対偶とは？逆・裏との違いと証明をわかりやすく【例題・問題つき】

Q: 対偶と逆・裏のちがいは？

p⇒qに対して、逆はq⇒p、裏はpでない⇒qでない、対偶はqでない⇒pでない、です。もとの命題と真偽が必ず一致するのは対偶だけです。

Q: 対偶証明法と背理法のちがいは？

対偶証明法は「qでない」から出発して「pでない」を導きます。背理法は「pなのにqでない」と仮定して、何かの矛盾を導きます。

Q: なぜ対偶は真偽が一致するのですか？

p⇒qが真のとき、pをみたす集合はqをみたす集合にふくまれます。すると、qをみたさないものは必ずpもみたさないからです。

Q: 対偶の作り方は？

前と後ろを入れかえて、両方を否定します。p⇒q なら、qでない⇒pでない です。

Q: x＞2 の否定は何ですか？

x≦2 です。x＜2 ではありません。x＝2 は「x＞2」に入らないので、否定の側に入ります。

Q: 対偶は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅰ（集合と命題）で習います。

合格大作戦数学用語辞典 › 集合と論理

大学受験

対偶とは

命題「 $p\Rightarrow q$ 」に対して、「 $q$ でない ⇒ $p$ でない」（ $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ ）という命題を対偶といいます。もとの命題と対偶は、真偽が必ず一致します。

読み方：たいぐう／英語：contrapositive／習う学年：数学Ⅰ（集合と命題）

うかるくん

逆・裏・対偶…3つもあって、どれが大事なんですか？

合格先生

いちばん大事なのは対偶。もとの命題と真偽が必ず同じだから、証明の道具になるんだ。逆と裏は、真とは限らないよ。

この用語のポイント

$p\Rightarrow q$ の対偶は $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ （入れかえて両方否定）
命題と対偶は真偽が一致。逆・裏は一致するとは限らない
証明しにくい命題は、対偶を証明すればよい

やさしく言うと

対偶は、もとの命題の前と後ろを入れかえて、両方を否定したものです。言っている内容は同じなので、真偽（正しいかどうか）が必ず一致します。身近な例で見てみましょう。

天気：「雨が降れば、地面がぬれる」の対偶は「地面がぬれていなければ、雨は降っていない」です。朝、地面が乾いていたら「雨は降らなかったな」と考えますね。これが対偶の考え方です。
入場のきまり：「この会場に入れる人は、チケットを持っている」の対偶は「チケットを持っていない人は、この会場に入れない」です。同じルールを、反対側から言っています。
動物：「ペンギンならば鳥である」の対偶は「鳥でないならば、ペンギンではない」です。犬は鳥ではないので、ペンギンではありません。

命題・逆・裏・対偶の関係。命題と対偶は真偽が一致する

まとめると、「 $p$ ならば $q$ 」と「 $q$ でないならば $p$ でない」は、同じことの言いかえです。

逆・裏・対偶の例

	形	例（ $n$ は整数）	真偽
もとの命題	$p\Rightarrow q$	$n$ が4の倍数 ⇒ $n$ は偶数	真
逆	$q\Rightarrow p$	$n$ が偶数 ⇒ $n$ は4の倍数	偽（ $n=2$ ）
裏	$\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$	$n$ が4の倍数でない ⇒ $n$ は奇数	偽（ $n=2$ ）
対偶	$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$	$n$ が奇数 ⇒ $n$ は4の倍数でない	真

このように、逆や裏は真とは限りません。命題と同じ真偽になるのは対偶だけです（逆と裏も、互いに対偶なので真偽が一致します）。

次の左は正しく作った対偶、右は対偶になっていないものです。

○ 正しい対偶

「雨なら中止」→「中止でないなら雨ではない」
「4の倍数 ⇒ 偶数」→「奇数 ⇒ 4の倍数でない」
「 $x=2\Rightarrow x^2=4$ 」→「 $x^2\ne4\Rightarrow x\ne2$ 」
「正方形 ⇒ 長方形」→「長方形でない ⇒ 正方形でない」
「 $x>1\Rightarrow x>0$ 」→「 $x\le0\Rightarrow x\le1$ 」

× 対偶ではないもの

「偶数 ⇒ 4の倍数」（入れかえただけ。これは逆）
「4の倍数でない ⇒ 奇数」（否定しただけ。これは裏）
「 $x\ne2\Rightarrow x^2\ne4$ 」（これも裏）
「奇数 ⇒ 4の倍数」（片方しか否定していない）
「 $x<0\Rightarrow x<1$ 」（ $>$ の否定を $<$ にしている）

対偶を作るときは、①前と後ろを入れかえる、②両方を否定する、の2つを必ずセットで行います。

なぜ真偽が一致するのか（図で見る）

$p\Rightarrow q$ が真なのは、 $p$ をみたす集合 $P$ が、 $q$ をみたす集合 $Q$ に入っているとき（ $P\subset Q$ ）です。このとき、 $Q$ の外にあるものは、必ず $P$ の外にあります。これがちょうど対偶 $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ です。

P が Q に入っていれば、Q の外は必ず P の外

反対に、 $p\Rightarrow q$ が偽なら、「 $P$ には入るが $Q$ には入らない」もの（反例）があります。その反例は「 $Q$ の外にあるのに $P$ の外にない」ので、対偶の反例にもなります。反例が共通なので、偽のときも一致するのです。

うかるくん

じゃあ、逆の $q\Rightarrow p$ はどうして一致しないんですか？

合格先生

図で $Q$ の中なのに $P$ の外という場所があるよね。そこにある点が逆の反例になるんだ。 $P$ が $Q$ にぴったり重なっていない限り、逆は偽になるよ。

否定の作り方

対偶で一番つまずくのは、「〜でない」を正しく作ることです。よく使う否定をまとめます。

もとの条件	否定
$x>2$	$x\le2$
$x\ge2$	$x<2$
$x=2$	$x\ne2$
$p$ かつ $q$	$\overline{p}$ または $\overline{q}$
$p$ または $q$	$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$
すべての $x$ で〜	ある $x$ で〜でない
偶数（整数の中で）	奇数

x＞2 の否定は x≦2。境目の 2 は否定の側に入る

否定は「もとの条件と合わせると全部になり、重なりがない」ものです。 $x>2$ と $x<2$ では、 $x=2$ がどちらにも入らないので、否定になっていません。

対偶を使った証明

もとの命題が証明しにくいとき、対偶を証明すれば、もとの命題も証明できたことになります。これを対偶証明法ということがあります。

例：整数 $n$ について「 $n^2$ が偶数 ⇒ $n$ は偶数」

対偶「 $n$ が奇数 ⇒ $n^2$ は奇数」を示す。 $n=2k+1$ （ $k$ は整数）とおくと $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ で奇数。対偶が真なので、もとの命題も真。

直接は進みにくいが、対偶なら式で一直線に進める

「 $n$ が奇数」のように「 $n=$ 〜」と式で書ける条件から出発できると、計算で進められます。対偶が使いやすいのは、次のようなときです。

○ 対偶が使いやすい

「 $n^2$ が〜」のように、条件が複雑な側から始まる命題
「〜でない」を示したい命題（否定が結論）
結論が「 $x>1$ または $y>1$ 」のような「または」の形

× やってはいけない

逆を証明して「示せた」とする
裏を証明して「示せた」とする
否定を作らずに入れかえるだけ

うかるくん

「〜でない」から始めると式にしやすいときは、対偶に切りかえればいいんだ！

うかるくん

直接が難しいときは、対偶を証明すればいいんだ！

テスト・入試ではこう出る

対偶は高校の数学Ⅰ（集合と命題）で習います（「逆」という言葉は中学2年の図形の証明でも出てきます）。定期テストや大学入試では、逆・裏・対偶を作って真偽を答える問題、対偶を使って証明する問題がよく出ます。整数の性質や、無理数の証明（背理法）と組み合わせて出ることも多いです。

例題1（対偶で証明）

実数 $x,\ y$ について、「 $x+y>2$ ならば $x>1$ または $y>1$ 」を証明しなさい。

対偶を作る：「 $x\le1$ かつ $y\le1$ ならば $x+y\le2$ 」（「または」の否定は「かつ」）。
$x\le1$ 、 $y\le1$ を辺々たすと、 $x+y\le2$ 。
対偶が真なので、もとの命題も真。

「 $x>1$ または $y>1$ 」は、どちらが成り立つか分からないので直接は示しにくい形です。対偶にすると、たし算1回で終わります。

例題2（真偽）

命題「 $x^2=1$ ならば $x=1$ 」の逆・裏・対偶を作り、それぞれの真偽を答えなさい。

もとの命題「 $x^2=1\Rightarrow x=1$ 」： $x=-1$ のとき $x^2=1$ だが $x\ne1$ 。偽（反例 $x=-1$ ）。
対偶「 $x\ne1\Rightarrow x^2\ne1$ 」：命題と同じく偽（反例 $x=-1$ ）。
逆「 $x=1\Rightarrow x^2=1$ 」：真。
裏「 $x^2\ne1\Rightarrow x\ne1$ 」：逆の対偶なので、逆と同じく真。

4つ全部を調べなくても、命題と逆の2つを調べれば、残りの2つは決まります。

合格先生

偽を示すときは、反例を1つ具体的に書く。これで満点の答えになるぞ！

まちがえやすい点

合格先生

「逆も正しいはず」は危険！真偽が同じなのは対偶だけだよ。

逆や裏を、もとの命題と同じだと思う：「4の倍数なら偶数」は真でも、逆「偶数なら4の倍数」は偽です。日常会話でも「雨なら中止」を「中止なら雨」と取りちがえがちです。
否定の作り方をまちがえる：「 $x>0$ かつ $y>0$ 」の否定は「 $x\le0$ または $y\le0$ 」です（ド・モルガンの法則）。「 $>$ 」の否定は「 $\le$ 」で、「 $<$ 」ではありません。
「すべて」と「ある」の否定：「すべての $x$ で〜」の否定は「ある $x$ で〜でない」です。「すべての $x$ で〜でない」としてしまうと、言いすぎになります。
対偶を示したのに、まとめを書かない：答案では最後に「対偶が真であるから、もとの命題も真である」と書きます。何を示したのかがはっきりします。
対偶と背理法を混ぜる：対偶は「 $\overline{q}$ から $\overline{p}$ を導く」方法、背理法は「 $p$ かつ $\overline{q}$ を仮定して矛盾を導く」方法です。答案の書き出しから、どちらで進めるかを決めておきます。

ミニ問題

問題1　整数 $n$ について、命題「 $n$ が 6 の倍数ならば、 $n$ は 3 の倍数」の対偶を答え、その真偽を答えましょう。

答えと解き方を見る

対偶は「 $n$ が 3 の倍数でないならば、 $n$ は 6 の倍数でない」で、真です。もとの命題が真（ $6k=3\times2k$ ）なので、対偶も真です。なお逆「3 の倍数ならば 6 の倍数」は偽（反例 $n=3$ ）です。

問題2　条件「 $x>3$ かつ $y>3$ 」の否定を答えましょう。

答えと解き方を見る

「 $x\le3$ または $y\le3$ 」です。「かつ」は「または」に、「 $>$ 」は「 $\le$ 」に変わります（ド・モルガンの法則）。「 $x<3$ かつ $y<3$ 」としてしまうのがよくあるまちがいです。

問題3　整数 $n$ について「 $n^2$ が 3 の倍数ならば、 $n$ は 3 の倍数」を、対偶を使って証明しましょう。

答えと解き方を見る

対偶「 $n$ が 3 の倍数でないならば、 $n^2$ は 3 の倍数でない」を示します。

$n$ が 3 の倍数でないとき、 $n=3k+1$ または $n=3k+2$ （ $k$ は整数）。
$n=3k+1$ なら $n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$ 。
$n=3k+2$ なら $n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$ 。
どちらも 3 で割ると 1 余るので、 $n^2$ は 3 の倍数でない。

対偶が真なので、もとの命題も真です。この結果は「 $\sqrt3$ が無理数であること」の証明でも使います。

よくある質問

対偶と逆・裏のちがいは？

p⇒qに対して、逆はq⇒p、裏はpでない⇒qでない、対偶はqでない⇒pでない、です。もとの命題と真偽が必ず一致するのは対偶だけです。

対偶証明法と背理法のちがいは？

対偶証明法は「qでない」から出発して「pでない」を導きます。背理法は「pなのにqでない」と仮定して、何かの矛盾を導きます。

なぜ対偶は真偽が一致するのですか？

p⇒qが真のとき、pをみたす集合はqをみたす集合にふくまれます。すると、qをみたさないものは必ずpもみたさないからです。

対偶の作り方は？

前と後ろを入れかえて、両方を否定します。p⇒q なら、qでない⇒pでないです。

x＞2 の否定は何ですか？

x≦2 です。x＜2 ではありません。x＝2 は「x＞2」に入らないので、否定の側に入ります。

対偶は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅰ（集合と命題）で習います。

出典・参考

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学Ⅰ（数と式：集合と命題）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦

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