2, 1)(2,\ 1) から (−2, 1)(-2,\ 1) に移り、形と向き（下に凸）は変わりません。xx 軸について対称移動すると、−y=(x−2)2+1-y=(x-2)^2+1 より y=−(x−2)2−1y=-(x-2)^2-1。頂点は (2, −1)(2,\ -1) に移り、上に凸（下に開く形）になります。

うかるくん

うかるくん

原点について対称って、どんな動かし方なんですか？ 折り目がないですよね。

合格先生

合格先生

原点について対称移動は、原点のまわりに 180° 回す動かし方なんだ。xx 軸で折り返してから yy 軸で折り返しても同じになるよ。だから座標は両方の符号が変わるんだ。

xy AA′BB′CC′ O 原点について対称 ＝ O のまわりに　180° 回転 (x, y) → (−x, −y)
原点について対称 ＝ 原点のまわりに 180° 回転。対応する点を結ぶと原点を通る

テスト・入試ではこう出る

中学 1 年では、対称の軸の作図や、移動した図形をかく問題が出ます。中学〜高校では、折れ線の長さを最小にする問題（対称な点をとってまっすぐ結ぶ）がよく出ます。高校の数学Ⅰでは、二次関数のグラフを xx 軸・yy 軸・原点について対称移動した式を求める問題、数学Ⅱでは直線について対称な点を求める問題が出ます。

例題1（数学Ⅰ・グラフの対称移動）

放物線 y=x2−4x+5y=x^2-4x+5 を、xx 軸、yy 軸、原点について、それぞれ対称移動した放物線の式を求めなさい。

  1. xx 軸について：yy を −y-y におきかえる。−y=x2−4x+5-y=x^2-4x+5 より y=−x2+4x−5y=-x^2+4x-5。
  2. yy 軸について：xx を −x-x におきかえる。y=(−x)2−4(−x)+5y=(-x)^2-4(-x)+5 より y=x2+4x+5y=x^2+4x+5。
  3. 原点について：両方おきかえる。−y=x2+4x+5-y=x^2+4x+5 より y=−x2−4x−5y=-x^2-4x-5。

頂点で確かめ：もとは y=(x−2)2+1y=(x-2)^2+1 で頂点 (2, 1)(2,\ 1)。xx 軸対称は (2, −1)(2,\ -1)、yy 軸対称は (−2, 1)(-2,\ 1)、原点対称は (−2, −1)(-2,\ -1) で、3 つの式の頂点と一致します。

例題2（最短の道すじ）

座標平面上に 2 点 A(1, 3)(1,\ 3)、B(5, 1)(5,\ 1) があります。xx 軸上の点 P について、AP＋PB が最小になるときの P の座標と、その最小値を求めなさい。

  1. B を xx 軸について対称移動した点 B′(5, −1)(5,\ -1) をとる。xx 軸上の点 P では PB ＝ PB′。
  2. AP＋PB ＝ AP＋PB′ が最小になるのは、A、P、B′ が一直線にならぶとき。
  3. 直線 AB′ の傾きは −1−35−1=−1\dfrac{-1-3}{5-1}=-1 なので、y=−x+4y=-x+4。y=0y=0 とおいて x=4x=4。
  4. 最小の長さは AB′ =(5−1)2+(−1−3)2=32=42=\sqrt{(5-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2。

答え　P(4, 0)(4,\ 0)、最小値 424\sqrt2

xO A(1, 3) B(5, 1) B′(5, −1) P(4, 0) 遠回り PB ＝ PB′ だから、AP＋PB ＝ AP＋PB′ A と B′ をまっすぐ結んだときがいちばん短い
B を x 軸で折り返した B′ と A をまっすぐ結ぶと、いちばん短い道すじになる
指し棒で説明する合格先生

合格先生

最短の道すじは、折り返してまっすぐにする。対称移動の大活やくだね！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

xx 軸について対称なら、変わるのは yy の符号！ 軸の名前と逆の文字だよ。

  • xx 軸と yy 軸で、変える符号を取りちがえる：xx 軸について対称なら、変わるのは yy 座標です。(3, 2)→(3, −2)(3,\ 2)\to(3,\ -2)。名前の軸と同じ文字の座標はそのままです。
  • 原点対称で片方だけ変える：原点について対称なら、xx と yy の両方の符号を変えます。(3, 2)→(−3, −2)(3,\ 2)\to(-3,\ -2) です。
  • xx 軸対称で yy を −y-y にしたあと、右辺全体にマイナスをつけ忘れる：−y=x2−4x+5-y=x^2-4x+5 は y=−x2+4x−5y=-x^2+4x-5 です。y=−x2−4x+5y=-x^2-4x+5 のように一部だけ符号を変えるまちがいが多いです。
  • 「線対称な図形」と「対称移動」をまぜる：線対称な図形は「1 つの図形が自分自身と重なる形」、対称移動は「図形を別の場所へ移す動かし方」です。
  • 折れ線の最短で、そのまま A と B を結ぶ：A と B が直線の同じ側にあるときは、片方を折り返してから結びます。そのまま結んでも、直線上の点を通りません。

ことばの由来

対称は、折り目や中心をはさんで、2 つの部分が向かい合ってつり合っているようすを表す言葉です。対称移動は、その「対称」な位置へ図形を移すことです。英語では、直線について折り返す移動を reflection（リフレクション）といいます。reflection には「反射」「鏡に映すこと」という意味があり、鏡のたとえとぴったり合っています。

ミニ問題

問題1　点 (−4, 5)(-4,\ 5) を、(1) xx 軸、(2) 原点 について対称移動した点の座標を、それぞれ求めましょう。

答えと解き方を見る

(1) (−4, −5)(-4,\ -5)　(2) (4, −5)(4,\ -5) です。xx 軸について対称なら yy 座標の符号だけ、原点について対称なら xx 座標と yy 座標の両方の符号を変えます。

問題2　直線 y=2x+3y=2x+3 を yy 軸について対称移動した直線の式を求めましょう。

答えと解き方を見る

y=−2x+3y=-2x+3 です。yy 軸について対称移動するので、xx を −x-x におきかえて y=2×(−x)+3=−2x+3y=2\times(-x)+3=-2x+3。yy 軸との交点 (0, 3)(0,\ 3) は動かず、傾きの符号が逆になります。

問題3　放物線 y=(x−1)2+2y=(x-1)^2+2 を原点について対称移動した放物線の式を求めましょう。

答えと解き方を見る

y=−(x+1)2−2y=-(x+1)^2-2 です。xx を −x-x、yy を −y-y におきかえて −y=(−x−1)2+2-y=(-x-1)^2+2。(−x−1)2=(x+1)2(-x-1)^2=(x+1)^2 なので −y=(x+1)2+2-y=(x+1)^2+2、つまり y=−(x+1)2−2y=-(x+1)^2-2。頂点で確かめると、(1, 2)(1,\ 2) が (−1, −2)(-1,\ -2) に移り、向きが下に開く形に変わっています。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

対称移動とは簡単にいうと何ですか？

図形を、ある直線を折り目にして折り返して移すことです。鏡に映したときのように、形と大きさは同じで、向きが反対になります。

x軸について対称移動すると座標はどうなりますか？

y 座標の符号が変わります。点(3, 2)は(3, −2)に移ります。

原点について対称移動するとどうなりますか？

x 座標と y 座標の両方の符号が変わります。原点のまわりに180°回転したのと同じです。

グラフを対称移動した式はどう作りますか？

x 軸についてなら y を −y に、y 軸についてなら x を −x に、原点についてなら両方をおきかえます。

対称移動と線対称な図形のちがいは？

対称移動は図形を別の場所へ移す動かし方、線対称な図形は1つの図形が折り目で自分自身とぴったり重なる形のことです。

対称移動は何年生で習いますか？

中学1年の平面図形で図形の移動として習い、高校の数学Ⅰで二次関数のグラフの対称移動を習います。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（図形の移動）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（2次関数）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦