ド・モルガンの法則とは？意味と否定の作り方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

「A かつ B」じゃない、って「A じゃない かつ B じゃない」ですよね？

合格先生

そこが落とし穴！ 「両方そろう」がくずれるには、どちらか一方がだめならいい。だから「A でないまたは B でない」になるんだ。

やさしく言うと

ド・モルガンの法則は、「かつ」と「または」を否定すると、入れかわるというきまりです。身近な例で考えてみましょう。

• テストの合格：「数学 かつ 英語が80点以上」でない人は、「数学が80点未満 または 英語が80点未満」の人です。「両方とも80点以上」がくずれるには、どちらか一方がだめならよいからです。
• 遠足の中止：「雨がふらない かつ 風が強くない」なら遠足を行うとき、中止になるのは「雨がふる または 風が強い」ときです。
• どちらも苦手：「ピーマンかにんじんが好き」（または）でない人は、「ピーマンもにんじんも好きではない」（かつ）人です。

まとめると、否定すると「かつ」は「または」に、「または」は「かつ」に変わるということです。

集合の式で書くと

全体集合 $U$ の中の集合 $A, B$ について、次の2つが成り立ちます。上線は補集合（その集合に入らないもの）です。

上線を分けるとき、$\cap$ と $\cup$ が入れかわると覚えましょう。

数で確かめます。1から10までの整数を全体 $U$、$A$＝2の倍数、$B$＝3の倍数とすると、$\overline{A}=\{1, 3, 5, 7, 9\}$、$\overline{B}=\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$ です。

「2の倍数でも3の倍数でもない数は何個？」という問題では、$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$ を使って、全体の10個から $A\cup B$ の7個を引き、$10-7=3$ 個と求められます。

図で見る：ぬり重ねで確かめる

$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$ が本当に成り立つか、ベン図をぬり重ねて確かめてみましょう。$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を別々にぬり、両方にぬられたところが $\overline{A}\cap\overline{B}$ です。

うかるくん

もう 1 つの $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ は、どうやって確かめるんですか？

合格先生

今度は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ のどちらか一方にでもぬられたところを探す。すると、ぬられていないのは A と B の重なりだけ。つまり「$A\cap B$ の外」になるんだ。

「入る・入らない」を ○・× で表にしても確かめられます。下の表で、太字の 2 つの列はどの行も同じになります。

条件の否定（「かつ」と「または」）

条件でも同じです。「$p$ かつ $q$」の否定は「$\overline{p}$ または $\overline{q}$」、「$p$ または $q$」の否定は「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」です。

「$-1<x<3$」のような 2 つの不等号がつながった条件は、「$x>-1$ かつ $x<3$」のことです。否定すると「または」になり、数直線の両側に分かれた範囲になります。

合格先生

否定すると「かつ」と「または」が入れかわる。ここが大事だ！

テスト・入試ではこう出る

高校の数学Ⅰ「集合と命題」で学びます。補集合を答える問題、条件の否定をつくる問題、対偶や背理法で証明する問題で使います。数学Aでは「2 の倍数でも 3 の倍数でもない数の個数」のような集合の要素の個数や、確率の「少なくとも〜」（余事象）の問題で、考え方として何度も出てきます。

うかるくん

対偶をつくるときこそ、ド・モルガンで「または」を「かつ」に変えるのを忘れないぞ！

まちがえやすい点

合格先生

否定すると「かつ」と「または」が入れかわる！ 入れかえ忘れがいちばん多いよ。

• $\cap$ と $\cup$ を入れかえ忘れる：$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ は×です。上の例では、左は9個、右は $\{1, 5, 7\}$ の3個で、ちがいます。
• 不等号の否定をまちがえる：「$x>0$」の否定は「$x\leqq0$」です。「$x<0$」では $x=0$ がぬけます。
• つながった不等式の否定をまちがえる：「$-1<x<3$」の否定は「$x\leqq-1$ または $x\geqq3$」です。1 つの式にまとめて書くことはできません。
• 全体集合を決めずに補集合を考える：補集合は全体集合 $U$ で決まります。$U$ が1〜10なら $\overline{A}$ は5個ですが、$U$ が1〜20なら10個です。

名前の由来

名前は、19世紀のイギリスの数学者オーガスタス・ド・モルガンにちなみます。ド・モルガンは論理学の研究で知られ、この法則を論理の式として整理しました。英語では De Morgan's laws（ド・モルガンの法則、2 つあるので複数形）といいます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 集合の要素の個数（包除原理）
• 確率の基本と余事象

あわせて覚えたい用語

• 集合
• 命題
• 対偶

よくある質問