弧度法とは？ラジアンの意味と度の換え方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$\pi=180$ って覚えていたんですけど、ちがうんですか？

合格先生

$\pi$ はあくまで約3.14という数だよ。正しくは「$\pi$ ラジアン $=180^\circ$」。半円の弧の長さが半径の $\pi$ 倍だから、こうなるんだ。

やさしく言うと

ふだん角度は「度（°）」で測ります。弧度法は、角度を「弧の長さ ÷ 半径」という長さの比で測る方法です。単位はラジアン（rad）です。たとえで考えてみましょう。

• 円にそって歩く：半径 1 m のひもで円をかき、円周にそって 1 m 歩いたとします。中心から見て進んだ角が 1 ラジアンです。ひとまわりすると $2\pi$ m（約 6.28 m）歩くので、$360^\circ$ は $2\pi$ ラジアンです。
• タイヤが転がる：半径 30 cm のタイヤが 2 ラジアン回ると、地面を $30\times2=60$ cm 進みます。「回った角 × 半径 ＝ 進んだ長さ」が、かけ算 1 回で出せるのが弧度法の便利なところです。
• 時計の長針：長針は 60 分でひとまわり（$2\pi$）なので、15 分では $\dfrac{\pi}2$、30 分では $\pi$ だけ回ります。

まとめると、弧度法は「半径何本分の長さの弧か」で角を表す方法で、$180^\circ=\pi$ ラジアンです。

弧度法の書き方

弧度法では、ふつう単位「ラジアン」を書きません。$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ と書けば、それは $\dfrac{\pi}{3}$ ラジアン（＝60°）のことです。弧度法は高校の数学Ⅱ（三角関数）で習います。

図で見る

1 ラジアンは約 57.3° なので、円周に「半径と同じ長さの弧」を並べていくと、6 個と少しでひとまわりします。この「6 個と少し」が $2\pi\fallingdotseq6.28$ です。

うかるくん

360° はきりのいい数なのに、ひとまわりが 6.28 なんて中途半端じゃないですか？

合格先生

360 は人間が決めた数なんだ。ラジアンは「弧の長さ ÷ 半径」だから、円そのものから自然に決まる。中途半端に見えても、計算ではこちらのほうがずっと楽になるんだよ。

「弧の長さ ÷ 半径」は、長さを長さで割ったただの数です。だからラジアンで表した角は、1、2、3 と同じ数直線にのせられます。

度とラジアンの換え方

もとになるのは $180^\circ=\pi$ ラジアン の1本だけです。

よく使う角は、30°（$\dfrac{\pi}6$）・45°（$\dfrac{\pi}4$）・60°（$\dfrac{\pi}3$）・90°（$\dfrac{\pi}2$）を土台にして覚えると楽です。たとえば 150° は「30° の 5 つ分」なので $\dfrac56\pi$、135° は「45° の 3 つ分」なので $\dfrac34\pi$ です。

なぜ弧度法を使うのか

弧度法を使うと、おうぎ形の公式がとても簡単になります。半径 $r$、中心角 $\theta$（ラジアン）なら

$$l=r\theta,\qquad S=\frac12r^2\theta$$

度数法の $l=2\pi r\times\dfrac{x}{360}$ とくらべると、$\pi$ や360が消えてすっきりします。さらに数学Ⅲでは、$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ や $(\sin x)'=\cos x$ が、$x$ をラジアンで測ったときだけこの形で成り立ちます。三角関数を微分・積分するときは、必ず弧度法です。

また、三角関数 $y=\sin x$ のグラフをかくとき、横軸の $x$ も縦軸の $y$ もふつうの数なので、同じ目もりでかけます。$y=\sin x$ の周期が $2\pi$ になるのも、弧度法で角を測っているからです。

合格先生

角を「長さの比」で測るから、角とふつうの数を同じように計算できるんだ！

テスト・入試ではこう出る

弧度法は、高校の数学Ⅱ（三角関数）の最初で習います。定期テストでは度とラジアンの換算、おうぎ形の弧の長さ・面積がよく出ます。そのあとの三角関数の問題（方程式・不等式・グラフ）は、ほとんど弧度法で書かれます。$\dfrac{\pi}6$ や $\dfrac34\pi$ を見たらすぐ度に直せるようにしておくと、ぐっと楽になります。

うかるくん

ラジアンなら弧の長さは rθ。かけ算1回で終わるから速い！

まちがえやすい点

合格先生

「$\pi=180$」は×！ $\pi$ ラジアン $=180^\circ$ と書こう。

• 「$\pi=180$」と書く：$\pi$ は約3.14という数です。正しくは「$\pi$ ラジアン $=180^\circ$」。式の中で $\pi$ を180に置きかえてはいけません。
• 度数法の公式にラジアンを入れる：$l=2\pi r\times\dfrac{\theta}{360}$ に $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ を入れるのは×。ラジアンなら $l=r\theta$ を使います。
• 単位を書かない角を「度」と思う：$\theta=30$ は30ラジアン（約1719°）のことです。30°のつもりなら $\dfrac{\pi}{6}$ と書きます。
• 約分を忘れる：$72^\circ=\dfrac{72}{180}\pi$ で止めるのは×。$\dfrac25\pi$ まで約分します。
• 電卓のモードをまちがえる：関数電卓には度（DEG）とラジアン（RAD）の切りかえがあります。ラジアンの角の $\sin$ を度のモードで計算すると、まったくちがう値になります。

ことばの由来

「弧度法」は、弧の長さで角の度（大きさ）を表す方法、という意味です。これに対して、ひとまわりを 360 に分けて測る方法を度数法といいます。英語の radian（ラジアン）は、radius（半径）をもとにした言葉です。「半径を単位にして角を測る」という意味が、名前にこめられています。

ミニ問題

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よくある質問