比例とは？意味と式・グラフをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

まなぶくん

ジュースを 2 本買ったら 2 倍の値段、3 本なら 3 倍。これも比例なの？

合格先生

そうだよ。1 本の値段が決まっていて、本数が 2 倍・3 倍になると代金も 2 倍・3 倍。これが比例なんだ。

やさしく言うと

比例は、一方が 2 倍、3 倍…になると、もう一方も 2 倍、3 倍…になる関係です。身のまわりにたくさんあります。

• 同じえんぴつを買う：1 本 60 円のえんぴつなら、2 本で 120 円、3 本で 180 円。本数が 2 倍・3 倍になると、代金も 2 倍・3 倍になります。
• 同じ速さで歩く：分速 80m で歩くと、2 分で 160m、3 分で 240m。歩いた時間と道のりは比例します。
• 水そうに水を入れる：毎分 5L ずつ入れると、入れた時間と水の量は比例します（はじめに水が入っていないとき）。

えんぴつの例を表にすると、比例の特ちょうがよく見えます。

代金 $y$ を本数 $x$ でわると、いつも 60（1 本の値段）になります。だから式は $y=60\times x$ です。中学では $y=ax$ と書き、この $a$ を比例定数といいます。まとめると、比例は「1 つあたりの量が決まっていて、全体がその何個分かで決まる関係」です。

まなぶくん

「1 つあたり」が決まっていれば、比例になるんだね！

比例の例と、比例ではない例

比例ではない例の多くは、「はじめから量がある（水そうの 10L）」「2 倍が 4 倍になる（面積）」「一方が増えると他方がへる（おつり）」のどれかです。「増えると増える」だけでは比例とは言えません。

図で見る（グラフ）

比例のグラフは、原点 O を通る直線になります。$x=0$ のとき、$y=a\times0=0$ だからです。

小学校では、$x$ も $y$ も 0 以上の部分（グラフの右上）だけを考えます。中学 1 年で負の数を習うと、$x$ が負の部分までグラフをのばし、比例定数が負の比例（$y=-2x$ など）も考えます。$y=-2x$ は $x$ が増えると $y$ がへりますが、$x$ が 2 倍になれば $y$ も 2 倍（$x=1$ で $-2$、$x=2$ で $-4$）なので、りっぱな比例です。

ハルちゃん

$x$ が増えると $y$ も増えるグラフなら、ぜんぶ比例じゃないの？

合格先生

下の赤い直線 $y=x+1$ を見てごらん。増えてはいるけど、原点を通っていないよね。$x$ が 1 から 2 に 2 倍になっても、$y$ は 2 から 3 で 2 倍にならない。だから比例ではないんだ。

比例かどうかの見分け方

比例かどうかは、次の 3 つのどれかで確かめられます。どれも同じことを、表・式・グラフで見ています。

式やグラフがあるときは、「$y=ax$ の形か」「原点を通るか」を見るのが速い方法です。表だけのときは、$y\div x$ を 2〜3 か所で計算して、同じになるかを調べます。

グラフから式を求めるときは、$x$ 座標も $y$ 座標も整数になる点（目もりの線が交わる点）を見つけて、$y=ax$ に代入します。

小学校と中学校の比例のちがい

中学では、比例を「関数」の一つとして学びます。$x$ の値を決めると $y$ の値がただ 1 つに決まる関係です。比例は、のちに学ぶ一次関数 $y=ax+b$ の、$b=0$ の場合にあたります。

テスト・入試ではこう出る

小学 6 年では、表やグラフから比例の関係を読み取る問題や、「1 あたりの量」を使った文章題が出ます。中学受験では、ばねののび・歯車の回転数・速さなど、比例を使う問題がたくさんあります。中学 1 年では、式を求める問題、グラフをかく・読む問題がよく出て、高校入試でも関数の問題の土台になります。

ハルちゃん

比例の式は、まず y＝ax とおいて、わかっている x と y を入れればいいんだね！

まちがえやすい点

合格先生

「$x$ が増えると $y$ も増える」だけでは比例とは言えない！ 2 倍で 2 倍かを確かめよう。

• 「増えると増える」を比例と思う：$y=x+1$ や「水が 10L 入った水そうに水を入れる」は、増えても比例ではありません。2 倍が 2 倍か、原点を通るかで確かめます。
• へる関係は比例ではないと思う：$y=-2x$ は $x$ が増えると $y$ がへりますが、比例です。比例定数が負なだけです。
• 比例定数を $x\div y$ で求める：比例定数は $y\div x$ です。$x=3$、$y=12$ なら $a=12\div3=4$。$3\div12=\dfrac14$ にしないように。
• グラフを原点から始めない：比例のグラフは必ず原点を通ります。表の点だけを結んで、原点を通らない線をかくのはまちがいです。
• 反比例とまぜる：比例は「$x$ が 2 倍 → $y$ も 2 倍」、反比例は「$x$ が 2 倍 → $y$ は $\dfrac12$ 倍」です。

ことばの由来

比例は、反比例と区別して正比例ともいいます。英語では proportion（比・つり合い）や direct proportion（正比例）といい、「$y$ は $x$ に比例する」は "$y$ is proportional to $x$" と言います。

比例の関係では、$x$ と $y$ の比がいつも同じになります。えんぴつの例なら、1 本：60 円 ＝ 2 本：120 円 ＝ 3 本：180 円です。このように「比」が等しく保たれることが、比例という言葉の中身です。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 比例・反比例の式
• 連比・比例式
• 一次関数

あわせて覚えたい用語

• 比例定数
• 反比例
• 一次関数

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