逆・裏とは？命題の逆・裏・対偶をわかりやすく【例題・問題つき】

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逆・裏とは

命題「 $p$ ならば $q$ 」に対して、入れかえた「 $q$ ならば $p$ 」が逆、両方を打ち消した「 $p$ でないならば $q$ でない」が裏です。もとの命題が正しくても、逆や裏が正しいとは限りません（逆は必ずしも真ならず）。

読み方：ぎゃく・うら／英語：converse / inverse／習う学年：中学2年（図形の証明：逆）・数学Ⅰ（集合と命題）

うかるくん

「雨が降れば地面がぬれる」が正しいなら、「地面がぬれていれば雨が降った」も正しいですよね？

合格先生

それが逆だね。水まきでも地面はぬれるから、逆は正しくないんだ。逆は必ずしも真ならず、と覚えておこう。

この用語のポイント

逆： $q\Rightarrow p$ （入れかえ）、裏： $\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$ （両方を否定）
もとの命題が真でも、逆・裏は真とは限らない。偽なら反例を 1 つ
逆と裏は真偽が同じ（おたがいに対偶）

やさしく言うと

「 $p$ ならば $q$ 」という命題（正しいか正しくないかがはっきり決まる文）に対して、

逆は、前と後ろを入れかえた「 $q$ ならば $p$ 」
裏は、前と後ろを両方とも打ち消した「 $p$ でないならば $q$ でない」

です。身近な例で考えてみましょう。

雨と地面：「雨が降れば、地面がぬれる」は正しいとします。逆の「地面がぬれていれば、雨が降った」は正しくありません。水まきでもぬれるからです。裏の「雨が降らなければ、地面はぬれない」も、水まきがあるので正しくありません。
住所：「京都市に住んでいれば、京都府に住んでいる」は正しい。逆の「京都府に住んでいれば、京都市に住んでいる」は、宇治市の人がいるので正しくありません。
動物：「ペンギンならば鳥である」は正しい。逆の「鳥ならばペンギンである」は、スズメがいるので正しくありません。

まとめると、もとの命題が正しくても、逆や裏が正しいとは限りません。昔から「逆は必ずしも真ならず」といわれるのは、このことです。

横に動くと逆、たてに動くと裏、ななめに動くと対偶

4 つ目の「 $q$ でないならば $p$ でない」は対偶です。対偶は、もとの命題といつも真偽が同じになる特別な命題です。このページでは、逆と裏を中心に説明します。

うかるくん

逆は「入れかえ」、裏は「打ち消し」。対偶は両方やったもの、と覚えればいいんだ！

逆・裏の作り方の例

○ 正しく作れている

「正方形ならば長方形」の逆 → 「長方形ならば正方形」
「正方形ならば長方形」の裏 → 「正方形でないならば長方形でない」
「 $x=2$ ならば $x^2=4$ 」の逆 → 「 $x^2=4$ ならば $x=2$ 」
「 $x>2$ ならば $x^2>4$ 」の裏 → 「 $x\le2$ ならば $x^2\le4$ 」
「 $x=1$ かつ $y=1$ ならば…」の裏 → 「 $x\ne1$ または $y\ne1$ ならば…」
「二等辺三角形ならば 2 つの底角が等しい」の逆 → 「2 つの角が等しい三角形ならば二等辺三角形」

× まちがった作り方

「 $p$ ならば $q$ 」の逆を「 $p$ でないならば $q$ でない」とする（それは裏）
裏を「 $q$ でないならば $p$ でない」とする（それは対偶）
「 $x>2$ 」の否定を「 $x<2$ 」とする（正しくは $x\le2$ ）
「かつ」の否定を「かつ」のまま打ち消す（正しくは「または」）
裏を作るとき、片方だけ打ち消す
逆を作るとき、主語の条件（「三角形で」など）まで入れかえてしまう

図で見る

命題「 $p$ ならば $q$ 」が真であることは、集合で考えると「 $p$ を満たすもの全体 $P$ が、 $q$ を満たすもの全体 $Q$ の中にすっぽり入っている」（ $P\subset Q$ ）ことです。

正方形は全部長方形の中。でも長方形の中には正方形でないものがある

サクラちゃん

正方形は全部長方形なのに、どうして逆は正しくないんですか？

合格先生

図を見てごらん。逆の「長方形ならば正方形」は、大きいほうの $Q$ が小さいほうの $P$ に入るかを聞いているんだ。 $Q$ には $P$ からはみ出した部分（横長の長方形）がある。その 1 つが反例になるよ。

命題が偽であることを示すには、反例を 1 つあげれば十分です。逆を調べるときは、「 $Q$ に入っているのに $P$ に入っていないもの」をさがします。

次に、4 つの命題の真偽を表にしてみます。

もとの命題と対偶は同じ真偽。逆と裏も同じ真偽

逆「 $q$ ならば $p$ 」の対偶を作ると、「 $p$ でないならば $q$ でない」、つまり裏になります。逆と裏はおたがいに対偶なので、いつも真偽が同じです。だから、逆の真偽がわかれば、裏の真偽もわかります。

	形	もとの命題との関係	真偽
もとの命題	$p\Rightarrow q$	－	－
逆	$q\Rightarrow p$	入れかえ	もとの命題とは関係なく決まる
裏	$\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$	両方を否定	逆と同じ
対偶	$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$	入れかえて否定	もとの命題と同じ

逆と、必要十分条件・同値

もとの命題「 $p\Rightarrow q$ 」と、その逆「 $q\Rightarrow p$ 」が両方とも真のとき、 $p$ と $q$ は同値であるといい、 $p\Leftrightarrow q$ と書きます。このとき $p$ は $q$ であるための必要十分条件です。

たとえば「三角形の 2 辺が等しい」と「2 つの角が等しい」は、もとの命題も逆も真なので同値です。一方、「 $x=2$ 」と「 $x^2=4$ 」は、逆が偽なので同値ではありません。この場合、 $x=2$ は $x^2=4$ であるための十分条件だが必要条件ではないといいます（必要条件・十分条件）。逆の真偽を調べることは、必要条件・十分条件を判定することと同じなのです。

対頂角は等しい（真）。でも等しい角が対頂角とは限らない（逆は偽）

テスト・入試ではこう出る

中学 2 年の図形の証明で、「ことがらの逆を書き、正しいかどうかを調べる。正しくないときは反例を示す」問題が出ます。高校の数学Ⅰ（集合と命題）では、逆・裏・対偶をまとめて習い、それぞれの真偽の判定、必要条件・十分条件の判定、対偶を使った証明などが出ます。否定を作るときの「かつ・または」「 $>$ と $\le$ 」の入れかえがよくねらわれます。

例題1（中学：逆を書いて調べる）

「 $\triangle\mathrm{ABC}$ で、 $\angle\mathrm{A}=90^\circ$ ならば $\angle\mathrm{B}+\angle\mathrm{C}=90^\circ$ 」の逆を書き、正しいかどうか答えなさい。

逆は、仮定と結論を入れかえて「 $\triangle\mathrm{ABC}$ で、 $\angle\mathrm{B}+\angle\mathrm{C}=90^\circ$ ならば $\angle\mathrm{A}=90^\circ$ 」。
三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、 $\angle\mathrm{A}=180^\circ-(\angle\mathrm{B}+\angle\mathrm{C})=180^\circ-90^\circ=90^\circ$ 。
どんな三角形でも成り立つので、逆は正しい。

答え　逆： $\angle\mathrm{B}+\angle\mathrm{C}=90^\circ$ ならば $\angle\mathrm{A}=90^\circ$ 。正しい（このように、逆も正しい場合もあります）

例題2（高校：逆・裏・対偶の真偽）

$x$ を実数とします。命題「 $x>2$ ならば $x^2>4$ 」の逆・裏・対偶を書き、それぞれの真偽を答えなさい。偽のものは反例をあげなさい。

逆：「 $x^2>4$ ならば $x>2$ 」。 $x=-3$ のとき $x^2=9>4$ だが $x>2$ ではないので偽。
裏：「 $x\le2$ ならば $x^2\le4$ 」。 $x=-3$ のとき $x\le2$ だが $x^2=9>4$ なので偽。
対偶：「 $x^2\le4$ ならば $x\le2$ 」。 $x^2\le4$ なら $-2\le x\le2$ なので $x\le2$ 。真（もとの命題が真なので、対偶も真）。

答え　逆：偽、裏：偽、対偶：真。「 $x>2$ 」の否定は「 $x\le2$ 」で、「 $x<2$ 」ではありません。

サクラちゃん

逆が偽なら裏も偽。どちらか 1 つを調べれば、もう 1 つもわかるのね！

まちがえやすい点

合格先生

「 $x>2$ 」の否定は「 $x<2$ 」ではなく「 $x\le2$ 」だよ！

逆と裏を取りちがえる：「 $p\Rightarrow q$ 」の逆は「 $q\Rightarrow p$ 」（入れかえ）、裏は「 $\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$ 」（否定）です。「逆はさかさま（向きを逆に）、裏はうらがえし（否定）」と覚えましょう。
もとの命題が真なら逆も真だと思う：「 $x=2$ ならば $x^2=4$ 」は真ですが、逆は $x=-2$ という反例があるので偽です。逆は、もとの命題とは別に調べる必要があります。
否定の作り方のミス：「 $x>2$ 」の否定は「 $x\le2$ 」（ $x=2$ もふくむ）。「 $x=1$ かつ $y=1$ 」の否定は「 $x\ne1$ または $y\ne1$ 」です。「すべての〜」の否定は「ある〜が…でない」になります。
英語の inverse を「逆」と訳す：英語では、逆は converse、裏は inverse、対偶は contrapositive です。inverse は「逆」と訳したくなりますが、論理では「裏」にあたります。
反例を示さずに「偽」とだけ書く：中学・高校のテストでは、偽と答えるときに反例を 1 つ書くことが求められることが多いです。

ことばの由来

逆は「さかさま」、裏は「表の反対側」という意味の字です。命題の向きをさかさまにするのが逆、内容を打ち消して裏返すのが裏、と考えると覚えやすいでしょう。対偶の「偶」は「つれあい・ペア」という意味で、もとの命題と組になる命題を表します。

「逆は必ずしも真ならず」ということわざは、日常でも「A ならば B」が正しくても、「B ならば A」とは限らない、という戒めとして使われます。

ミニ問題

問題1　命題「 $a=0$ ならば $ab=0$ 」の逆を書き、その真偽を答えましょう（ $a$ , $b$ は実数）。

答えと解き方を見る

逆は「 $ab=0$ ならば $a=0$ 」で、偽です。反例は $a=1$ , $b=0$ （ $ab=0$ だが $a\ne0$ ）。 $ab=0$ からいえるのは「 $a=0$ または $b=0$ 」までです。

問題2　命題「 $n$ が 6 の倍数ならば、 $n$ は 3 の倍数である」の裏を書き、その真偽を答えましょう（ $n$ は自然数）。

答えと解き方を見る

裏は「 $n$ が 6 の倍数でないならば、 $n$ は 3 の倍数でない」で、偽です。反例は $n=3$ （6 の倍数ではないが 3 の倍数）。もとの命題は真ですが、裏は偽になりました。もとの命題が真でも、裏が真とは限りません。

問題3　命題「 $x=1$ かつ $y=1$ ならば $x+y=2$ 」の裏を書き、その真偽を答えましょう（ $x$ , $y$ は実数）。

答えと解き方を見る

裏は「 $x\ne1$ または $y\ne1$ ならば $x+y\ne2$ 」で、偽です。

「 $x=1$ かつ $y=1$ 」の否定は、ド・モルガンの法則により「 $x\ne1$ または $y\ne1$ 」。「かつ」が「または」にかわる。
反例： $x=0$ , $y=2$ 。 $x\ne1$ なので仮定を満たすが、 $x+y=2$ 。

「 $x\ne1$ かつ $y\ne1$ ならば…」と書くと、否定のしかたをまちがえています。

よくある質問

命題の逆とは何ですか？

「pならばq」の仮定と結論を入れかえた「qならばp」のことです。

命題の裏とは何ですか？

「pならばq」の仮定と結論を両方とも否定した「pでないならばqでない」のことです。

逆・裏・対偶のちがいは？

逆は入れかえ、裏は両方を否定、対偶は入れかえて両方を否定したものです。対偶だけは、もとの命題といつも真偽が同じです。

もとの命題が正しければ、逆も正しいですか？

正しいとは限りません。「x＝2ならばx²＝4」は正しいですが、逆の「x²＝4ならばx＝2」はx＝−2が反例なので正しくありません。

逆と裏の真偽はどうなりますか？

いつも同じです。逆と裏はおたがいに対偶の関係になっているからです。

逆・裏は何年生で習いますか？

逆は中学2年の図形の証明で習います。裏と対偶は高校の数学Ⅰ（集合と命題）で習います。

出典・参考

文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」第2学年 B 図形（証明、逆）
文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学Ⅰ（数と式：集合と命題）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦

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