平方根の大小と整数部分・小数部分の求め方｜2乗してくらべる理由の証明・√7の小数部分の例題【中学3年・高校受験】

うかるくん

$\sqrt7$ の小数部分って、0.645… と書けばいいんじゃないの？

合格先生

$4<7<9$ だから $2<\sqrt7<3$。小数部分は「もとの数－整数部分」で $\sqrt7-2$ と式で書く。そのほうが計算に使えるぞ。

平方根の大小と整数部分・小数部分

証明

$a<b$ なら $\sqrt a<\sqrt b$

$\sqrt b$ と $\sqrt a$ の差に、正の数 $\sqrt b+\sqrt a$ をかけると、和と差の積で

$a<b$ なら右辺は正。$\sqrt b+\sqrt a$ は正なので、$\sqrt b-\sqrt a$ も正、つまり $\sqrt a<\sqrt b$ です。逆に $\sqrt a<\sqrt b$ なら $b-a>0$ です。

図で見ると、面積が大きい正方形ほど1辺も長いということです。面積 7 の正方形の1辺が $\sqrt7$ なので、面積 4 と 9 の正方形とくらべて $2<\sqrt7<3$ とわかります。

整数部分と小数部分

$n^2\le a<(n+1)^2$ の各辺は正なので、上のきまりで $\sqrt{\ }$ をとると $n\le\sqrt a<n+1$。$\sqrt a$ は $n$ 以上 $n+1$ 未満なので、整数部分は $n$、残り $\sqrt a-n$ が小数部分です（$0\le\sqrt a-n<1$）。

小数部分は「0.645…」のように小数で書かず、$\sqrt7-2$ のように式で表します。こうすると、小数部分を使った式の値が計算できます（例題2）。

高校受験（中学3年）での使い方

平方根は中学3年で学びます。大小・整数部分・「$\sqrt n$ が〜になる自然数 $n$」の問題は、どれも2乗して平方数（1、4、9、16、25、…）とくらべるのが基本です。

よくある間違い

合格先生

$5-\sqrt3$ の整数部分を 4 にしてはだめだ。ひくと不等号の向きが変わる。$3<5-\sqrt3<4$ だから 3 だぞ。

• 小数部分を $\sqrt7-\sqrt4$ や $0.6$ と書く：小数部分は「もとの数－整数部分」。$\sqrt7-2$ と式で書く。
• $5-\sqrt3$ の整数部分を $5-1=4$ とする：ひくと不等号の向きが変わる。$3<5-\sqrt3<4$ なので整数部分は 3。
• 係数のついた $\sqrt{\ }$ をそのままくらべる：$3\sqrt2$ と $2\sqrt5$ は、2乗するか $\sqrt{18}$、$\sqrt{20}$ に直してからくらべる。

練習問題

サクラちゃん

平方数ではさめば、すぐわかるね！

1. 高校受験 $2\sqrt3$、$3\sqrt2$、$\sqrt{15}$ を小さい順に並べなさい。
   答えと解説を見る

   2乗すると 12、18、15。答え $2\sqrt3<\sqrt{15}<3\sqrt2$
2. 高校受験 $6-\sqrt{10}$ の整数部分と小数部分を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $3<\sqrt{10}<4$ より $2<6-\sqrt{10}<3$。整数部分 2、小数部分 $(6-\sqrt{10})-2=4-\sqrt{10}$
3. 高校受験 $\sqrt{50}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a(a+14)$ の値は？
   答えと解説を見る

   $49<50<64$ より整数部分は 7、$a=\sqrt{50}-7$。$a+14=\sqrt{50}+7$。$a(a+14)=50-49=1$。答え $1$

関連する公式

• 平方根の計算
• 有理数・無理数と循環小数
• 乗法公式（和と差の積）
• ガウス記号（整数部分を表す記号）
• 三平方の定理

よくある質問

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