背理法とは？やり方と√2が無理数である証明【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

背理法とは？やり方と√2が無理数である証明【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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背理法とは

証明したいことが「成り立たない」と仮定し、そこから矛盾を導いて、もとのことが正しいと示す証明の方法です。2\sqrt2 が無理数であることの証明が有名です。

読み方：はいりほう／英語：proof by contradiction／習う学年：数学Ⅰ（集合と命題）

うかるくん

うかるくん

わざと「まちがい」を仮定するなんて、ずるくないですか？

合格先生

合格先生

ずるくないよ。「そうでないとすると矛盾する」なら、そうであるしかない。推理小説の名探偵も、ありえない可能性を消して真相にたどり着くよね。

この用語のポイント

  • 結論の否定を仮定 → 推論 → 矛盾 → 結論は正しい
  • 「無理数である」「無限にある」「存在しない」の証明で活躍
  • 答案には何と矛盾したかを必ず書く

やさしく言うと

背理法は、「もしそうでなかったら、おかしなことになる。だから、そうに決まっている」と考える証明の方法です。

  • 推理小説のアリバイ：「もし犯人がAなら、Aは同じ時刻に2か所にいたことになる。それはありえないので、Aは犯人ではない」。
  • かぎのありか：「かぎを家の外に落としたとしたら、さっき家の中でドアを開けられたはずがない。だから、かぎは家の中にある」。
  • くじの当たり：「当たりが1本もないとしたら、さっき友だちが当たりを引いたことと合わない。だから当たりは少なくとも1本ある」。
① 結論が「成り立たない」と仮定例：√2 は有理数だ、と仮定する ② 正しい推論を進める式を変形する・性質を使う ③ 矛盾が出る例：「既約分数」なのに両方偶数になる ④ 仮定がまちがい → 結論は正しい√2 は無理数である
背理法の4つのステップ

まとめると、背理法は「反対の場合をつぶして、残った答えを正しいと決める」方法です。

有名な例1：√2 は無理数

11 √2 対角線 ＝ √2 ＝ 1.4142… 小数がくり返さずに どこまでも続く → 分数で表せない （これを背理法で示す）
1辺1の正方形の対角線は 2\sqrt2

証明

2\sqrt2 が有理数だと仮定すると、2=mn\sqrt2=\dfrac{m}{n}（m,nm, n は互いに素な自然数）と表せる。

両辺を2乗して m2=2n2m^2=2n^2。右辺は偶数なので m2m^2 は偶数、よって mm も偶数。m=2km=2k とおくと 4k2=2n24k^2=2n^2、つまり n2=2k2n^2=2k^2 で、nn も偶数。

m,nm, n がどちらも偶数になり、互いに素であることに矛盾。よって 2\sqrt2 は無理数である。

途中の「m2m^2 が偶数なら mm も偶数」は、対偶で証明できます（mm が奇数なら m2m^2 も奇数）。

ひらめいたうかるくん

うかるくん

「互いに素」と最初に決めておいたから、「両方偶数」で矛盾が出せるんだ！

有名な例2：素数は無限にある

素数が有限個しかないと仮定し、それを全部 p1,p2,…,pkp_1, p_2, \ldots, p_k とします。N=p1p2⋯pk+1N=p_1p_2\cdots p_k+1 を考えると、NN はどの pip_i で割っても1余ります。ところが N≧2N\geqq2 なので、NN は何かの素数で割り切れるはずです。その素数はリストにない素数になり、「全部」と仮定したことに矛盾します。古代ギリシャのユークリッドの証明として知られています。

「素数はこれで全部」と言っても… リスト：2、3、5、7 N ＝ 2×3×5×7 ＋ 1 ＝ 211 → 211 はリストにない素数 リスト：2、3、5、7、11、13 N ＝ 2×3×5×7×11×13 ＋ 1 ＝ 30031 → 30031 ＝ 59 × 509（リストにない素数が出る） N は、リストのどの素数で割っても 1 余る
リストの素数を全部かけて1をたすと、リストにない素数が見つかる

図の下の例のように、NN そのものが素数になるとは限りません。30031=59×50930031=59\times509 は素数ではありませんが、リストにない素数 59 と 509 で割り切れます。証明で使っているのは「NN を割り切る素数が、リストの外にある」ことです。

図で見る：対偶証明法とのちがい

「pp ならば qq」を示すとき、背理法とよく似た方法に対偶証明法があります。2つを図でくらべます。

対偶証明法 背理法 出発：q でない 正しい推論 ゴール：p でない 仮定：p かつ q でない 正しい推論 ゴール：矛盾 ゴールが決まっている 何と矛盾してもよい
対偶証明法はゴールが決まっている。背理法は何と矛盾してもよい

対偶証明法は「qq でない ⇒ pp でない」をまっすぐ示します。背理法は「pp である」と「qq でない」の両方を使ってよく、どこかで矛盾が出ればゴールです。使える材料が多いぶん、背理法のほうが広い場面で使えます。

うかるくん

うかるくん

じゃあ、いつも背理法を使えばいいんじゃないですか？

合格先生

合格先生

使える場面は多いけど、ふつうに示せるならふつうに示すほうが読みやすいよ。背理法は「〜でない」「無理数」「無限」「少なくとも1つ」のように、まっすぐ示しにくいときの切り札なんだ。

背理法を使うとき

○ 背理法が向いている

  • 「〜でない」「無理数である」を示す
  • 「無限にある」「存在しない」を示す
  • 「少なくとも1つは〜」を示す
  • 「ただ1つしかない」（2つあると仮定して矛盾）を示す
  • 「〜人いれば同じものがある」（鳩の巣原理）を示す

× 向いていない・ダメな使い方

  • ふつうに式を変形すれば示せる問題
  • 何と矛盾したかを書かずに終える
  • 否定をまちがえて仮定する（「少なくとも1つ」の否定を「1つもない」以外にする）
  • 矛盾が出ないまま「よって成り立つ」と書く
  • 具体的な数を1つ入れて成り立たないことを見せるだけ（これは反例）
示したいこと仮定すること（否定）
少なくとも1つは正すべて 0 以下
すべて正少なくとも1つは 0 以下
無理数である有理数である
無限にある有限個しかない
ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

「〜でない」を示したいときは、背理法が使えないか考えてみて！

テスト・入試ではこう出る

背理法は数学Ⅰの「集合と命題」で習います。教科書の定番は 2\sqrt2 が無理数であることの証明で、定期テストでは 3\sqrt3 や 5\sqrt5 に変えた形がよく出ます。大学入試では、無理数であることの証明（log⁡23\log_2 3 など）、整数の問題、「少なくとも1つ」の証明で使われます。数学Aの整数の性質や、数学Bの数列の問題の中で使うこともあります。

例題1（対数が無理数）

log⁡23\log_2 3 が無理数であることを証明しなさい。

  1. log⁡23>0\log_2 3>0 なので、有理数だと仮定すると log⁡23=mn\log_2 3=\dfrac{m}{n}（m, nm,\ n は自然数）と表せる。
  2. 対数の定義から 2mn=32^{\frac mn}=3。両辺を nn 乗して 2m=3n2^m=3^n。
  3. m≧1m\geqq1 なので左辺 2m2^m は偶数、右辺 3n3^n は奇数。偶数と奇数が等しくなり矛盾。
  4. よって log⁡23\log_2 3 は無理数である。

例題2（少なくとも1つ）

実数 a, b, ca,\ b,\ c について、a+b+c>0a+b+c>0 ならば、a, b, ca,\ b,\ c の少なくとも1つは正であることを証明しなさい。

  1. 結論を否定して、a≦0a\leqq0、b≦0b\leqq0、c≦0c\leqq0（すべて 0 以下）と仮定する。
  2. 3つをたすと a+b+c≦0a+b+c\leqq0。
  3. これは a+b+c>0a+b+c>0 に矛盾する。
  4. よって a, b, ca,\ b,\ c の少なくとも1つは正である。

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

「矛盾した、終わり」はダメ！ 何と矛盾したのかを答案に書こう。

  • 対偶証明法と混同する：対偶証明法は「qq でない」から出発して「pp でない」を導きます。背理法は「pp なのに qq でない」と仮定して、何かとの矛盾を導きます。
  • 何と矛盾したかを書かない：「仮定（互いに素）に矛盾」「N≧2N\geqq2 に矛盾」のように、矛盾の相手をはっきり書きます。答案ではここが採点されます。
  • 否定の仮定をまちがえる：「少なくとも1つは正」の否定は「すべて0以下」です。否定を正しく作らないと、証明全体がくずれます。
  • 「NN は素数」と書いてしまう：素数が無限にあることの証明で、N=p1p2⋯pk+1N=p_1p_2\cdots p_k+1 が素数とは限りません（30031=59×50930031=59\times509）。「NN を割り切る素数がある」と書きます。
  • 2=mn\sqrt2=\dfrac mn で「互いに素」を書き忘れる：あとで「両方偶数で矛盾」と言うためには、はじめに既約分数（互いに素）としておく必要があります。

ことばの由来

「背理」は、理（道理）に背くという意味です。「そうでないとすると、道理に合わないことが起きる」という証明のしくみを表しています。別名の帰謬法（きびゅうほう）は「誤り（謬）に帰着させる方法」という意味です。ラテン語の reductio ad absurdum（レドゥクティオ・アド・アブスルドゥム）は「ばかげたことに導く」という意味で、英語では proof by contradiction（矛盾による証明）ともいいます。

ミニ問題

問題1　実数 x, yx,\ y について「x+y>2x+y>2 ならば、x, yx,\ y の少なくとも一方は 1 より大きい」を背理法で証明するとき、はじめに何を仮定しますか。また、どう矛盾しますか。

答えと解き方を見る

「x≦1x\leqq1 かつ y≦1y\leqq1」と仮定します（「少なくとも一方は 1 より大きい」の否定は「両方とも 1 以下」）。すると x+y≦1+1=2x+y\leqq1+1=2 となり、x+y>2x+y>2 に矛盾します。

問題2　2\sqrt2 が無理数であることを使って、1+21+\sqrt2 が無理数であることを証明しましょう。

答えと解き方を見る

1+21+\sqrt2 が有理数だと仮定し、1+2=r1+\sqrt2=r（rr は有理数）とおきます。すると 2=r−1\sqrt2=r-1 です。有理数から有理数をひいた数は有理数なので、2\sqrt2 は有理数になります。これは 2\sqrt2 が無理数であることに矛盾します。よって 1+21+\sqrt2 は無理数です。

問題3　13 人いれば、誕生日の月が同じ人が少なくとも 2 人いることを、背理法で説明しましょう。

答えと解き方を見る

誕生月が同じ人がいない（13 人の誕生月がすべてちがう）と仮定します。月は 12 種類しかないので、誕生月がすべてちがう人は最大 12 人です。13 人いることに矛盾します。よって、誕生月が同じ人が少なくとも 2 人います。この考え方を鳩の巣原理（部屋割り論法）といいます。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

背理法とは簡単にいうと何ですか？

証明したいことが成り立たないと仮定して、おかしなこと（矛盾）が起きることを示し、もとのことが正しいと結論する証明の方法です。

背理法と対偶証明法のちがいは？

対偶証明法は「qでない⇒pでない」をまっすぐ示します。背理法は「pかつqでない」と仮定して、仮定や既知の事実との矛盾を導きます。

背理法はどんなときに使いますか？

「無理数である」「無限にある」「存在しない」「少なくとも1つは〜」など、直接示しにくい命題で使います。

「少なくとも1つ」の否定は何ですか？

「すべて〜でない」です。たとえば「少なくとも1つは正」の否定は「すべて0以下」です。

背理法の別名は？

帰謬法（きびゅうほう）ともいいます。英語では proof by contradiction です。

背理法は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅰの「集合と命題」で習います。√2が無理数であることの証明が教科書の定番です。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（数と式：集合と命題）
  • ユークリッド『原論』第9巻 命題20（素数が無限にあること）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦