ガウス記号 [x] の定義と公式｜[x]≦x＜[x]＋1・階段グラフ・n!にふくまれる素因数の個数の証明と例題【数学A・大学受験】

うかるくん

ガウス記号の $[-1.5]$ って、小数を切り捨てて $-1$ じゃないの？

合格先生

ちがう。$-1.5$ を超えない最大の整数だから $-2$ だ。ただの切り捨てとはちがうぞ。

ガウス記号の定義と公式

グラフは、整数ごとに1段ずつ上がる階段です。各段の左はしはふくみ（●）、右はしはふくみません（○）。たとえば $1\le x<2$ では $[x]=1$ です。

証明

1 から n までの p の倍数は [n/p] 個

$q=\left[\dfrac np\right]$ とおくと、定義から $q\le\dfrac np<q+1$、つまり $pq\le n<p(q+1)$。1 から $n$ までの $p$ の倍数は $p,\ 2p,\ \dots,\ qp$ で、次の $(q+1)p$ は $n$ を超えます。よって個数は $q=\left[\dfrac np\right]$ 個です。

n! にふくまれる素因数 p の個数

$n!=1\times2\times\cdots\times n$ にふくまれる $p$ の個数は、1 から $n$ までの各数 $k$ にふくまれる $p$ の個数の合計です。$k$ にふくまれる $p$ の個数は、「$p$ で割れるか」「$p^2$ で割れるか」「$p^3$ で割れるか」…のうち、割れるものの数に等しくなります（例：$8=2^3$ は 2、4、8 で割れるので3個）。

そこで、数ごと（たて）ではなく、段ごと（横）に数えなおします。

• 1段目：$p$ で割れる数の個数 $=\left[\dfrac np\right]$
• 2段目：$p^2$ で割れる数の個数 $=\left[\dfrac n{p^2}\right]$
• 3段目：$p^3$ で割れる数の個数 $=\left[\dfrac n{p^3}\right]$ …

どちらで数えても合計は同じなので、$p$ の個数は $\left[\dfrac np\right]+\left[\dfrac n{p^2}\right]+\cdots$ です（$p^j>n$ になると 0 なので、有限個で終わります）。この式はルジャンドルの公式とよばれることもあります。

大学受験（数学A・数学Ⅰ）での使い方

よくある間違い

合格先生

$100!$ の5の個数を20とするな。$25$ の倍数の分 $\left[\dfrac{100}{25}\right]=4$ を足して24だ。

• 負の数で小数を切り捨てるだけにする：$[-1.5]$ は $-1$ ではなく $-2$（$-1.5$ を超えない最大の整数）。
• $p^2,\ p^3$ の段を足し忘れる：$100!$ の5の個数を $20$ としてしまう。$25=5^2$ の倍数は5を2個ふくむので、$\left[\dfrac{100}{25}\right]=4$ を足して 24。
• 不等号の等号の位置：$[x]=n$ は $n\le x<n+1$。右側に等号はつきません。

練習問題

サクラちゃん

階段のグラフの●と○を見くらべよう

1. 大学受験 $[\sqrt{20}]$ と $[-\pi]$ の値を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $4<\sqrt{20}<5$ より $[\sqrt{20}]=4$。$-4<-\pi<-3$ より $[-\pi]=-4$
2. 大学受験 $30!$ にふくまれる素因数 3 の個数を求めなさい。
   答えと解説を見る

   $\left[\dfrac{30}{3}\right]+\left[\dfrac{30}{9}\right]+\left[\dfrac{30}{27}\right]=10+3+1=14$。答え 14 個
3. 大学受験 $1000!$ を計算すると、末尾に 0 は何個続きますか。
   答えと解説を見る

   5の個数 $200+40+8+1=249$（2の個数のほうが多い）。答え 249 個

関連する公式

• 整数の性質（約数の個数・倍数の判定）
• 合同式（mod の計算）
• 最大公約数・最小公倍数
• 順列・組み合わせ（階乗 n!）
• ユークリッドの互除法

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）